福建省莆田市第九中學2025屆高三下學期模擬（一）測試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，經過點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．2．若為虛數單位，則復數，則在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖，網格紙是由邊長為1的小正方形構成，若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．4．已知，，，若，則（）A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．6．已知函數，則下列判斷錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域為C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱7．定義：表示不等式的解集中的整數解之和.若，，，則實數的取值范圍是A． B． C． D．8．若函數的圖象經過點，則函數圖象的一條對稱軸的方程可以為()A． B． C． D．9．生活中人們常用“通五經貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數”.為弘揚中國傳統文化，某校在周末學生業余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節，連排六節，則滿足“數”必須排在前兩節，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（）A． B． C． D．10．的展開式中有理項有（）A．項 B．項 C．項 D．項11．設是虛數單位，，，則（）A． B． C．1 D．212．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，直三棱柱中，，，，P是的中點，則三棱錐的體積為________.14．設點P在函數的圖象上，點Q在函數的圖象上，則線段PQ長度的最小值為_________15．過直線上一動點向圓引兩條切線MA，MB，切點為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為________．16．如圖，某市一學校位于該市火車站北偏東方向，且，已知是經過火車站的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧都是學校道路，其中，，以學校為圓心，半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點.當地政府欲投資開發區域發展經濟，其中分別在公路上，且與圓弧相切，設，的面積為.（1）求關于的函數解析式；（2）當為何值時，面積為最小，政府投資最低？三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，設函數，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數的最小值為1，證明：.18．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，，直線過點，且與拋物線交于，兩點．（1）求拋物線的方程及點的坐標；（2）求的最大值．19．（12分）已知函數.（1）解關于的不等式；（2）若函數的圖象恒在直線的上方，求實數的取值范圍20．（12分）在世界讀書日期間，某地區調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮居民140人，農村居民60人.在這些居民中，經常閱讀的城鎮居民有100人，農村居民有30人.（1）填寫下面列聯表，并判斷能否有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關？城鎮居民農村居民合計經常閱讀10030不經常閱讀合計200（2）從該地區城鎮居民中，隨機抽取5位居民參加一次閱讀交流活動，記這5位居民中經常閱讀的人數為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機變量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）甲、乙兩班各派三名同學參加知識競賽，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分，假設甲班三名同學答對的概率都是，乙班三名同學答對的概率分別是，，，且這六名同學答題正確與否相互之間沒有影響．（1）記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件，求事件發生的概率；（2）用表示甲班總得分，求隨機變量的概率分布和數學期望．22．（10分）已知曲線的參數方程為（為參數）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據所求雙曲線的漸近線方程為，可設所求雙曲線的標準方程為k．再把點代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選：B【點睛】本題主要考查用待定系數法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題．2、B【解析】

首先根據特殊角的三角函數值將復數化為，求出，再利用復數的幾何意義即可求解.【詳解】，，則在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B【點睛】本題考查了復數的幾何意義、共軛復數的概念、特殊角的三角函數值，屬于基礎題.3、C【解析】

根據三視圖還原為幾何體，結合組合體的結構特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關鍵，側重考查直觀想象和數學運算的核心素養.4、B【解析】

由平行求出參數，再由數量積的坐標運算計算．【詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．【點睛】本題考查向量平行的坐標表示，考查數量積的坐標運算，掌握向量數量積的坐標運算是解題關鍵．5、A【解析】

觀察可知，這個幾何體由兩部分構成,：一個半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個半球體，半徑為1，按公式計算可得體積。【詳解】設半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A。【點睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎題。6、D【解析】

先將函數化為，再由三角函數的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數對稱軸可得：解得：，當，，故C正確；對于D，正弦函數對稱中心的橫坐標為：解得：若圖象關于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數的性質，熟記三角函數基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.7、D【解析】

由題意得，表示不等式的解集中整數解之和為6.當時，數形結合（如圖）得的解集中的整數解有無數多個，解集中的整數解之和一定大于6.當時，，數形結合（如圖），由解得.在內有3個整數解，為1，2，3，滿足，所以符合題意.當時，作出函數和的圖象，如圖所示.若，即的整數解只有1，2，3.只需滿足，即，解得，所以.綜上，當時，實數的取值范圍是.故選D.8、B【解析】

