計數原理、概率、隨機變量及其分布第十一章第7講二項分布與正態分布高考要求考情分析1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念；2．理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，能解決一些簡單的實際問題；3．了解正態密度曲線的特點及曲線所表示的意義，并進行簡單應用此部分內容也是高考考查的一個重點，常注重實際背景的材料，常以選擇、填空的形式出現，考查閱讀理解、分析問題的能力，考查分類討論，數形結合的數學思想，考查數學建模和數學運算的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．條件概率條件概率的定義條件概率的性質設A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝__________為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝______________________P(B|A)＋P(C|A)

P(A)P(B)

P(B)

P(A)

P(A)P(B)

3．獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗在__________條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則P(A1A2A3…An)＝____________________.(2)二項分布在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作____________，并稱p為____________．在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率P(X＝k)＝________________(k＝0,1,2，…，n)．相同P(A1)P(A2)…P(An)

X～B(n，p)

成功概率

Cpk(1－p)n－k

上方x＝μ

x＝μ

1

⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著____的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ__________，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ__________，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．μ

甲乙

越小越大(3)正態分布的定義及表示：如果對于任何實數a，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X≤b)等于由直線x＝a，x＝b，正態曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積，則稱隨機變量X服從正態分布，記作____________．正態總體在三個特殊區間內取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝__________；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__________；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝__________.X～N(μ，σ2)

0.6826

0.9544

0.9974

[特別提醒]若X服從正態分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態曲線的關于直線x＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1.【答案】B【答案】A

3．如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統．當K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8，則系統正常工作的概率為(

)A．0.960

B．0.864C．0.720

D．0.576【答案】B5．(2019年大慶期末)若ξ～N(5，σ2)，且P(4＜ξ＜5)＝0.25，P(6＜ξ＜7)＝0.15，則P(ξ＜3)＝____________.【答案】0.1

1．相互獨立事件是指兩個事件發生的概率互不影響，計算式為P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．運用公式P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當事件A，B相互獨立時，公式才成立．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)條件概率一定不等于它的非條件概率．(

)(2)相互獨立事件就是互斥事件．(

)(3)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(

)(4)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(a＋b)n二項展開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)×重難突破能力提升2條件概率【答案】B

【答案】(1)A

(2)D

相互獨立事件的概率

在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，“求X≥2”的事件概率．【規律方法】(1)求解該類問題在于正確分析所求事件的構成，將其轉化為彼此互斥事件的和或相互獨立事件的積，然后利用相關公式進行計算．(2)求相互獨立事件同時發生的概率的主要方法：①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算．【答案】C

獨立重復試驗與二項分布

從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的質量指標值．由測量結果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質量指標值落在區間[55,65)，[65,75)，[75,85]內的頻率之比為4∶2∶1.(1)求這些產品質量指標值落在區間[75,85]內的頻率；(2)若將頻率視為概率，從該企業生產的這種產品中隨機抽取3件，記這3件產品中質量指標值位于區間[45,75)內的產品件數為X，求X的分布列與數學期望．【解析】(1)設這些產品質量指標值落在區間[75,85]內的頻率為x，則落在區間[55,65)，[65,75)內的頻率分別為4x,2x.依題意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以這些產品質量指標值落在區間[75,85]內的頻率為0.05.【規律方法】(1)已知二項分布，求二項分布列，可判斷離散型隨機變量是否服從二項分布，再由二項分布列公式求概率，列出分布列．(2)已知隨機變量服從二項分布，求某種情況下概率，依據題設及互斥事件弄清該情況下所含的所有事項，再結合二項分布公式即可求解．正態分布 已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態分布N(0,32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間(3,6)內的概率為(

)(附：若隨機變量X服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【答案】B

【規律方法】(1)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區間或范圍與正態變量的μ，σ進行對比聯系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．(2)利用正態分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個結論的活用：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)．【跟蹤訓練】4．(2019年九江三模)已知某公司生產的一種產品的質量X(單位：千克)服從正態分布N(90,64)．現從該產品的生產線上隨機抽取10000件產品，其中質量在區間(82,106)內的產品估計有(

)附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.9544.A．8185件 B．6826件C．4772件 D．2718件【答案】A

追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年河南模擬)山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內外．據統計，煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位：mm)服從正態分布N(80,52)，則直徑在(75,90]內的概率為(

)附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．0.6826

B．0.8413

C．0.8185

D．0.9544【考查角度】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【考查目的】考查推理能力與計算能力，同時也體現了直觀想象的數學素養．【答案】C【拓展延伸】1．抓住關鍵詞求解相互獨立事件的概率在應用相互獨立事件的概率公式時，要找準關鍵字句，對含有“至多有一個發生”“至少有一個發生”“恰有一個發生”的情況，要結合對立事件的概率求解．【真題鏈接】

1．(2019年新課標Ⅰ)甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束)．根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．【答案】0.18

【解析】甲隊以4∶1獲勝包含的情況有：①前5場比賽中，第一場負，另外4場全勝，其概率為p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036.②前5場比賽中，第二場負，另外4場全勝，其概率為p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036.③前5場比賽中，第三場負，另外4場全勝，其概率為p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054.④前5場比賽中，第四場負，另外4場全勝，其概率為p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054.則甲隊以4∶1獲勝的概率為p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18.2．(2017年新課標Ⅰ)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(μ，σ2)．(1)假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．(ⅰ)試說明上述監控生產過程方法的合理性；(ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：【解析】(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ－3σ，