地理信息與旅游學院測繪教研室

課程教案

課程名稱：誤差理論與測量平差

授課教師：楊燦燦

授課對象：2013級測繪工程專業

授課時間：2015年3月-2015月7月

地理信息與旅游學院制

2013年8月

一、學生情況分析

本課程為2013級測繪工程本科的第四學期課程，該專業學生共有96人。已

經開設過高等數學（上下冊）課、現代測量學、線性代數、概率論與數理統計，

這些課程的開設為誤差理論與測量平差的學習作了充分準備。

二、課程教學目標

本課程的教學目的是使學生掌握誤差理論和測量平差的基本知識、基本方法

原理和基本技能，提高數據分析和處理能力，為后續相關專業課程的學習以及畢

業后從事測繪相關工作打下專業基礎。

三、課程教學內容

第一章緒論

主要內容：觀測誤差的概念及觀測誤差的分類，觀測條件的概念，測量平差

學科的研究對象及任務；測量平差發展概況。

本章重點:誤差產生的原因及其分類。

本章無難點。

第二章偶然誤差的統計特性及精度指標

主要內容：正態分布，偶然誤差的統計特性，衡量觀測質量好壞的標準（精

度、準確度、精確度）和衡量精度的五大指標（方差和中誤差、平均誤差，或然

誤差、極限誤差、相對誤差）。

本章重點：偶然誤差的統計特性和衡量精度的五大指標。

本章難點：衡量精度的五大指標。

第三章協方差傳播律及權

主要內容：方差一協方差陣傳播律公式及應用，權及定權的常用方法，單位

中誤差的計算，協因數傳播律以及系統誤差的傳播與綜合。

本章重點：協方差傳播律公式及應用，權與定權的常用方法，單位中誤差的

計算，協因數傳播律及應用。

本章難點：協方差傳播律公式及應用，協因數傳播律及應用。

第四章平差數學模型與最小二乘原理

主要內容：平差幾何條件，平差的數學模型、函數模型、隨機模型的概念及

具體的四大經典平差函數模型，最小二乘原理。

本章重點：四大經典平差函數模型，最小二乘原理。

本章難點：四大經典平差函數模型，最小二乘原理。

第1頁

第五章條件平差

主要內容：條件平差原理；條件平差的精度評定及計算步驟；水準網、測角

網、測邊網、導線網的條件方程的列立及計算；附有參數的條件平差的原理及精

度評定。

本章重點：條件平差的原理、精度評定方法及應用，附有參數的條件平差的

原理和精度評定。

本章難點：條件平差的計算步驟，包括三角網、測邊網等，測角網條件平差

及附有參數的條件平差的方程列立。

第六章間接平差

主要內容：間接平差原理；間接平差的精度評定；間接平差的步驟，水準網、

測角網、測邊網、邊角網的誤差方程的列立；間接平差的應用；附有限制條件的

間接平差的原理及精度評定。

本章重點：間接平差的原理和精度評定方法，間接平差的步驟，測角網、測

邊網、邊角網的誤差方程的列立；間接平差的應用；

本章難點：間接平差的步驟，包括測邊網、測角網等，附有限制條件的間接

平差。

第七章誤差橢圓

主要內容：點位誤差的概念及計算；誤差曲線及誤差橢圓、相對誤差橢圓的

概念及相關計算。

本章重點：誤點位誤差，差曲線及誤差橢圓、相對誤差橢圓。

本章難點：誤差曲線及誤差橢圓、相對誤差橢圓。

第2頁

第一講緒論

一、教學目標

1.理解觀測條件等相關概念

2.掌握誤差的來源及分類

3.掌握測量平差的任務和對象

4.掌握偶然誤差的分布規律和統計特性

二、重點與難點分析

L重點：觀測誤差的來源與分類，正態分布，偶然誤差的統計特性

2.難點：無

三、教學內容與教學過程

L進行自我介紹

姓名，聯系方式，專業方向。建議學生用電子郵件方式聯系。

2.進行課程簡介

介紹課程的學習目標、參考書及資料、課程教學目標和內容框架、學習方法、

作業與實驗、考核方式、上課時間與地點等情況。強調本課程與相關課程的關系。

［教學提示］:考核方式為平時占40%,期末筆試占60%,強調本課程與測量

學、高等數學、線性代數、概率論與數理統計等相關課程的關系，加強這些課程

的復習工作。

3.演示“第一講”PPT課件，進入主題。