由點求得的值，化簡解析式，根據三角函數對稱軸的求法，求得的對稱軸，由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【點睛】本小題主要考查根據三角函數圖象上點的坐標求參數，考查三角恒等變換，考查三角函數對稱軸的求法，屬于中檔題.9、C【解析】

分情況討論，由間接法得到“數”必須排在前兩節，“禮”和“樂”必須分開的事件個數，不考慮限制因素，總數有種，進而得到結果.【詳解】當“數”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有當“數”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數有種，故滿足條件的事件的概率為：故答案為：C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質進行分類；②按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．10、B【解析】

由二項展開式定理求出通項，求出的指數為整數時的個數，即可求解.【詳解】，，當，，，時，為有理項，共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關鍵，屬于基礎題.11、C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復數的運算，考查了復數相等的涵義.對于復數的運算類問題，易錯點是把當成進行運算.12、D【解析】

先計算集合，再計算，最后計算．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】本題主要考查了集合的交，補混合運算，注意分清集合間的關系，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

證明平面，于是，利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】平面，平面，，又.平面，是的中點，.

故答案為：【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式，屬于基礎題.14、【解析】

由解析式可分析兩函數互為反函數,則圖象關于對稱,則點到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導函數即可求得最值.【詳解】由題,因為與互為反函數,則圖象關于對稱,設點為,則到直線的距離為,設,則,令,即,所以當時,,即單調遞減；當時,,即單調遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點睛】本題考查反函數的性質的應用,考查利用導函數研究函數的最值問題.15、.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率．【詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為，四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為，而，即的最小值，此時最小為圓心到直線的距離，此時，因為，所以，所以的概率為．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系,及與長度有關的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.16、（1）；（2）.【解析】

（1）以點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則，在中，設，又，故，，進而表示直線的方程，由直線與圓相切構建關系化簡整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面積公式表示面積即可；（2）令，則，由輔助角公式和三角函數值域可求得t的取值范圍，進而對原面積的函數用含t的表達式換元，再令進行換元，并構建新的函數，由二次函數性質即可求得最小值.【詳解】解：（1）以點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則，在中，設，又，故，.所以直線的方程為，即.因為直線與圓相切，所以.因為點在直線的上方，所以，所以式可化為，解得.所以，.所以面積為.（2）令，則，且，所以，.令，，所以在上單調遞減.所以，當，即時，取得最大值，取最小值.答：當時，面積為最小，政府投資最低.【點睛】本題考查三角函數的實際應用，應優先結合實際建立合適的數學模型，再按模型求最值，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點分段法，求出各段的取值范圍然后取并集可得結果.（2）利用絕對值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得結果.【詳解】（1）由，所以由當時，則所以當時，則當時，則綜上所述：（2）由當且僅當時取等號所以由，所以所以令根據柯西不等式，則當且僅當，即取等號由故，又則【點睛】本題考查使用零點分段法求解絕對值不等式以及柯西不等式的應用，屬基礎題.18、（1），；（2）1．【解析】

（1）根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；（2）設直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．【詳解】（1）∵點F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，P（2，y0）是拋物線上一點，|PF|＝3，∴23，解得：p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x，∵點P（2，n）（n＞0）在拋物線C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴設直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是y2+4my﹣4＝0的兩個不同實根，∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，（），（x2﹣2，），（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8＝﹣8m2+8m+5＝﹣8（m）2+1．∴當m時，取最大值1．【點睛】本題考查拋物線方程的求法，考查向量的數量積的最大值的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．19、（1）（2）【解析】

（1）零點分段法分，，三種情況討論即可；（2）只需找到的最小值即可.【詳解】（1）由.若時，，解得；若時，，解得；若時，，解得；故不等式的解集為.（2）由，有，得，故實數的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及不等式恒成立問題，考查學生的運算能力，是一道基礎題.20、（1）見解析，有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）【解析】

（1）根據題意填寫列聯表，利用公式求出，比較與6.635的大小得結論；（2）由樣本數據可得經常閱讀的人的概率是，則，根據二項分布的期望公式計算可得；【詳解】解：（1）由題意可得