課題:等可能性事件的概率

教材：人民教育出版社的全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本.必修）《數學》第二冊（下

B）第十一章概率第一節（第二課時）

授課教師：安徽省無為第一中學徐樸

教學目標；

（1）知識與技能目標：了解等可能性事件的概率的意義，初步運用排列、組合的公式

和枚舉法計算一些等可能性事件的概率。（2）過程和方法目標：通過學習、生活中的實際

問題的引入，讓數學走進生活將生活問題由對具體事例的感性認識上升到對定義的理性認

識，可培養學生的梳理歸納能力；通過歸納定義后再加以應用可培養學生的信息遷移和類

比推理能力；通過計算等可能性事件的概率，提高綜合運用排列、組合知識的能力和分析

問題、解決問題的能力。⑶情感與態度目標：營造親切、和諧的氛圍，以“趣”激學；隨

機事件的發生既有隨機性，又有規律性，使學生了解偶然性寓于必然性之中的辯證思想；

引導學生樹立科學的人生觀和價值觀，培養學生的綜合素質。

教學重點：

等可能性事件的概率的意義及其求法。

教學難點：

等號能性事件概率計算公式的重要前提：每個結果出現的可能性必須相同。

教學方法：

啟發式探索法

教學手段：

計算機輔助教學、實物展示臺

教具準備：

轉盤一個

教學過程：

附：課前興趣閱讀：

生活中的數學

1、你做過這樣的調查嗎？我們班在座的同學中至少有兩位同學在同一天生日的可能性

多大？

2、無為一中進行演講比賽，參賽選手的演講順序通過抽簽決定，抽簽時有先有后，你

認為公平嗎？

同學們，要想解決上面的問題，就讓我們繼續學習概率吧！

一、復習舊知：

拋擲一枚均勻硬幣，

（1）出現正面向上；（2）出現正面向上或反面向上；（3）出現正面向上且反面向上.

各是什么事件？概率分別是多少？（學生回答）（1）隨機事件，概率是1/2

（2）必然事件，概率是1

（3）不可能事件，概率是0

二、設置情境，引入新課：

同學們，你們參加過商場抽獎嗎？

我們美麗的無為的大商場即將在五一黃金周進行有獎銷售活動（拿出轉盤，一面是

把轉盤均勻6份，一面是不均勻的6份）

出示不均勻的一面

情境一：

無為商之都五一黃金周進行有獎銷售活動，購滿200元可進行一次搖獎，獎品如下:

1：電冰箱一臺2：可口可樂一聽3：色拉油250ml

4:謝謝光顧5：洗衣粉一袋6：光明酸奶500ml

你希望抽到什么？抽到電冰箱的可能性與抽到洗衣粉一袋相同嗎？

出示均分6份一面

情境二：

無為百貨大樓五一黃金周進行有獎銷售活動，購滿200元可進行一次搖獎，獎品如

下：

1：雪碧250ml一聽2：可口可樂一聽3：洗衣粉一袋

4:光明酸奶125ml5：康師傅方便面一盒

6：娃哈哈礦泉水一瓶

現在你覺得抽到可口可樂一聽與洗衣粉一袋的可能性相同嗎？抽到1的可能性是

多少呢？你是怎么的到的呢？

求一個隨機事件的概率的基本方法是通過大量的重復試驗；那么能否不進行大量重

復試驗，只通過一次試驗中可能出現的結果求出其概率呢？

這就是今天我們要學習的等可能性事件的概率（板書課題）

三、逐層探索，構建新知：

問題1：擲一枚均勻的硬幣，可能出現的結果有幾種？

它們的概率分別為多少？

正面向上反面向上

1/21/2

問題2：在情境2搖獎中，指針指向的數字可能有幾種？它們的概率分別為多少？

123456

1/61/61/61/61/61/6

這里是怎么得到概率的值的？

引導發現：

1、分析一次試驗可能出現的結果n個

2、每個結果出現的可能性是相同的

（演示轉盤的兩面幫助學生理解每個結果出現的可能性是相同的這一前提）

問題3：在問題2中指針指向的數字是3的倍數的概率為多少呢？是偶數的概率是

多少？(學生回答)

1/21/3

(強調等可能性)

