8.5.3平面與平面平行1.通過直觀感知，歸納出平面與平面平行的判定定理.2.能夠應用平面與平面平行的判定定理證明相關問題.3.理解并掌握平面與平面平行的性質定理.4.能夠應用平面與平面平行的性質定理證明相關問題.情景導入你還能舉出平面與平面平行的例子嗎？怎樣判定平面與平面平行呢？梯田：在山區的梯田景觀中，每一層梯田的平面都是相互平行的。這種面面平行的設計有利于保持水土、便于灌溉和農作物的種植，同時也形成了獨特而壯觀的田園風光。

問題1：怎樣判定平面與平面平行？定義法，但平面是無限延展的，所以很難直接利用定義判斷.

類似于研究直線與平面平行的判定，可以想到把平面與平面平行轉化為直線與平面平行.

一個平面內任意一條直線與另一個平面沒有公共點.

一個平面內任意一條直線與另一個平面平行.

兩個平面沒有公共點

兩個平面平行

1.平面與平面平行判定定理

如果一個平面內的任意一條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

問題2：由于平面內的直線有無數多條，我們難以對所有直線逐一檢驗.能否將“任意一條直線”條數減少，得到更簡便的方法？追問1：減少到一條可以嗎？觀察：如圖長方體不可以

追問2：減少到兩條可以嗎？

根據基本事實的推論2，3，兩條平行直線或兩條相交直線確定有一個平面．由此可以想到，如果“一個平面內的兩條平行直線或相交直線都與另一個平面平行”能否使這兩個平面平行？

追問3：兩條相交直線和兩條平行直線都可以確定一個平面，為什么“一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行”能使這兩個平面平行，兩條平行直線不可以呢？你能從向量的角度解釋嗎？平面內的兩條相交直線代表兩個不共線向量.

兩個不共線向量可以表示平面內的任意向量.

兩條平行直線代表兩個共線向量，它們不能“表示”這個平面上的任意一條直線.

平面內的兩條相交直線可以“表示”平面內的任意直線.由平面向量基本定理可得：

如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．符號表示：a?β，b?β，a∩b=P，a//α，b//α?α//β線面平行面面平行圖形表示：αabPβ1.平面與平面平行判定定理

2.平面與平面平行判定定理的應用

水平儀氣泡在中央，說明水平儀所在的直線和地面水平；交叉放置兩次，說明桌面上有兩條相交的直線都和水平地面平行，那么桌面和水平地面平行。

問題3：在實際生活中，工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的，你能說明這么做的道理嗎？

例1

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1．求證：平面AB1D1//平面BC1D．證明：線面平行判定定理面面平行判定定理

變式:在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點，求證：平面AMN//平面EFDB.證明：連接B1D1,∵M、N、E、F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點，∴MN∥B1D1,EF∥B1D1,∴MN∥EF,又∵MN?平面BDFE,EF?平面BDFE.∴MN∥平面BDFE.連接MF，則MFAD,∴四邊形ADFM為平行四邊形.∴AM∥DF,BDD1A1B1MNFEACC1又∵AM?平面BDFE,DF?平面BDFE.∴AM∥平面BDFE.又MN∩AM=M,∴平面AMN//平面EFDB.

線線平行

線面平行

面面平行證明兩個平面平行一般步驟：一：在一個平面內找出兩條相交直線二：證明兩條相交直線分別平行于另一個平面三：利用判定定理得結論證明兩個平面平行基本思路：方法歸納如圖所示，E，F，H分別為三棱錐AB，AC，AD棱上的中點.求證：平面EFH∥平面BCD.證明：∵E，F，H分別為三棱錐AB，AC，AD棱上的中點.∴EF∥BC,又∵EF?平面EFH,FH?平面EFH,EF∩FH=F.∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面BCD,BC?平面BCD,同理可證

FH∥平面BCD.∴平面EFH∥平面BCD.ABCDEFH

前面，我們探究平面與平面平行的判定定理，得到了平面與平面平行的充分條件，可以判定兩個平面平行.

反過來，如果已知平面與平面平行，能推出什么結論呢？下面我們來研究平面與平面平行的性質，也就是平面與平面平行的必要條件.

如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．問題4：類比直線與平面平行性質的研究，如果兩個平面平行，我們可以得到哪些結論？

追問1：我們能從哪些角度考慮？直線和平面,直線和直線.

3.平面與平面平行的性質定理觀察如圖長方體，在平面AC和平面A′C

′中，可以發現：B′D

′與平面AC平行

,

B′D

′與平面AC所有直線沒有公共點.

（2）一個平面內的直線與另一個平面內的直線沒有公共點，它們或者是異面直線，或者是平行直線．（1）一個平面內的直線必平行另一個平面；于是可以得到以下這些結論：

追問2：平行直線是一種特殊情況，那么分別位于兩個平行平面內的兩條直線，什么時候平行呢？αβab分析：如果α//β，a?α，b?β,a//b，

那么過

a，b有且只有一個平面γ.分析：如果α//β，a?α，b?β,a//b，

那么過

a，b有且只有一個平面γ.a，b看成是平面γ與平面α，β的交線

猜想：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．

已知：如圖，平面α//β，平面γ分別與平面α，β相交于直線a，b

求證：a//b證明：∵α∩γ=a,β∩γ=b,∴a?α,b?β.又∵α//β,∴a，b沒有公共點.又a，b同在平面γ內，∴a//b.

平面與平面平行的性質定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.面面平行線線平行圖形表示：符號表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b．

?4.平面與平面平行性質定理的應用例2

求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等．如圖，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求證：AB＝CD．證明：過平行線AB，CD作平面γ，α∩γ＝AC，

β∩γ＝BD∵α∥β，

∴BD∥AC．又AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊．∴

AB＝CD．面面平行性質定理解：∴經過AC與BD可確定平面PCD,

∴AB∥CD.

∵AC∩BD=P.變式：如圖，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，過點P的直線m與α、β分別交于A、C，過點P的直線n與α、β分別交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．∵α∥β，α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD.應用平面與平面平行性質定理的基本步驟①定條件：審題看是否有平面與平面平行；②找平面：找（或作）第三個平面與已知兩個平面相交；③定交線：審確定交線位置；④得平行：得兩條交線相互平行.方法歸納

如圖示,α//β,γ∩α=a,γ∩β=b,c?β,c//b.判斷c與a,c與α的位置關系，并說明理由.解：c//a,