(1)引入:三角測量過程中出現的測量值與真值不相等的現象，這些問題出現

的原因是因為觀測誤差的存在，并介紹相關概念及觀測誤差的表達方式。

(2)觀測值中存在觀測誤差的原因及誤差來源

觀測條件對觀測成果產生影響，不可避免產生觀測誤差。

結合測量學觀測三角形內角和的例子，與學生一起總結出誤差產生的因素有

儀器誤差，觀測者的因素及外界條件的影響，即觀測條件；并分析觀測條件與觀

測誤差的關系及其影響。得出有觀測就有誤差的結論。

(3)觀測誤差的分類、產生原因及其處理

1).分類

觀測誤差按照性質來分，可分為偶然誤差、系統誤差和粗差。

粗差：明顯歪曲測量結果的誤差，比正常觀測條件下可能出現的最大誤差還

大的誤差。

系統誤差：相同觀測條件下做一系列觀測，若誤差在大小、符號上表現出系

統性，或按一定規律變化，或為一常數，那么這種誤差則為系統誤差。

偶然誤差：相同觀測條件下做一系列觀測，若誤差在大小、符號上表現出偶

然性，即單個誤差無規律性，但是大量誤差具有一定的統計規律，則稱為偶然誤

差(隨機誤差)。

第3頁

［教學提示］:結合測角、測距和水準測量的全過程，讓學生分析哪些因素引起

的誤差屬于粗差，那些哪些因素引起的誤差屬于系統誤差，那些哪些因素引起的

誤差屬于偶然誤差。

2).產生原因

粗差產生的原因：測錯、讀錯、記錄錯、計算錯、儀器故障等所引起的偏差。

系統誤差產生的原因：儀器構造的缺陷或檢驗校正不嚴格引起的。如：鋼尺

量距誤差、水準儀i角誤差等。

偶然誤差產生的原因：偶然誤差產生的原因很多，往往無法預知和控制。如

空氣的不穩定、觀測目標的亮度差、儀器的構造不嚴密、觀測者的感覺器官受一

定的限制等。

3).處理方法

粗差的處理措施：舍棄或重測。變更儀器或操作程序，進行必要的重復測量

或多余觀測，采用必要而又嚴格的驗算等。

系統誤差的處理措施：采取科學合理的操作方法或觀測條件；利用公式進行

系統誤差改正。

偶然誤差的處理措施：平差。

［教學提示］:讓學生舉例說明測量上哪些操作是為了消除系統誤差影響的，哪

些計算改正為了消除偶然誤差影響的。

4)必需觀測和多余觀測

必需觀測：測量中可確定全部未知量所需的最少的觀測。

多余觀測：多余必需觀測的觀測量。多余觀測的作用：發現誤差和矛盾

5)經典平差依據的準則一最小二乘原理

最小二乘原理的表達：［pvv］=min.

6)測量平差的定義及任務

測量平差的定義：對含有誤差的觀測值，在多余觀測的基礎上，依據一定的

觀測模型，按照最小二乘原理，對觀測結果進行合理的調整，求得一組沒有矛盾

的最可靠結果，并評定精度，這種處理方法和過程稱為測量平差。

測量平差的任務：求待定量的最佳估值；精度評定

4.一維正態分布及n維正態分布

(1)一維正態分布

.概率密度：

1(X-〃)

二_____________2b

f(x)e(-oo<x<+oo)

J27rb

第4頁

119

f(X)=—e印{一2.2(X_.)}

其中四和。是分布密度的兩個參數。正態分布也稱為高斯分布。對一維隨機

變量數字特征為口和o的正態分布，一般記為x?N(|i,(y)o

若連續型的隨機變量X的概率密度為f(x),若積分

f+oo

fxf(x)dx

J—00

絕對收斂，則稱此積分為X的數學期望或平均值，記為

<?+00

E(X)=|xf(x)dx=〃

J—00

推導證明此公式。方差的公式學生自己推導。正態分布密度函數曲線如

(2)n維正態分布

設隨機向量X=區,42,…，芍),服從正態分布，則n維正態分布的隨機

向量X的聯合概率密度函數是

/(X)=f~^xFDxx[X

I叱(2/I2>

n維正態隨機變量X=(%Z)r的數學期望和方差(數字特征)分

別為

E(X)=fp+oof(X)XdX="x

J—00

D(X)=域X-E(X)f}=匚7(X)[X-E(X)]2dx=%

而

第5頁

2

(aa…cr)

2

°xx=E{[X—E(X)[X—E(X)]]==//??-b.

