設計

美麗的圖案數學蘇科版（2024）七年級下冊

第九章

圖形的變換綜合與實踐——項目式學習

第九章

圖形的變換1.了解數學與藝術設計融合的基本形式,形成基本認識，如比例、圖形變換、拼圖、分形藝術等.2.了解利用圖形變換設計的經典藝術作品，對數學思維、對藝術設計的影響.3.掌握三種圖形變換的概念與性質，會進行相應的變換作圖.4.讓學生用數學的眼光觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋藝術設計方面的現實問題，感受數學與藝術的融合，體會數學的審美應用價值，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力.平移、軸對稱和旋轉變換具有廣泛的應用價值.無論是在建筑設計、工程制圖、計算機圖形學、藝術設計等領域，還是在其他學中，都可以看到它們的身影.例如在工程設計中，可以利用變換來設計對稱的建筑結構，以提高穩定性和美觀性.在計算機圖形學中，變換被廣泛應用于圖像的處理和編輯.在物理學中，變換也被用來描述物體的運動和變化.在藝術設計中,敦煌莫高窟的藻井圖案、蘇州古典園林的窗格樣式,都巧妙地運用了圖形變換,既富于變化又蘊含規律,呈現出獨特的美感.在上面兩幅圖案設計中,用到了哪些幾何中的圖形變換?你能利用圖形變設計一幅美麗的圖案嗎?傳承千年的美麗圖案中國傳統圖案花紋對稱嚴謹而又富于變化，內容豐富而又流暢生動，具有濃厚的裝飾意味.敦煌莫高窟是世界上現存規模最大、保存最完好的石窟藝術寶庫，其中美麗的壁畫主要采用對稱構圖法；蘇州古典園林是世界文化遺產，其中的窗花形態各異，體現了簡潔而深刻的美.他們都包含于中國傳統圖案花紋，在數千年的發展中，在多民族文化的多次碰撞與融合中，形成了這些獨特的圖案.傳承千年的美麗圖案對稱是中國傳統圖案的核心特征之一，包括軸對稱、中心對稱和旋轉對稱.如龍紋、鳳紋常采用左右對稱的構圖體現莊重和平衡.太極圖中經典的陰陽對稱，黑白兩部分相互呼應，形成完美的中心對稱.回紋通過直線或曲線的重復對稱，形成連綿不斷的圖案.萬字紋（卍）通過旋轉和重復，形成無限延伸的圖案，象征永恒.雪花紋通過六邊形的重復和旋轉，形成雪花狀的圖案.卷曲的云朵形態常采用重復和旋轉增強動感.

傳承千年的美麗圖案起源于佛教藝術的寶相紋更是其中典型，其通常以蓮花、牡丹等花卉為基礎，以花瓣、花葉、花朵為基礎圖形，利用對稱構圖以簡潔流暢度線條表現出莊重之感.除此以外，平移、縮放密鋪等數學變化也常出現在圖樣中.如纏枝紋通過藤蔓延伸和平移，形成復雜的植物圖案.水波紋通過平移和縮放，模擬水波動態效果.傳統建筑中的地磚和墻面裝飾則常采用密鋪圖案.埃舍爾版畫中的圖形變化埃舍爾是荷蘭著名的版畫家，因其繪畫中的數學元素而聞名.他將平面密鋪、分形、對稱、雙曲幾何和多面體等數學概念融入畫面，使作品極富趣味性和視覺沖擊力.埃舍爾的作品中常見動物、人物或其他形狀的鑲嵌圖案，在《晝與夜》中，飛鳥的圖案通過平移和旋轉完美地鑲嵌在一起.對稱也在其作品中廣泛存在，對稱繪圖系列中出現了各種平面對稱群.雖然埃舍爾的作品中沒有嚴格意義上的分形，但他的許多圖案展示了自相似性和無限重復的概念，在《圓形極限》系列中，圖案在圓形邊界內無限重復.除此以外，他還在《變形》系列中，通過連續的幾何變換逐漸改變形狀，構成豐富奇幻的畫面；在《瀑布》和《上升與下降》中，他通過豐富而綜合的圖形變化創造視覺錯覺，表現了無限循環的場景.埃舍爾版畫中的圖形變化圖形變換作為一種基本的數學工具，其實質是對幾何圖形進行某種規則性的操作，使得圖形在位置或方向上發生某種改變.這些變換雖然看似簡單，但它們的組合和疊加卻能創造出千變萬化的圖形，為幾何世界帶來了無限的可能性.分析美麗的圖案任務1：圖1是某建筑物地磚的一部分.仔細觀察，你在圖中發現了哪些熟悉的圖形，與你的小組成員進行交流.

