廣東省汕頭市潮陽區(qū)高中2025屆高三第二次診斷性檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題理試卷_第1頁
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廣東省汕頭市潮陽區(qū)高中2025屆高三第二次診斷性檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題理試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知四棱錐,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,,平面平面ABCD,當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時(shí),該四棱錐的體積為()A. B. C. D.12.已知,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.3.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,P是雙曲線E上的一點(diǎn),且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點(diǎn)M,且M為的中點(diǎn),則雙曲線E的漸近線方程為()A. B. C. D.4.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.5.若,滿足約束條件,則的取值范圍為()A. B. C. D.6.某程序框圖如圖所示,若輸出的,則判斷框內(nèi)為()A. B. C. D.7.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試,先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個(gè)樣本,下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是()A.324 B.522 C.535 D.5788.已知,,,,則()A. B. C. D.9.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A. B. C. D.10.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且點(diǎn)到該漸近線的距離為,則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為A. B.C. D.11.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.12.已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據(jù)如圖所示的偽代碼,輸出的值為______.14.某次足球比賽中,,,,四支球隊(duì)進(jìn)入了半決賽.半決賽中,對(duì)陣,對(duì)陣,獲勝的兩隊(duì)進(jìn)入決賽爭(zhēng)奪冠軍,失利的兩隊(duì)爭(zhēng)奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.獲勝概率—0.40.30.8獲勝概率0.6—0.70.5獲勝概率0.70.3—0.3獲勝概率0.20.50.7—?jiǎng)t隊(duì)獲得冠軍的概率為______.15.已知點(diǎn)M是曲線y=2lnx+x2﹣3x上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時(shí),該切線的方程為_______.16.不等式對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立,則的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.18.(12分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量.19.(12分)在中,角,,所對(duì)的邊分別是,,,且.(1)求的值;(2)若,求的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若,求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45°的直線,交于點(diǎn),且的最大值為,求的值.21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求和的直角坐標(biāo)方程;(2)已知為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求線段的中點(diǎn)到直線的最大距離.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè),將表示成關(guān)于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,所以平面ABCD,所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,,所以.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點(diǎn)H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設(shè),則,.因?yàn)椋裕裕?dāng)時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)EH與ED重合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.2、B【解析】

利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),可得,再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】依題意,函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,則,即,又,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的大小比較,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由雙曲線定義得,,OM是的中位線,可得,在中,利用余弦定理即可建立關(guān)系,從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意,點(diǎn)P一定在左支上.由及,得,,再結(jié)合M為的中點(diǎn),得,又因?yàn)镺M是的中位線,又,且,從而直線與雙曲線的左支只有一個(gè)交點(diǎn).在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,則漸近線方程為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線漸近線方程,涉及到雙曲線的定義、焦點(diǎn)三角形等知識(shí),是一道中檔題.4、B【解析】

可解出集合,然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可.【詳解】,,則,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算,涉及一元二次不等式的求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域,找到使直線的截距取最值得點(diǎn),相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域,如圖所示:由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最小值-5;經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值5,故.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表:KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛:使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí),要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征,決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí),注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.7、D【解析】

因?yàn)橐獙?duì)600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào),所以編號(hào)必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復(fù)出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個(gè)編號(hào).【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:,因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個(gè)數(shù)據(jù)為578.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用,正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.9、C【解析】

設(shè)為中點(diǎn),先證明平面,得出為所求角,利用勾股定理計(jì)算,得出結(jié)論.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題,關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角,再利用球心位置來求解出線段長(zhǎng),屬于中檔題.10、B【解析】

雙曲線的漸近線方程為,由題可知.設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離為,解得,所以,解得,所以雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為,故選B.11、D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點(diǎn):1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算;2、復(fù)數(shù)的模.12、C【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,進(jìn)而可知在R上為增函數(shù),轉(zhuǎn)化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù),所以,即,解得,即,易知在R上為增函數(shù).又,所以,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7【解析】

表示初值S=1,i=1,分三次循環(huán)計(jì)算得S=10>0,輸出i=7.【詳解】S=1,i=1第一次循環(huán):S=1+1=2,i=1+2=3;第二次循環(huán):S=2+3=5,i=3+2=5;第三次循環(huán):S=5+5=10,i=5+2=7;S=10>9,循環(huán)結(jié)束,輸出:i=7.故答案為:7【點(diǎn)睛】本題考查在程序語句的背景下已知輸入的循環(huán)結(jié)構(gòu)求輸出值問題,屬于基礎(chǔ)題.14、0.18【解析】

根據(jù)表中信息,可得勝C的概率;分類討論B或D進(jìn)入決賽,再計(jì)算A勝B或A勝C的概率即可求解.【詳解】由表中信息可知,勝C的概率為;若B進(jìn)入決賽,B勝D的概率為,則A勝B的概率為;若D進(jìn)入決賽,D勝B的概率為,則A勝D的概率為;由相應(yīng)的概率公式知,則A獲得冠軍的概率為.故答案為:0.18【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立事件的概率應(yīng)用,互斥事件的概率求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率,利用基本不等式可得切點(diǎn)橫坐標(biāo),從而可得切線方程.【詳解】,,=1時(shí)有最小值1,此時(shí)M(1,﹣2),故切線方程為:,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、【解析】

根據(jù)題意,分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為只對(duì)于內(nèi)的任意恒成立,令,則只需在定義域內(nèi)即可,利用放縮法,得出,化簡(jiǎn)后得出,即可得出的取值范圍.【詳解】解:已知對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立,即對(duì)于內(nèi)的任意恒成立,令,則只需在定義域內(nèi)即可,,,當(dāng)時(shí)取等號(hào),由可知,,當(dāng)時(shí)取等號(hào),,當(dāng)有解時(shí),令,則,在上單調(diào)遞增,又,,使得,,則,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值,解決恒成立問題求參數(shù)值,涉及分離參數(shù)法和放縮法,考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】試題分析:(1)先由平面幾何知識(shí)證明,再由線面平行判定定理得結(jié)論;(2)先由面面垂直性質(zhì)定理得平面,則,再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.試題解析:證明:(1)在平面內(nèi),因?yàn)锳B⊥AD,,所以.又因?yàn)槠矫鍭BC,平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面平面BCD=BD,平面BCD,,所以平面.因?yàn)槠矫妫?又AB⊥AD,,平面ABC,平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因?yàn)锳C平面ABC,所以AD⊥AC.點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型:(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行;(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.18、矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為,矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項(xiàng)式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程組,即可求得相應(yīng)的特征向量.【詳解】由題意,矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,解得,,將代入二元一次方程組,解得,所以矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為;同理,矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為v【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算,其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得,進(jìn)而求得和,代入求得結(jié)果;(2)利用正弦定理可將表示為,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為,根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法,結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理可得:即(2)由(1)知:,,即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用,涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題;求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題,進(jìn)而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.20、(1),;(2)或【解析】

(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,

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