2

(T

、4,匹b.???X??

其中b；是隨機變量Xi的方差，(TXiXj是隨機變量Xi對隨機變量Xj的

互協方差。’

5.偶然誤差分布

基本假設：含粗差的觀測值已被剔除；并且含系統誤差的觀測值已經過適當

改正。

例1：在相同的條件下獨立觀測了358個三角形的全部內角，計算各內角和

的真誤差,并按誤差區間的間隔0.2”進行統計。則偶然誤差可用以下幾種表示

方法

(1)列表法表示為

誤差一△+△

區間個數K頻率K/n(K/n)/d個數K頻率K/n(K/n)/dA

0.00^0.20450.126處630460.1280.640

0.20*0.40400.1120.560410.1150.575

0.40~0.60330.0920.460330.0920.460

0.60~0.80230.0640.320210.0590.295

0.80^1.00

170.0470.235160.0450.225

1.00~1.20

130.0360.180130.0360.180

1.20~1.40

60.0170.08550.0140.070

6040.0110.05520.0060.030

>1.60

000000

和1810.5051770.495

(2)直方圖法表示為

(3)密度函數法

當誤差個數無限增大，誤差區間縮小，直方圖則可變成一條光滑曲

線，該曲線稱為誤差分布曲線。

第6頁

K/n)/dA

偶然誤差的分布特性

從上例中總結發現偶然誤差的分布規律：

(1)在一定的觀測條件下，誤差的絕對值不會超過一定的限值。(有界性)

(2)絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的概率要大。(趨向性)

(3)絕對值相等的正負誤差出現的概率相等。(對稱性)

(4)偶然誤差的數學期望為零。(抵償性)

由偶然誤差的界限性，可以依據觀測條件來確定誤差限值；由偶然誤差的

對稱性知觀測量的期望值就是其真值。

6.教學小結

本講首先介紹了觀測誤差產生的原因，介紹了觀測誤差的分類及其處理，

測量平差的任務及學科研究對象，并簡要介紹了最小二乘原理。其次講解了正

態分布，誤差的表示方式以及偶然誤差的統計規律，需重點掌握。

四、作業

無

第7頁

第二講精度及衡量精度的指標

一'教學目標

1.熟記衡量精度的指標，

2.掌握精度計算的方法

3.了解測量不確定度的概念

二'重點與難點分析

重點：精度指標及計算

難點：精度指標及計算

三、教學內容與教學過程

1.回顧

回顧上節課學習的內容（讓學生來回顧，其他學生可以補充）

2.觀測條件與觀測精度

一定的觀測條件對應著一個確定的誤差分布。

分布曲線陡峭的說明誤差分布密集，或者離散度小，觀測精度高，觀測條

件好，反之，誤差分布離散，觀測條件差。

精度：是指一組偶然誤差分布的密集與離散程度，是觀測值與其期望值接

近的程度，表征觀測結果偶然誤差大小的程度。精度與方差直接有關。

數學期望：反應了隨機變量集中位置的數字特征；

方差：反應隨機變量偏離集中位置的離散程度；

準確度：是指觀測值的數學期望與其真值的接近程度，表征觀測結果系統

誤差大小的程度，若觀測值數學期望與真值的偏差大，則準確度越低。

精確度：是精度與真確度的合成，是指觀測結果與其真值的接近程度，反

應偶然誤差和系統誤差以及粗差聯合影響大小程度。

例子：如圖

第8頁

3.衡量精度的指標

(1)方差與標準差

1)方差定義為：

觀測誤差和觀測值均為隨機變量，所以

2::

DL=crL=￡[(￡-￡(Z.))]=￡(A)

C=E[(A-E(A))1=E(A)

