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文檔簡介
四川成都2025屆高三(上)入學(xué)考試-數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點,且,則()A. B.C. D.2.設(shè)函數(shù)恰有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.3.《周易》是我國古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個爻組成,其中“”表示一個陽爻,“”表示一個陰爻)若從八卦中任取兩卦,這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.5.已知,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.6.集合,則()A. B. C. D.7.如圖示,三棱錐的底面是等腰直角三角形,,且,,則與面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.8.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.9.已知函數(shù),則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.10.當(dāng)時,函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.11.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.12.已知集合A={0,1},B={0,1,2},則滿足A∪C=B的集合C的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為橢圓的左、右焦點,點在橢圓上移動時,的內(nèi)心的軌跡方程為__________.14.已知一個圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和,則該圓錐的體積為________15.二項式的展開式中項的系數(shù)為_____.16.在正奇數(shù)非減數(shù)列中,每個正奇數(shù)出現(xiàn)次.已知存在整數(shù)、、,對所有的整數(shù)滿足,其中表示不超過的最大整數(shù).則等于______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)是增函數(shù),且存在不相等的正實數(shù),使得,證明:.18.(12分)已知橢圓的離心率為是橢圓的一個焦點,點,直線的斜率為1.(1)求橢圓的方程;(1)若過點的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為,是否存在直線使得?若存在,求出的方程;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知拋物線:,點為拋物線的焦點,焦點到直線的距離為,焦點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,且.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若軸上存在點,過點的直線與拋物線相交于、兩點,且為定值,求點的坐標(biāo).20.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個不同的實根,求實數(shù)的值.21.(12分)在中,角,,的對邊分別為,,,,,且的面積為.(1)求;(2)求的周長.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,解關(guān)于的不等式;(2)若對任意,都存在,使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
畫出圖形,以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題(1)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無窮多組,在解決具體問題時,合理選擇基底會給解題帶來方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運算或數(shù)乘運算.2.C【解析】
恰有兩個極值點,則恰有兩個不同的解,求出可確定是它的一個解,另一個解由方程確定,令通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為,.因為恰有兩個極值點,所以恰有兩個不同的解,顯然是它的一個解,另一個解由方程確定,且這個解不等于1.令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而,且.所以,當(dāng)且時,恰有兩個極值點,即實數(shù)的取值范圍是.故選:C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,函數(shù)與方程的應(yīng)用,屬于中檔題.3.C【解析】
分類討論,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦;從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個,再取沒有陽爻的坤卦,計算滿足條件的種數(shù),利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦滿足條件,其種數(shù)是;僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦,沒有陽爻的是坤卦,此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是,于是所求的概率.故選:C【點睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因為,且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因為,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.5.B【解析】
利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),可得,再利用對數(shù)運算性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】依題意,函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱,則,即,又,所以,.故選:B.【點睛】本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
利用交集的定義直接計算即可.【詳解】,故,故選:D.【點睛】本題考查集合的交運算,注意常見集合的符號表示,本題屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
首先找出與面所成角,根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且,是等邊三角形,設(shè)中點為,連接,,可知,,同時易知,,所以面,故即為與面所成角,有,故.故選:A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
先計算集合,再計算,最后計算.【詳解】解:,,.故選:.【點睛】本題主要考查了集合的交,補混合運算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
