立體幾何第八章第7講立體幾何中的向量方法(二)——求角高考要求考情分析1.能用向量方法解決直線與直線，直線與平面，平面與平面的夾角的計算問題．2．了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用利用空間向量求角，在高考中，幾乎每年會出現大題中的一問，考查數學運算和直觀想象的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾編03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾編1[特別提醒]1．線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.2．二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時，要根據向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補．1．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為(

)A．45°

B．135°C．45°或135°

D．90°【答案】C

2．(2019年海口期末)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，則AA1與平面AB1C1所成的角為(

)【答案】A

【答案】A【答案】30°

1．利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉化為各空間角．因為向量夾角與各空間角的定義、范圍不同．2．求二面角要根據圖形確定所求角是銳角還是鈍角．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√重難突破能力提升2利用空間向量求異面直線所成的角【規律方法】(1)向量法求異面直線所成的角的兩種方法：①基向量法：利用線性運算．②坐標法：利用坐標運算．(2)向量的夾角與異面直線所成角的區別：當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是此異面直線所成的角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線所成的角．【答案】(1)C

(2)A利用空間向量求直線與平面所成的角

(2016年新課標Ⅲ)如圖所示，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．(1)求證：MN∥平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．【規律方法】利用平面的法向量求線面角的注意點：(1)求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補角)，取其余角即為所求．(2)若求線面角的余弦值，要注意利用平方關系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要誤認為直線的方向向量與平面的法向量所夾角的余弦值為所求．利用空間向量求二面角

(2019年惠州模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PC＝2.(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA＝PB，求二面角A－PC－D的余弦值．【規律方法】利用向量求二面角的方法：(1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．(2)分別在二面角的兩個平面內找到與棱垂直且以垂足出發的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

【考查角度】平面與平面垂直與直線與平面所成的角．【考查目的】考查推理論證能力、空間想象能力和運算求解能力，體現直觀想象、邏輯推理和數學運算的核心素養．【拓展延伸】1．異面直線所成的角及二面角與向量夾角的關系(1)異面直線所成角與向量夾角的關系當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角．(2)二面角與向量夾角的關系設二面角的兩個面的法向量分別為n1，n2，則〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉是所求的二面角．這時要借助圖形來判斷所求角是銳角還是鈍角，確定〈n1，n2〉是所求角，還是π－〈n1，n2〉是所求角．【真題鏈接】

1．(2019年新課標Ⅱ)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．【解析】(1)證明：長方體ABCD－A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABB1A1，EC1∩B1C1＝C1，所以B1C1⊥BE.因為BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AE＝A1E＝1，因為BE⊥平面EB1C1，所以BE⊥EB1，所以AB＝1，則E(1,1,1)，A(1,1,0)，B1(0，1,2)，C1(0,0,2)，C(0,0,0)．【解析】(1)證明：連接BO.因為AB＝BC＝2，AC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形．又O為AC的中點，所以OA＝OB＝OC．因為PA＝PB