引入公式：

基本事件：一次試驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件。

如果一次試驗由n個基本事件組成，而且所有的基本事件出現的可能性都相等，那么每一

個基本事件的概率都是l/n。

等可能性事件的概率：

如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率

P(A)=m/n

在一次試驗中，等可能出現的n個結果組成一個集合I,

包含m個結果的事件A對應于I的含有m個元素的

Card(A)

P(A)=---------------=m/n

Card(I)

跟蹤練習：1、請同學們自己設計一個有關求等可能性事件的問題。2.先后拋擲2枚均勻

的硬幣

(1)一共可能出現多少種不同的結果？

(2)出現“1枚正面、1枚反面”的結果有多少種。

(3)出現“1枚正面、1枚反面”的概率有多少種。

(4)出現“1枚正面、1面反面”的概率是1/3,對嗎？

四、師生共做，循環上升：

例1、一個口袋內裝有大小相等的1個白色和已編有

不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球。

(1)共有多少種不同的結果？

(2)摸出2個黑球有多少種不同的結果？

(3)摸出2個黑球的概率是多少？

(學生舉手回答或個別提問，注意從組合知識和集合兩個角度分析求解)

「白黑1白黑2白黑3

V黑2黑2黑底

［黑

例題2：將骰子先高麗，次Fk

(1)一共有多少種不同的結果？

(2)其中向上的數之和是5的結果有多少種？

(3)向上的數之和是5的概率是多少？

解：(1)將骰子拋擲1次，它落地時向上的數有1,2,3,4,

5,6這6種結果。根據分步計數原理，先后將這種玩具拋擲2次，

一共有

6X6=36

種不同的結果。

答：先后拋擲骰子2次，一共有36種不同的結果。

(2)在上面所有結果中，向上的數之和是5的結果有

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

4種，其中每一括號內的前后兩個數分別為第1、2次拋擲后向上

的數。上面的結果可用下圖表示

答：在2次拋擲中，向上的數之和為5的結果有4種

(3)由于骰子是均勻的，將它拋擲2次的所有36種結果是等可

能出現的。其中向上的數之和是5的結果(記為事件A)有4種，因此

所求的概率

第6789101112

二

567891011

次

拋45678910

擲

3456789

后

向2345678

上

1234567

的

數123456

第一次拋擲后向上的數

4]_

9

答：拋擲骰子次,向上的數之和為5的概率是1/9

變式練習：

在例2中，向上的數之積為6的概率是多少？

模擬預案：

小明說，拋擲兩枚骰子，向上一面數字之和最小為2,最大為12,共有11種不同的結

果，則向上一面的數字之和為5的概率是1/11,對嗎？為什么？

五.課堂小結：通過這節課的學習，同學們能不能歸納梳理本節課的主要內容？(學生

自主小結)

1、等件可能性事件的特征：

a、一次試驗中有可能出現的結果是有限的；

b、每一結果出現的可能性相等。

2、求等可能性事件概率的步驟：

(1)審清題意，判斷本試驗是否為等可能性事件.