當觀測值中只含有偶然誤差時，任一觀測值的方差與觀測誤差的方差是相

同的。

2)由期望定義方差，則可表示為

a2=O(A)=￡(A2)=廣爐/⑷必

對于離散型：

『=3。)=￡(4)=]1m她(T=lim

XT9M.及T9n

實際上觀測個數〃總是有限的，由有限個觀測值的真誤差只能得到方差和

中誤差的估值，方差/和中誤差b的估值分別用符號和3表示，即

?，

中誤差不是代表個別誤差的大小，二十代表誤差分布的離散程度大小，中

誤差越小，觀測中絕對值小的誤差較多，較集中，精度越高；相反，中越差越

大，則觀測的誤差越低。

(2)極限誤差

由中誤差的定義可知，它是代表一組同精度觀測誤差平方的平均值的平方

根極限值，中誤差愈小，即表示在該組觀測中，絕對值較小的誤差愈多。按正

態分布表查得，在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在(一6+6、

(-2b,+2b)和(-3b,+3b)的概率分別為：

產(一b<A<+b)曰68.3%

產(-2b<A<+2b)曰95.5%,

P(-3a<A<+3b)邢99.7%.

極限誤差：由偶然誤差的第一性質可知，偶然誤差的絕對值不會超過一定

的限制，該限制被稱為極限誤差。一般以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值

△俄，并稱為極限誤差。

△"3b

實踐中，也常采用2b作為極限誤差的。例如測量規范中的限差通常是以

2b作為極限誤差的。實用上以中誤差的估值3代替在測量工作中，如果

第9頁

某誤差超過了極限誤差，那就可以認為它是錯誤，相應的觀測值應進行重測、

補測或舍去不用。

(3)相對誤差

相對誤差：誤差與觀測值之比。即

1」中誤置

飛_觀測值

相對中誤差是個無名數，在測量中一般將分子化為1,即用1/N表示。

對于真誤差與極限誤差，有時也用相對誤差來表示。例如，經緯儀導線測

量時，規范中所規定的相對閉合差不能超過1/2000,它就是相對極限誤差；而

在實測中所產生的相對閉合差，則是相對真誤差。與相對誤差相對應，真誤差、

中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。

例：用卷尺丈量200nl和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm,問二

者精度是否相同？

思考：對于中誤差相同，但是角值大小不等的情況，其精度怎樣？

(4)平均誤差

1)平均誤差：在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數學

期望稱為平均誤差。

設以。表示平均誤差，則有：

"網的=_[：閾/⑻必

如果在相同條件下得到了一組獨立的觀測誤差，平均誤差為

n

由于觀測值的個數〃總是一個有限值，在實用上也只能用6的估值來衡量

精度，并用后表示e的估值，但仍然簡稱為平均誤差。則：

2)平均誤差與中誤差的關系：

[24反5

6=.J—cr?0.7979cr?—aCF=J—6私1.2536郊—8

、兀5.V24

(5)或然誤差

1)隨機變量x落入區間g力)內的概率為：

P(a<X<6)=j/⑶dx

對于偶然誤差△來說，誤差△落入區間3與的概率為：

第10頁

P(a<A<8)=，/(△)必

或然誤差：觀測誤差出現在正、負或然誤差區間內的概率為1/2。即

⑷處=1

用誤差的概率分別曲線表示為：

■/(A)