任務2：如圖2,小明從地磚的局部抽象出兩個基本圖形:正方形ABCD,六邊形EFGHIJ.如何由這兩個基本圖形通過圖形變換得到圖1中的其他圖形?

分析美麗的圖案任務3：進一步，觀察圖1,還可以從中抽象出哪些基本圖形?如何由這些基本圖形通過圖形變換得到圖1中的其他圖形?在圖1中框一框，并與你的小組成員相互交流，有哪些不同的圖形變換方法..

分析美麗的圖案任務4：類似的圖案在生活中隨處可見，如步行小道的地磚、媽媽披肩的花紋、爸爸領帶花紋、建筑穹頂、窗花……，小組合作，選取一個圖案仿照前面的操作分析它，并完成下表.序號基礎圖形使用的圖形變化變化得到的圖形1（例）平移

2

3

……

創作美麗的圖案任務1：如圖,由正方形通過一些有規律的變化,得到了一個富有韻律之美的圖案，仔細觀察，找出其中應用的數學變化.任務2：對圖形涂色后可以得到絢麗的圖案，請展開想象，選擇喜歡的顏色，對圖形中的鏤空的四邊形涂色,可以得到怎樣的圖案?與同學交流.創作美麗的圖案任務3：參考以上案例，利用一個基本的幾何圖形，通過有規律的變化及涂色，展開想象，通過畫筆、動態幾何軟件或計算機畫圖軟件等，設計一幅圖案.任務4：組織進行優秀作品的展示與交流活動，由設計者用圖形變換的語言說明自己作品的設計理念.如“基本圖形”是什么，變換過程是什么，體現了怎樣的數學之美.投票選出優秀作品，并布置展示版展覽.任務1：選取下列選題之一，收集資料、選擇圖案、欣賞、分析其中的藝術之美、數學之美.從數學的角度欣賞圖案，從中抽象出幾何圖形及圖形變換，圖案為什么美，嘗試從簡潔性、對稱性、奇異性、規律性等，進行分析并與同一選題的同學進行交流.欣賞美麗的圖案選題1.查找網絡資源或者觀察現實世界，發現圖形變換在繪畫和設計中的各種應用，感悟藝術之美與數學之美.欣賞美麗的圖案選題2.平面密鋪是一類有趣的幾何問題.我們可以用一個多邊形(如正三角形、長方形、正六邊形等)完成平面密鋪，也可以用幾個多邊形或者復雜圖案完成平面密鋪.查閱有關平面密鋪的資料，挖掘其中數學知識的應用與在藝術創作中的用途.

任務2：根據你的選題，結合交流中的收獲，以小組為單位制作手抄報或撰寫小論文的形式進行展示.欣賞美麗的圖案4.展示交流制作向全班匯報的演示文稿，選出代表向全班同學展示本組的研究成果分享實踐過程中的活動經驗、遇到的困難及其解決方法，反思活動中的不足.1.組建合作團隊本次綜合與實踐活動需要團隊協作，在班級中組成5~7人一組的研究小每位同學參加其中一個小組，每個小組確定一名負責人組2.方案構思小組成員進行充分的討論與交流，集思廣益，形成解決任務的方案3.方案實施按照小組設計的方案進行任務分工，使每位成員都有明確的任務，根據規劃的研究步驟實施，完成活動任務，形成研究