(2)計算所有基本事件的總結果數〃

(3)計算事件A所包含的結果數牝

(4)計算P(A)=m/n

六.課后作業：

1、必做題：P132習題11.12,3

2、選做題：P132習題11.18

結束語：同學們，上課之前大家看到了概率在生活中的應用，譬如，一年365天計算,

我們班某一位同學在今天過生日的概率是多少？根據等可能性事件的概率計算應該是

1/365,那么某兩位同學在今天生日的概率是多少？我們班至少有兩位同學在今天生日的概

率又是多少？等等問題，大家想不想知道，這些問題有待于我們以后進一步概率的學習。

七、說明：

為了貫徹新課程理念，這次評比我選取的內容是人教版高中數學第二冊(下B)第十

一章概率中的一節《等可能性事件的概率》，概率是新課程改革新增內容，與社會生活密切

相關，在生產生活中應用及其廣泛，符合新課程理念倡導的教育觀。

本節課在數學教材的選取上，力求貼近生活實際，如抽獎，摸球游戲等，并且就地取

材，創設學生熟悉的感興趣的問題情境，使學生能在輕松、愉快的教學情境中學習有用的

數學，同時也能運用數學知識來分析問題和解決問題。

教案的設計“以人為本，以學定教”，教師始終扮演的是組織者、引導者、參與者的角

色，通過問題教學法，變“教的課堂”為“學的課堂”，學生成為課堂學習真正的主人。

通過布置分層練習，面對全體學生，使不同的人在數學上有不同的發展，讓不同的學

生在數學學習上都能成功；倡導合作式學習，通過學生小組合作設計問題、小組交流解決

問題的方式，提高學生合作學習、主動探究的能力，而且大大促進了學生對知識的理解和

靈活運用。

本節內容是隨機性的思維方法，學生的辨證思維不成熟，可能存在理解不到位的現

象，反思這一點，如何加以改進，這是在后續教學中需要思考的問題。

第三屆全國高中青年數學教師優秀課評選

課題：數學歸納法及其應用舉例

人民教育出版社全日制普通高級中學教科書數學第三冊(選修H)第二章第一節

安徽師大附中吳中才

【教學目標】

1.使學生了解歸納法，理解數學歸納的原理與實質.

2.掌握數學歸納法證題的兩個步驟；會用“數學歸納法”證明簡單的與自然數有關的命題.

3.培養學生觀察，分析，論證的能力，進一步發展學生的抽象思維能力和創新能力，讓學

生經歷知識的構建過程，體會類比的數學思想.

4.努力創設課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質疑氛圍，提高學生學習的興趣和

課堂效率.

5.通過對例題的探究，體會研究數學問題的一種方法(先猜想后證明)，激發學生的學習熱

情，使學生初步形成做數學的意識和科學精神.

【教學重點】歸納法意義的認識和數學歸納法產生過程的分析

【教學難點】數學歸納法中遞推思想的理解

【教學方法】類比啟發探究式教學方法

【教學手段】多媒體輔助課堂教學

【教學程序】

第一階段：輸入階段一一創造學習情境，提供學習內容

1.創設問題情境，啟動學生思維

(1)不完全歸納法引例：

明朝劉元卿編的《應諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學寫字.這則笑話中財主的兒

子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推

出的結論顯然是錯誤的.

(2)完全歸納法對比引例：

有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些.他給每人一筐花生去剝皮，看看

每一粒花生仁是不是都有粉衣包著，看誰先給出答案.大徒弟費了很大勁將花生全部剝完

了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾

個一仁、兩仁的，總共不過一把花生.顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明.

在生活和生產實際中，歸納法也有廣泛應用.例如氣象工作者、水文工作者依據積累

的歷史資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法.這些歸納法卻不能用完全歸納法.

2.回顧數學舊知，追溯歸納意識

(從生活走向數學，與學生一起回顧以前學過的數學知識，進一步體會歸納意識，同

時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已接觸過歸納.)

(1)不完全歸納法實例：給出等差數列前四項，寫出該數列的通項公式.

(2)完全歸納法實例：證明圓周角定理分圓心在圓周角內部、外部及一邊上三種情況.

3.借助數學史料，促使學生思辨

(在生活引例與學過的數學知識的基礎上，再引導學生看數學史料，能夠讓學生多方

位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性.同時引導學生進行思辨：在數學中運用

不完全歸納法常常會得到錯誤的結論，不管是我們還是數學大家都可能如此.那么，有沒

有更好的歸納法呢？)

問題1已知。,,=(〃2-5"+5)2(w6N),

a

(1)分別求q;a2；%；4-

(2)由此你能得到一個什么結論？這個結論正確嗎？

(培養學生大膽猜想的意識和數學概括能力.概括能力是思維能力的核心.魯賓斯坦

指出：思維都是在概括中完成的.心理學認為“遷移就是概括“，這里知識、技能、思維方

法、數學原理的遷移，我找的突破口就是學生的概括過程.)

問題2費馬是17世紀法國著名的數學家，他曾認為，當〃GN時，22'+1-

定都是質數，這是他對〃=0,1,2,3,4作了驗證后得到的.后來，18世紀偉大的瑞士科

學家歐拉(Eider)卻證明了2a+1=4294967297=6700417x641,從而否定了費馬的推

測.沒想到當〃=5這一結論便不成立.

問題3/(〃)=+〃+41,當〃WN時，/(〃)是否都為質數？

驗證：/(0)=41,/(I)=43,/(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,/(5)=71,

/(6)=83,/(7)=97,/(8)=113,/(9)=131,/(10)=151,/(39)=1601.但

是/(40)=1681=4/,是合數.