2)或然誤差與中誤差的關系

將△的概率密度代入上式，并作變量代換，令

A〃，

—=￡,△=ot,dL—odt

CT

則得：

單⑷必=2/徐力弓

由概率積分表查得，當概率為1/2時，積分限為0.6745,即得

0,6745crss—crcr?1.4826p?—p

實用上，因為觀測值個n是有限值，因此也只能得到。的估值況但仍簡

稱為或然誤差。獲取方法：一是將相同觀測條件下得到的一組誤差，按絕對值

的大小排列，當n為奇數時，取位于中間的一個誤差值作為白，當n為偶數時,

則取中間兩個誤差值的平均值作為白。二是先求出中誤差的估值，然后按二者

之間的關系式求出或然誤差力。

［教學提示］:以上幾種誤差雖然都用“誤差”二字，但是都是用來表達精

度大小的，不可與觀測誤差混淆。另外以上幾種指標中，最常用的是中誤差。

4、測量不確定度

測量數據的不確定性、不確定度的概念，及計算方法。

5.小結

衡量觀測質量好壞的標準分為精度指標、準確度指標和精確度指標三種，

其中精度是衡量偶然誤差影響程度的指標。衡量精度標準的方差、極限誤差、相

對誤差幾個指標應重點掌握。

四、作業

無。

第11頁

第三講方差-協方差陣及其傳播律

一'教學目標

1.熟記協方差傳播的規律

2.掌握傳播律公式的應用方法

二'重點與難點分析

重點：協方差傳播律及其應用

難點：協方差傳播律及其應用

三、教學內容與教學過程

［教學提示］:回顧上節課學習的內容

1.數學期望和方差的回顧性學習

（1）數學期望及其傳播

（2）方差與協方差

1）方差的特性

2）協方差及相關系數

Dxy=￡［（x-E（x））（y-￡（r））］；

X,Y相互獨立時，Dxy=Dyx=0;

二維隨機變量的協方差：^=^=Hm-［AxA7］;

及—>00"

A1

當觀測數n有限時，則=-［AvAJ

3）協方差陣與互協方差陣及其特點

a.協方差陣：設有n維隨機變量X,描述其精度的方差陣為

%2,??6“

。21%”

DXX-

b“2?,?盧

方差陣Dxx也稱方差一協方差陣，它是描述觀測向量的精度指標，不僅給出

了各觀測值的方差，還給出了兩兩觀測值之間的協方差即相關度。

當6尸0時，表示兩向量互不相關，若兩向量為正態分布，則表示相互獨立。

當n位隨機向量中任意兩變量均互相獨立時，此方差陣變為對角陣。

b互協方差陣：如果有兩組觀測向量X和Y,并記為

第12頁

X

z=

Y

則Z的協方差陣為:

DXY

D

zzLADyy

其中Dxx和DYY分別為X和Y的協方差陣，而DXY為X關于Y的互協方差陣。

2.協方差傳播律

設有觀測值向量1=11L2L3『的方差陣為

「32r

DLL=242

123

1)試寫出各觀測值的方差以及協方差；

2)若有函數F=L1+L2+2L3-23,則該函數F的方差又如何計算？

(D引入：觀測值線性函數的誤差傳播律(經典誤差傳播律)

Z—k[X]+左2*2+…+knxn+k0

21221,2A2..r2A2

(y7=h+左2+...+左〃Ar

例：設一個平面三角形，觀測了兩個內角a、P，則第三個內角/可表示為直接

觀測角的函數形式

7=180?！?a+，)

現已知仁=36,%=40’且觀測a、p時相互獨立，求/的中誤差。

經典誤差傳播律要求觀測值間必須兩兩獨立，而且不能同時求出多個函數的方

差及他們之間的協方差，應用時具有其局限性，所以下面介紹協方差傳播律。

(2)觀測值線性函數的協方差傳播律

1)已知觀測向量X,協方差陣為Dxx,現有觀測向量X的函數為Z

N=[X“X2，..X,』T,D",Z=KX+K0

n,i1,1i,nn,i

T

那么：Dzz=KDXXK

證明：

%=E[(Z—E(Z))(Z—E(Z))[

=E\(KX-KE(X))(KX-KE(X))[

=E[K(X-E(X))(X-E(X)￥KT]

=KE[(X-E(X))(X-E(XW]KT

T

=KDXXK

第13頁

舉例：例3-6

2)多個觀測值線性函數的協方差

已知觀測向量X、Y,現有觀測向量的函數為Z,F,G

4=[X],X2，..X"T,D,

n,lXX

Z=KX+K0

t,\t,nn,l(]

F=AX+A0

m,\m,nn,lm1

G=BY+B.

k,lk,lI,l肅

則:

T

D7F—KDYYA

ZrAA

1

DF7rZ=ADAAYYK

DFG=ADxyB，

DGF=ix"