首先求得時,的取值范圍.然后求得時,的單調(diào)性和零點,令,根據(jù)“時,的取值范圍”得到,利用零點存在性定理,求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時,.當(dāng)時,為增函數(shù),且,則是唯一零點.由于“當(dāng)時,.”,所以令,得,因為,,所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選:A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點,考查零點存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.10.B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個零點,,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個極大值點,不成立,排除,故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢,利用排除法,將不合題意選項一一排除.11.C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=12.A【解析】
由可確定集合中元素一定有的元素,然后列出滿足題意的情況,得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4種情況,所以選A項.【點睛】考查集合并集運算,屬于簡單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
考查更為一般的問題:設(shè)P為橢圓C:上的動點,為橢圓的兩個焦點,為△PF1F2的內(nèi)心,求點I的軌跡方程.解法一:如圖,設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點為H,半徑為r,且F1H=y,F(xiàn)2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,則.直線IF1與IF2的斜率之積:,而根據(jù)海倫公式,有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義,可得I點的軌跡是以F1F2為長軸,離心率e滿足的橢圓,其標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二:令,則.三角形PF1F2的面積:,其中r為內(nèi)切圓的半徑,解得.另一方面,由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得:從而有.消去θ得到點I的軌跡方程為:.本題中:,代入上式可得軌跡方程為:.14.【解析】
依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式,求出底面半徑和母線長,再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高,最后利用圓錐的體積公式求出體積。【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,母線長為,高為,所以有解得,故該圓錐的體積為。【點睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。15.15【解析】
由題得,,令,解得,代入可得展開式中含x6項的系數(shù).【詳解】由題得,,令,解得,所以二項式的展開式中項的系數(shù)為.故答案為:15【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了利用通項公式去求展開式中某項的系數(shù)問題.16.2【解析】
將已知數(shù)列分組為(1),,共個組.設(shè)在第組,,則有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)當(dāng)時,在上遞增,在上遞減;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)證明見解析【解析】
(1)對求導(dǎo),分,,進(jìn)行討論,可得的單調(diào)性;(2)在定義域內(nèi)是是增函數(shù),由(1)可知,,設(shè),可得,則,設(shè),對求導(dǎo),利用其單調(diào)性可證明.【詳解】解:的定義域為,因為,所以,當(dāng)時,令,得,令,得;當(dāng)時,則,令,得,或,令,得;當(dāng)時,,當(dāng)時,則,令,得;綜上所述,當(dāng)時,在上遞增,在上遞減;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減,在上遞增;(2)在定義域內(nèi)是是增函數(shù),由(1)可知,此時,設(shè),又因為,則,設(shè),則對于任意成立,所以在上是增函數(shù),所以對于,有,即,有,因為,所以,即,又在遞增,所以,即.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點偏移中的應(yīng)用,考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想,綜合性大,屬于難題.18.(1)(1)不存在,理由見解析【解析】
(1)利用離心率和過點,列出等式,即得解(1)設(shè)的方程為,與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理表示中點N的坐標(biāo),用點坐標(biāo)表示,利用韋達(dá)關(guān)系代入,得到關(guān)于k的等式,即可得解.【詳解】(1)由題意,可得解得則,故橢圓的方程為.(1)當(dāng)直線的斜率不存在時,,不符合題意.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r,設(shè)的方程為,聯(lián)立得,設(shè),則,,,即.設(shè),則,,,則,即,整理得,此方程無解,故的方程不存在.綜上所述,不存在直線使得.【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了弦長和中點問題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.19.(1)(2)【解析】
(1)先分別表示出,然后根據(jù)求解出的值,則的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(2)設(shè)出直線的方程并聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理形式,然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達(dá)定理形式,由此判斷出為定值時的坐標(biāo).【詳解】(1)由題意可得,焦點,,則,,∴解得.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè),設(shè)點,,顯然直線的斜率不為0.設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程,整理可得,,∴,∴要使為定值,必有,解得,∴為定值時,點的坐標(biāo)為【點睛】本題考查拋物線方程的求解以及拋物線中的定值問題,難度一般.(1)處理直線與拋物線相交對應(yīng)的定值問題,聯(lián)立直線方程借助韋達(dá)定理形式是常用方法;(2)直線與圓錐曲線的問題中,直線方程的設(shè)法有時能很大程度上起到簡化運算的作用。20.(1);(2)或.【解析】
(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值,做出函數(shù)在的圖象,即可求解.【詳解】(1),由題意知,解得(舍去)或.(2)當(dāng)時,故方程有根,根為或,+0-0+極大值極小值由表可見,當(dāng)時,有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.因為,.由數(shù)形結(jié)合可得或.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力,屬于中檔題.21.(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理對式子化簡求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面積,求解三角形的周長即可.【詳解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周長為【點睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,也考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.22.(
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