第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用，搭建新知結構

4.搜索生活實例，激發學習興趣

(在第一階段的基礎上，由生活實例出發，與學生一起解析歸納原理，揭示遞推過程.孔

子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者.”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著

良好的情感體驗.)

實例：播放多米諾骨牌錄像

關鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下，則它的后一張牌必定倒下.于

是，我們可以下結論：多米諾骨牌會全部倒下.

搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車，早操排隊對齊等.

5.類比數學問題，激起思維浪花

類比多米諾骨牌過程，證明等差數列通項公式%=4+(〃-l)d：

(1)當〃=1時等式成立；(2)假設當n=k時等式成立，即%=%+(?—l)d,則

%+1=4+d=q+即〃=左+1時等式也成立.于是，我們可以下結論：等差

數列的通項公式%=%+(〃-1)"對任何N*都成立.

(布魯納的發現學習理論認為，“有指導的發現學習”強調知識發生發展過程.這里通

過類比多米諾骨牌過程，讓學生發現數學歸納法的雛形，是一種再創造的發現性學習.)

6.引導學生概括，形成科學方法

證明一個與正整數有關的命題關鍵步驟如下：

(1)證明當“取第一個值%時結論正確；

(2)假設當k>n0)時結論正確，證明當〃=%+1時結論也正確.

完成這兩個步驟后，就可以斷定命題對從〃。開始的所有正整數〃都正確.

這種證明方法叫做數學歸納法.

第三階段：操作階段——鞏固認知結構，充實認知過程

7.蘊含猜想證明，培養研究意識

(本例要求學生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數學歸納法，也能教給學生做數學

的方法，培養學生獨立研究數學問題的意識和能力.)

例題在數列｛4｝中，3=1,用=，^(〃GN*),先計算出，%，4的值，再推測通

項乙的公式，最后證明你的結論.

8.基礎反饋練習，鞏固方法應用

(課本例題與等差數列通項公式的證明差不多，套用數學歸納法的證明步驟不難解答,

因此我把它作為練習，這樣既考慮到學生的能力水平，也不沖淡本節課的重點.練習第3

題恰好是等比數列通項公式的證明，與前者是一個對比與補充.通過這兩個練習能看到學

生對數學歸納法證題步驟的掌握情況.)

(1)(第63頁例1)用數學歸納法證明：1+3+5+…+(2M-1)=/.

(2)(第64頁練習3)首項是q,公比是q的等比數列的通項公式是%

9.師生共同小結，完成概括提升

(1)本節課的中心內容是歸納法和數學歸納法；

(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩

種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性，數

學歸納法屬于完全歸納法；

(3)數學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：

兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉；

(4)本節課所涉及到的數學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、

辯證唯物主義思想.

10.布置課后作業，鞏固延伸鋪墊

(1)課本第64頁練習第1,2題；第67頁習題2.1第2題.

(2)在數學歸納法證明的第二步中，證明〃=hH時命題成立，必須要用到〃=左時命題

成立這個假設.這里留一個辨析題給學生課后討論思考：

用數學歸納法證明：1+2+22+2?+…+2"T=2"-1(〃@N*)時，其中第二步采用下面

的證法：

設〃=左時等式成立，即1+2+2?+23+…+2?T=2?-1,則當〃=人+1時，

1_/+】

zi+,

1+2+2?+23+…+2*T+2*==2-1.

1-2

你認為上面的證明正確嗎？為什么？

【教學設計說明】

1.數學歸納法是一種用于證明與自然數n有關的命題的正確性的證明方法.它的操作

步驟簡單、明確，教學重點不應該是方法的應用.我認為不能把教學過程當作方法的灌輸,

技能的操練.為此，我設想強化數學歸納法產生過程的教學，把數學歸納法的產生寓于對

歸納法的分析、認識當中，把數學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來.這樣不

僅使學生可以看到數學歸納法產生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好

的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數學中以演繹思想為主的教學的

重要補充，也是引導學生發展創新能力的良機.

2.在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法.目的是加

強學生對教學過程的參與.為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發動、組織、引

導和點撥.學生的思維參與往往是從問題開始的，本節課按照思維次序編排了一系列問題，

讓學生投入到思維活動中來，把本節課的研究內容置于問題之中，在逐漸展開中，引導學

生用已學的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展.