舉例：例3-7

（3）非線性函數誤差的傳遞

設有觀測值X的非線性函數：

Z=f（X）=f（X1,X2,-Xn）

求Dzz

首先利用泰勒級數展開，進行線性化：

z=/（x：,x；,..X）+

（去）o（x「X：）+（?）o（X2-X。）+…（/）o（X“-X：）

dXldX2dXn

+（二次以上項）

z=/（x°,x。,…x；）+

令：K=（m，…3［（焉）。,（給。…（勖。］

則：2=也,#2,…k〃]X、+ko=KX+ko

第14頁

T

D^z=KDXXK

舉例：例3-8.例3-10。

解題步驟為：a列函數式，b線性化，c應用協方差傳播公式計算坐標方差，d

計算點位方差。

3.協方差的傳播率的應用

①.水準測量的精度

具有N個測站的水準高差示意圖，應用協方差傳播公式導出高差中誤差計算

公式：

&h=瘋7站

進一步導出S公里觀測高差的中誤差計算公式：

②.同精度獨立觀測值的算數平均值的精度

由算術平均值公式，應用協方差傳播公式導出其中誤差計算公式

例：Sab=100m,丈量4次平均值的中誤差為2cm,若以同樣精度丈量CD16

次，Scd=900m,求兩段距離的相對中誤差。

4.小結

協方差傳播律是觀測值（向量）與其函數（向量）之間精度傳遞的規律，用其解決

觀測值函數（向量）的精度評定問題。本節重點是利用協方差傳播律解題的方法

和步驟，以及協方差傳播公式的應用。

四、作業

無。

第15頁

第四講權與單位權中誤差的計算

一、教學目標

1明確權、單位權中誤差的含義及權的性質

2.掌握定權的常用方法

3掌握單位權中誤差的計算方法

二、重點與難點分析

重點：權的定義式；定權的常用方法，單位權中誤差的計算

難點：無

三'教學內容與教學過程

1.上節內容回顧

學生回顧

2.權的定義和性質

（1）權的定義

引入：衡量精度的指標，其中四種都是絕對誤差，為了工作方便，需要引入

一個新的指標一一權。

方差是表征精度的一個絕對指標，方差之間的比例關系也可以比較各觀測值

之間的精度，而表示各觀測值方差之間比例關系的數字特征稱為權，它是相對指

標。

權是衡量各觀測值在平差結果中應起作用大小的數值，可用來衡量觀測值的

精度。

2

25

Pi為觀測值Li的權，氣是可以任意選定的比例常數。

觀測值的權與觀測值的方差成反比。

（2）權的性質

1）權是相對性指標；

2）權與中誤差的平方成反比，權越大表示觀測值越可靠；

3）權的大小變化，但是權之間的比例關系不變；

4）當一組觀測值的精度相等時，為等精度觀測，也是等權觀測。

3.單位權方差

權的作用是衡量觀測值的相對精度，稱其為相對精度指標。確定一組權時，

只能用同一個。0，

令。i=。o，則得：

22

P=晉=警=1

GiO（）

第16頁

_2

上式說明b。是單位權（權為1）觀測值的方差，簡稱為單位權方差。凡是方差等

丁2k2

于0。的觀測值，其權必等于1。權為1的觀測值，稱為單位權觀測值。無論0。取

何值，權之間的比例關系不變。

例：在圖1-5中水準網中，也、%、飽、%是各路線的觀測高差，跳=10日、

5=2.0hn、&=40碗、&=8.0熱是水準路線的長度，在認為每公里觀測值高

差的精度相同的前提下，我們就可確定各條路線的權，而且不需要知道每公里觀

測值中誤差的具體數值。