3.運用數學歸納法證明與正整數有關的數學命題，兩個步驟缺一不可.理解數學歸納

法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明〃=左+1命題成立時必須要用到"=A時命

題成立這個條件.這些內容都將放在下一課時完成，這種理解不僅使我們能夠正確認識數

學歸納法的原理與本質，也為證明過程中第二步的設計指明了思維方向.

課題：函數的單調性

教材：人教版全日制普通高級中學教科書(必修)數學第一冊(上)

授課教師：北京景山學校許云堯

【教學目標】

1.使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和定義判斷、

證明函數單調性的方法.

2.通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合的思想方法，培養學生觀察、歸納、

抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力.

3.通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓

學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程.

【教學重點】函數單調性的概念、判斷及證明.

【教學難點】根據定義證明函數的單調性.

【教學方法】教師啟發講授，學生探究學習.

【教學手段】計算機、投影儀.

【教學過程】

一、創設情境，引入課題

為了預測北京奧運會開幕式當天的天氣情況，數學興趣小組研究了2002年到2006年

每年這一天的天氣情況，下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線

圖.

引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考.

問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及達到的時刻；

(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.

教師指出：在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對

我們的生活是很有幫助的.

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？

預案：水位高低、降雨量、燃油價格、股票價格等.

歸納：用函數觀點看，其實這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數值是變大還

是變小.

K設計意圖》由生活情境引入新課，激發興趣.

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，是函數的重要性質，稱為函數的單調性,

同學們在初中對函數的這種性質就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任

務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.

1.借助圖象，直觀感知

問題1：分別作出函數y=x+2,_y=-x+2,y=x2,y=JL的圖象，并且觀察自變量變化

X

時，函數值的變化規律？

的增大而減小.

(2)函數丁=》2,在［0,+8)上歹隨X的增大而增大，在(-8,0)上》隨X的增大而減小.

(3)函數y=工，在(0,+8)上y隨x的增大而減小，在(-8,0)上》隨x的增大而減小.

X

引導學生進行分類描述(增函數、減函數)，同時明確函數的單調性是對定義域內某個

區間而言的，是函數的局部性質.

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數嗎？

預案：如果函數/(x)在某個區間上隨自變量x的增大，P也越來越大，我們說函數“X)

在該區間上為增函數；如果函數/(x)在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們

說函數/(X)在該區間上為減函數.

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀、描述性的認識.

(設計意圖』從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識.

2.抽象思維，形成概念

問題1：如圖是函數

個函數分別在哪個區間為增

學生的困難是難以確定分界點的確切位置.

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，

需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究.

K設計意圖》使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性.

問題2：如何從解析式的角度說明/(x)=/在［0,+8)上為增函數？

預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如2和3,因為22<32,所以/(x)=/在0+8)

上為增函數.

(2)仿(1),取多組數值驗證均滿足，所以/(x)=，在［0,+8)為增函數.

(3)任取項,彳2G［0,+8),且X1<刀2,因為X；=(X|+》2)(X［-％2)<0,即X；<，所以

/(X)=工2在［0,4-00)上為增函數.

對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，使學生認識到問

題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量X”X2.

K設計意圖』把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認

識.事實上也給出了證明單調性的方法，為第三階段的學習做好鋪墊.

問題3：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎？

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義.

(1)板書定義

(2)鞏固概念

判斷題：

①已知r(x)=L因為/'(—1)</(2),所以函數/(x)是增函數.

X

②若函數/(x)滿足/\2)</(3),則函數/Xx)在區間［2,3］上為增函數.

③若函數/(x)在區間(1,2］和(2,3)上均為增函數，則函數/(x)在區間(1,3)上為增函數.

④因為函數/(X)=L在區間(-00,0)和(0,+8)上都是減函數，所以/(》)=」在

XX

(~°0,0)U(0,+°°)上是減函數.

通過判斷題，強調三點:

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性.

②有的函數在整個定義域內單調（如一次函數），有的函數只在定義域內的某些區間單調

（如二次函數），有的函數根本沒有單調區間（如常函數）.

③函數在定義域內的兩個區間48上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在NU6

上是增（或減）函數.

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數？

（設計意圖X讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷

題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.

三、掌握證法，適當延展

例1證明函數/（x）=x+2在（正,一）上是增函數.

X

1.分析解決問題

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流.

證明：任取X],%€（后,+8）,且X1<七，設元

22

/（王）一/（》2）=（為+—）-（》2+一）求差

項

=（x,-x2）+（--—）變形

X]x2

/.2(X-x.)