,=S].bg■里，丐=身￡7公里，氣=必）公里，°"4=S4b公里

令：加=封，按權的定義各路線觀測值的權為

px—1.00,p2=0,50,p3=0.25,/?4=0,125

又令：加二封，按權的定義各路線觀測值的權為

Pj=8.00,p2=4.00,%=2.00,p4=1.00

水準網中的所有水準路線都是按同一等級的水準測量規范的技術要求進行觀

測的，一般可以認為每公里觀測高差的精度是相同的。對于不同的云得到的觀測

值的權是不相同的，通過權的大小可以反映各觀測高差的精度高低。對于一組已

知方差的觀測值而言：權是用來比較各觀測值相互之間精度高低的，權的意義不

在于它們本身數值的大小，重要的是它們之間所存在的比例關系。

4.測量中常用的定權方法

（1）水準測量的權

①用測站數定權（山地、起伏較大的丘陵）

利用用測站數計算高差中誤差的公式和權的定義式導出利用測站數定權的公

式。

②用路線長度定權（平地）

利用用路線長度計算高差中誤差的公式和權的定義式導出利用路線長度定權

的公式。

第17頁

Ph=l

（2）距離量測的權

距離長度可通過鋼尺丈量或測距儀測距得到。下面分別討論兩種情況下的定

權方法。

①鋼尺量距的權

Ps=f

②測距儀測距的權

6

bs=o'標稱+o'標稱S-10

（3）等精度觀測算術平均值的權

利用等精度獨立觀測值算術平均值的方差計算公式和權的定義式導出利用觀

測次數定權的公式

尸S哈

X---

（4）不同精度觀測值加權平均值的權

設有一組獨立觀測值，將每個觀測值的權設為Pi,觀測值的加權平均值的權

為：

p

px=[F]=S,

5.單位權中誤差的計算

（1）.由真誤差計算中誤差

設觀測值為Li,i=l,2,…，n；數學期望為u,觀測的真誤差為△，，并且L,

△，服從正態分布，

（1）等精度觀測的情況下，單位權中誤差估值為：

人人/[AA]

（2）不等精度觀測的情況下，單位權中誤差估值為：

（2）.由改正數計算中誤差

在進行n次觀測時，求得觀測值的改正數V=[vlv2…vn]T之后，進而

可求得中誤差

（1）當n有限時，等精度觀測的情況下，單位權中誤差估值為：

第18頁

此公式為白塞爾公式

（1）若是不等精度觀測，而且觀測對象不止一個而是t個的情況下，單位權中

誤差估值為：

（3）.由三角形閉合差計算測角中誤差

設在一個三角網中，以同精度觀測了所有三角形的內角，其角值為處,夕,，九

（i=l,2,…，n）,當n有限時，可得三角形內角和的中誤差估值為

當三角形觀測時，每個內角的觀測中誤差相等，且各觀測角之間相互獨立，則每個內角

的觀測中誤差可表示為

此公式成為菲列羅公式。

例：對一三角形的三個角進行了九組同精度的觀測，各組觀測值是對各角分別

觀測四回的平均值，得到三角形閉合差為：

+2.5'-1.5"-3.5"+3.5"—2.5"—0.5"+5.5'+2.5'—2.5'

經檢驗，各閉合差包含有系統性的常誤差+0.5''

1）、求這組閉合差的中誤差；

2）、各角觀測值的中誤差；

3）、每測回觀測值的中誤差

解：1）由于包含系統誤差，故偶然誤差為：

+2.0"—2.0"-4.0〃+3.0"—3.0"—1.0"+5.0"+2.0"—3.0"

2[AA]81八

%

n9

則這組閉合差的中誤差為

er=+3"

2）由于

2c2

3=3crL

所以

第19頁

3）由于

2_12

=W°■一測回

所以

b—測回=±207=±2A/3

（4）.由雙觀測值之差計算中誤差

對n個同類量各觀測兩次，每個觀測對的真誤差為A,=0—（L；—L；）=—4,

觀測對之差的權倒數為：

Pd,

觀測對之差的單位權中誤差為

對于單個觀測值而言，其中誤差為

第i個觀測對的平均值的中誤差為

當所有觀測對為等精度是，其單位中誤差為

%

舉例：例3-15。

6.小結

權是用來衡量觀測成果的相對精度的，單位權方差可以根據計算方便任意選

定，但觀測值之間的比例關系不變。水準測量的權與測站數或路線長度成反比；

鋼尺量測的權與距離長度成反比，光電測距的權用定義式計算，其中測距方差由

固定誤差和比例誤差兩項組成；等精度算術平均值的權與觀測次數成正比。應熟

記定權公式，明確公式中各符號的含義，掌握利用公式解題的方法。

單位權中誤差可由真誤差，改正數，三角形閉合差以及雙觀測之差進行計算,

熟練掌握四種計算公式及方法，并可熟練進行應用。

四、作業

第20頁

第五講協因數陣及其傳播

一'教學目標

1掌握協因數及其與權之間的關系

2了解協因數陣和權陣

3掌握協因數的傳播律

二'重點與難點分析

重點：協因數陣的傳播律

難點：協因數傳播律

三、教學內容與教學過程

［教學提示］:回顧上節內容

1.協因數與協因數陣

（1）協因數

設有觀測值Li和Lj,它們的權分別為2和吃，它們的方差分別為b；和巴一,

它們之間的協方差為5,單位權方差為b02

[2Y22

匚二，Q.3

“2，上!/2

Pj4%

稱27為L,的協因數或權倒數，Q”.為乙的協因數或權倒數，Z為4關于4

的協因數或相關權倒數。由上可知，觀測值的協因數?！焙?,與方差成正比，而協

因數&與協方差成正比。協因數與權有類似的作用，它們是比較觀測值精度高低

的一種指標；而協因數是比較觀測值之間相關程度的一種指標，我們可以利用這

種指標來證明隨機向量間的相關或不相關。

（2）協因數陣

設有觀測值向量（或者是觀測值函數向量）X和Y,它們的方差陣分別為Dxx

和DYY,X關于Y的互協方差陣為DXY,單位權方差為5/。

州262,??丹“02，"Qin

Q21Q22Qin

。2102n2

Dxx=—名

，

b“2?-?bQnlQn2,"Qnn

令

211212…Qin

GQ2IQ22Qin

XX=??

即

第21頁

Dxx=氣Qxx

則QXX稱為觀測向量X的協因數陣，也叫權逆陣。同理

2

DXY=aoQXY

則Qxy稱為觀測向量X關于Y的互協因數陣。

衡量兩個隨機變量X,Y之間相關程度的相關系數可以用協因數來進行計算,

有

a

xyQXy

P=--

QXXQyy

（3）權陣

用Pxx,表示觀測值向量X的權陣，則定義為

Pxx=Qxx

注意權陣P與權Pi是兩個不同的概念

2.協因數傳播律

（1）引入：

例1：

T2-1

T]

L=RL2],QLL=[3求PLP2

—1

解：Pi=l/2P2=l/3

例2：

321

T

L=%L2L3],PLL=242,求Pl,P2

123

2-10

-1

解：QL七-12-1

4

0-12

PI=P2=2

例3：已知

X=[X]x2X,了,Y^FX+F0

如何求Qyy?

（2）協因數傳播律

已知隨機向量的協因數陣，求函數的協因數陣，稱之為協因數傳播律。

1）線性函數的協因數傳播（廣義傳播）

第22頁

Z=KX+%

W=FY+F0

x的協因數陣°亞，y的協因數陣Q",x關于F的互協因數陣為。勢

,太、及。、F、穌為常系數陣。

Qzz=KQXX&T

Qww-

Qzw=KQm'

Qwz~FQy*及r.

［教學提示］:與協方差的公式進行對比

2）非線性傳播

如果Z和W的各個分量是X和Y的非線性函數

附力1肉,乙,…,匕）一-九（"，???￡）-

&（￡］名，跖加氏3…Z）

Z=,W==

z一_力因名，…&）一用一源"名，???，4）_

先利用泰勒公式進行展開，將函數線性化，求Z和W的全微分，得

dZ=KdX

dW=FdY

式中

迄/_翳［

陽

dY

嗎因現2西

隴

組2..法2缶e加

及

=密

K珥常F=陽嗎叱

啊石Wr

西［亞叱」

dX嗎

2a

則z、取的協因電陣°”公獷等按協因數傳播律計算。

對于獨立觀測值假定各A的權為月，則上的權陣、協因數陣（權逆陣）均

為對角陣

0...o

Qn0???0'

P10■■-0~

0022,■?00X...o

0P2,??0Qu=

々=

_00■,,Qnn.00

_00?,,Px--%_

第23頁

設有函數：Z=，@\工如…,L。

全微分得1囁叫+粉犯

+…+-jdLK=KdL

運用協因數傳播律得

-守

一

一

oo一

西

里

之之oO

=殂

隔殂

^3…

OO里

西

■一

-

11

—十---F??,+

PlP2

例：設有函數:

x的協因數Q我，y的協因數Q”，x關于y的互協因數陣為。毋(。以=0%),、

%＞、F、穌為常系數陣。

求：QTL、。獷K。上、Qss、。依、QTX、Qn

(1).計算Qzz、QW2

Qzz=,Qww=,Qzw-KQXYF，

(2).計算Qss

Qzz