=(再—U)+A2—-

X/2

(X,-X2)(l---)

項》2

=區_4盧7

X]X2

*/V2<xt<x2,斷號

x]-x2<0,XjX2>2,

/gvo,即/3）</（匕），

二函數/（X）=X+2在（行,+8）上是增函數.定論

X

2.歸納解題步驟

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.

練習:證明函數/（x）=正在［0,+8）上是增函數.

問題：除了用定義外，如果證得對任意的/,馬€（。乃），且匹，有"上9>0,

x2-x}

能斷定函數/,（X）在區間（。力）上是增函數嗎？

引導學生分析這種敘述與定義的等價性.讓學生嘗試用這種等價形式證明函數

/（X）=正在0+OO）上是增函數.

（設計意圖』初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟.了解等價形式進一步

發展可以得到導數法，為今后用導數方法研究函數單調性埋下伏筆.

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共

同完成小結.

1.小結

（1）概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.

（2）證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.

（3）數學思想方法：數形結合.

2.作業

書面作業：課本第60頁習題2.3第4,5,6題.

課后探究：研究函數、=i+工。>0）的單調性.

X

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一

個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其他性質提供了方法依據.

對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）用準確的數學符號語言刻畫

圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難

的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方

面的推理論證能力是比較薄弱的.根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重

點和難點.

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不

同的方面確定了教學目標.重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、

證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能

力的培養和良好思維習慣的養成.

三、教學方法和教學手段的選擇

本節課是函數單調性的起始課，采用教師啟發引導，學生探究學習的教學方法，通過

創設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法.本節課使用了多媒體投影和

計算機來輔助教學，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識.

四、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：

（1）在探索概念階段，讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認

知過程，完成對函數單調性定義的三次認識，使得學生對概念的認識不斷深入.

（2）在應用概念階段，通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性

的方法和步驟.

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延

展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究函數單調性埋下伏筆.

課題：正弦函數、余弦函數的圖象和性質（五）一一正弦函數圖象的對稱性

教材：人教版全日制普通高級中學數學教科書（必修）第一冊（下）

授課教師：北京市第十九中學檀晉軒

【教學目標】

1.使學生掌握正弦函數圖象的對稱性及其代數表示形式，理解誘導公式

sin（%一x）=sinx（xeR）與sin（2乃一x）=-sinx（xeR）的幾何意義，體會正弦函數的對

稱性.

2.在探究過程中滲透由具體到抽象，由特殊到一般以及數形結合的思想方法，提高學

生觀察、分析、抽象概括的能力.

3.通過具體的探究活動，培養學生主動利用信息技術研究并解決數學問題的能力，增

強學生之間合作與交流的意識.

【教學重點】

正弦函數圖象的對稱性及其代數表示形式.

【教學難點】

用等式表示正弦函數圖象關于直線x='對稱和關于點（不⑼對稱.

【教學方法】

教師啟發引導與學生自主探究相結合.

【教學手段】

計算機、圖形計算器（學生人手一臺）.

【教學過程】

一、復習引入

1.展示生活實例

對稱在自然界中有著豐富多彩的顯現，各種對稱圖案、對稱符號也都十分普遍（見

下圖）.

初中我們已經學習過軸對稱圖形和中心對稱圖形的有關概念:

軸對稱圖形一一將圖形沿一條直線折疊，直線兩側的部分能夠互相重合;

中心對稱圖形一一將圖形繞一個點旋轉180°,所得圖形與原圖形重合.

3.作圖觀察

請同學們用圖形計算器畫出正弦函數的圖象

圖），仔細觀察正弦曲線是否是對稱圖形？是軸對

還是中心對稱圖形？

4.猜想圖形性質

經過簡單交流后，能夠發現正弦曲線既是軸對

也是中心對稱圖形，并能夠猜想出一部分對稱軸和

心.（教師點評并板書）

如何檢驗猜想是否正確？

我們知道，誘導公式sin（-x）=-sinx（xeR）,刻畫了正弦曲線關于原點對稱,而

cos（-x）=cosx（xeR）,刻畫了余弦曲線關于y軸對稱.從這兩個特殊的例子中我們得到

一些啟發，如果我們能夠用代數式表示所發現的對稱性，就可以從代數上進行嚴格證明.

今天我們利用圖形計算器來研究正弦函數圖象的對稱性.（板書課題）

二、探究新知

分為兩個階段，第一階段師生共同探討正弦曲線的軸對稱性質，第二階段學生自主

探索正弦曲線的中心對稱性質.

（-）對于正弦曲線軸對稱性的研究

第一階段，實例分析一一對正弦曲線關于直線》=代對稱的研究.

2

1.直觀探索一一利用圖形計算器的繪圖功能進行探索

請同學們在同一坐標系中畫出正弦曲線和直線X=—

2

的圖象，選擇恰當窗口并充分利用畫圖功能對問題進行探索

研究（見右圖），在直線x=四兩側正弦函數值有什么變化規

2

律？

給學生一定的時間操作、觀察、歸納、交流，最后得出

猜想：當自變量在x=&左右對稱取值時，正弦函數值相

2

從直觀上得到的猜想，需要從數值上進一步精確檢驗.

2.數值檢驗一一利用圖形計算器的計算功能進行探索

請同學們思考，對于上述猜想如何取值進行檢驗呢？

教師組織學生通過合作的方式，對稱地在xg左右自主選取適當的自變量，并計算函

數值,對結果進行列表比較歸納.同時為沒有思路的學生準備參考表格如下:

???7V71.兀.「71c…

X21515+05—+1---F1.5—+2

f-I--I-f-°-?-222

???

sinx???

給學生一定的時間進行思考、操作，根據情況進行指導并組織學生進行交流，然后請

一組學生說明他們的研究過程.學生可以采用不同的數據采集方法，得到的結果如下列圖表

（表格中函數值精確到0.001）：

WEditT-FactGraph?

代肛H髭二I函i國康二1

yl=sin<x)

x__yl__

-1.929-0.936

-1.429-8.989

-0.929-0.801

-0.429-9.416

0.07070.0707

0.57070.5403

1.07079.8775

1.5707HH

2.07070.8775

2.57070.5403

3.07070.0707

3.5707-9.416

4.0707-0.801

4.5707-9.989

5.0707-0.936

5.5707-0.653

11

兀TC八_兀1711廠

X???--2--1.5--1--0.5---F0.5—4-1---F1.5-+2???

2222~22222

sinx???-0.4160.0710.5400.87810.8780.5400.071-0.416???

上述計算結果，初步檢驗了猜想，并可以把猜想用等式sin《7)=sin《+x)(xeR)

表示.

請同學們利用前面得到的數據，用圖形計算器描點畫圖(見下圖)，然后進行觀察比較,

思考點P(2-xj)和P'(?+xj)在平面直角坐標系中有怎樣的位置關系？

WEditZoomAnalysis?*EditZoomAnalysis?WEditZoomAnalysis?

:閏‘朗IEH園函]鷲菖D

根據畫圖結果，可以看出，點P(、-xj)和尸'(、+XJ)關于直線x=5對稱.這樣，

正弦曲線關于直線x=5對稱，可以用等式sin(2-x)=sin(]+x)(xeR)表示.

這樣的計算是有限的，并受到精確度的影響，還需要對等式進行嚴格證明.

3.嚴格證明——證明等式sin(y-x)=sin(y+x)對任意xeR恒成立

請同學們思考，證明等式的基本方法有哪些？所要證的等式左右兩端有何特征？有可

能選用什么樣的公式？

預案一：根據誘導公式sin(%-a)=sina,有sin《-x)=sin[萬一弓+x)]=sin《+x).

預案二:根據公式sin咚一x)=cosx和sin《+x)=cosx,有sin'-x)=sin(殳+x).

預案三：根據正弦函數的定義，在平面直角坐標系中，無

論a取任何實數，角生-a和弓+a的終邊總是關于y軸對稱

22

(見右圖)，他們的正弦值恒相等.

這樣我們就證明了等式sin(y—x)=sin咚+X)對任意

xeR恒成立，也就證明了正弦曲線關于直線》=匹對稱.

2

事實上，誘導公式sin(%-x)=sinx也可以由等式sine-x)=sin咚+x)推出，即這兩個

等式是等價的.因此，正弦曲線關于直線x=生對稱，是誘導公式sin(%-x)=sinx(xeR)

2

的幾何意義.

階段小結：我們從幾何直觀獲得啟發，又通過數據計算進一步檢驗，得出正弦曲線關于

直線x對稱可以用等式sin('-x)=sin(5+x)(xeR)表示，通過對這一等式的嚴格證

明，證實了我們猜想的正確性.上述等式與誘導公式sin(〃-x)=sinx(xeR)的等價性，

使我們對這一誘導公式有了新的理解.

第二階段，抽象概括一一探索正弦曲線的其他對稱軸.

師生、生生交流，步步深入.

問題一：正弦曲線還有其他對稱軸嗎？有多少條對稱軸？對稱軸方程形式有什么特

點？

可以發現，經過圖象最大值點和最小值點且垂直于x軸的直線都是正弦曲線的對稱軸

(教師利用課件演示)，則對稱軸方程的一般形式為：X=-+k7T(左€Z).

2

問題二：能用等式表示“正弦曲線關于直線x=&+左〃(左eZ)對稱”嗎？

2

根據前面的研究，上述對稱可以用等式sing+左左-x)=sing+A7T+x)(左eZ,xeR)

表示.

請學生證明上述等式，然后組織學生交流證明思路.

「jrjrrr

證明預案：sin(y-\-kn-x)=sinpr一(萬一%乃+x)]=sin(j?-?丘萬+x)

乃7C

-sin[2上4+(--k7T+x)]=sin(y+左乃+x).

(二)對于正弦曲線中心對稱性的研究

我們已經知道正弦函數歹=sinx(xeR)是奇函數，即sin(-x)=-sinx(xeR),反映

在圖象上，正弦曲線關于原點對稱.那么，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？請同學們參照軸

對稱的研究方法，小組合作進行研究.

第一階段，對正弦曲線關于點(4,0)對稱的研究.

1.直觀探索一一從圖象上探索在點(匹0)兩側的函數值的變化規律.

2.數值檢驗一一在x=〃左右對稱地選取一組自變量，計算函數值并列表整理.

3.嚴格證明--證明等式sin(%-x)=-sin(%+x)對任意xeR恒成立.

預案一：根據誘導公式sin(2%-a)=-sina,有sin(%-x)=sin[2%-(〃+x)]

=-sin(%+x).

預案二：根據誘導公式sin(〃-x)=sinx和sin(〃+x)=-sinx，有

sin(%-x)=-sin(〃+x).

預案三：根據正弦函數的定義，在平面直角坐標系中，

任何實數，角〃-a和%+a的終邊總是關于x軸對稱(見

他們的正弦值互為相反數.

事實上，等式sin(%-x)=-sin(%+x)與誘導公式

sin(2%-x)=-sinx是等價的.這樣，正弦曲線關于點(%,0)對稱，是誘導公式

sin(2^-x)=-sinx(xeR)的幾何意義.

第二階段，探索正弦曲線的其它對稱中心.

請同學嘗試解決下列三個問題:

1.歸納正弦函數圖象對稱中心坐標的一般形式.

正弦函數圖象對稱中心坐標的一般形式為：(左1,0)(左eZ)(教師利用課件演示).

2.用等式表示“正弦曲線關于點(AT,0)(kwZ)對稱”.

上述對稱可以用等式sin(癡'-x)=-sin(br+x)(%eZ,xeR)表示.

3.證明歸納出的等式.(根據課堂情況可以由學生課后完成證明)

三、課堂小結

1.課堂小結

(1)知識上：得出了正弦函數圖象對稱軸方程和對稱中心坐標的一般形式，研究了對

稱性的代數表示形式，并利用誘導公式完成了嚴格的理論證明.在研究的過程中，對誘導公

式sin(乃-x)=sinx與sin(2%-x)=-sinx(xeR)有了新的理解，感受了正弦函數的對稱

性以及數和形的辨證統一.

(2)方法上：直觀f抽象，特殊—一般，體驗了觀察一歸納一猜想一嚴格證明的研究

方法.

2.作業

(1)總結課上的研究過程和方法，嘗試研究余弦函數圖象的對稱性，并結合自己的

研究過程和結論寫出研究報告，與其他同學交流收獲.

(2)找一個一般函數，如》=“+5出-。為常數且aeR,研究它的圖象及對稱性；

并與正弦函數的圖象及對稱性進行比較.

(3)思考：如何用等式表示函數/(X)關于直線x=a對稱，以及關于點(a,6)對稱？