第36頁（共36頁）2025年中考數學三輪復習之銳角三角函數一．選擇題（共10小題）1．（2025?烏魯木齊一模）第14屆國際數學教育大會（JCME﹣14）會標如圖（a）所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖（b）所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，則cos∠ABE（）A．55 B．255 C．352．（2025?常州模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則tanB等于（）A．513 B．125 C．1213 3．（2025?紅橋區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，則下列結論中正確的是（）A．sinB=BCAB B．cosB=ADAB C4．（2025?廣東模擬）如圖，在A處測得點P在北偏東60°方向上，在B處測得點P在北偏東30°方向上，若AB＝2米，則點P到直線AB距離PC為（）A．3米 B．3米 C．2米 D．1米5．（2025?平陸縣模擬）如圖，在正方形網格中，A，B，C，D為格點（網格線的交點），AB交CD于點O，則tan∠AOC的值為（）A．13 B．12 C．33 6．（2025?深圳模擬）一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ．現要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA＝4米，樓梯寬度3米，則地毯的面積至少需要（）A．4sinθ米2 B．（4+4tanθ）米2C．3(4+4tanθ)米2 D．3（4+4tan7．（2025?沈陽模擬）如圖，在離地面高度為1.5米的A處放風箏，風箏線AC長8米，用測傾儀測得風箏線與水平面的夾角為θ，則風箏線一端的高度CD為（）A．（1.5+8sinθ）米 B．（1.5+8cosθ）米 C．（1.5+8tanθ）米 D．(1.5+88．（2025?南通模擬）圖1是某款自動旋轉遮陽傘，傘面完全張開時張角呈180°，圖2是其側面示意圖．為實現遮陽效果最佳，傘面裝有接收器，可以根據太陽光線的角度變化，自動調整手柄D沿著AB移動，以保證太陽光線與DF始終垂直，已知支架AB長為2.5米，且垂直于地面BC，某一時刻測得BD＝1.7米，懸托架AE＝DE，點E固定在傘面上，當傘面完全張開時，太陽光線與地面的夾角設為α，當tanα=34時，此時懸托架AEA．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.99．（2025?深圳模擬）某數學興趣小組用無人機測量園博園“福塔”AB的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面142m的P點，測得“福塔”頂端A的俯角為37°，再將無人機面向“福塔”沿水平方向飛行210m到達Q點，測得“福塔”頂端A的俯角為45°，則“福塔”AB的高度約為（）（參考數據：tan37°≈3A．48m B．50m C．51m D．52m10．（2025?登封市一模）如圖所示，在矩形網格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在格點上，則tanA的值為（）A．12 B．13 C．55 二．填空題（共5小題）11．（2025?浙江一模）如圖，已知AD∥BC，BD⊥AC，AC＝4，BD＝8，則sin∠DBC＝．12．（2025?蠡縣一模）如圖是一個港灣，A是碼頭，OA，OD是筆直的海岸，B是海島，D在點O的正東方向上，點A在點O北偏東25°的方向上，點B在點O北偏東65°的方向上，OA＝3km，點O與點B的距離為4km．現有一艘貨船按計劃從碼頭A出發后，先停靠OD海岸上任意點C處裝貨后再開往海島B，則按此計劃，貨船行駛的水路最短為km．13．（2025?廣東模擬）如圖，∠MON＝90°，OM＝ON＝6，以點O為圓心，OM為半徑作弧MN，點A是OM中點，點P是弧MN上的動點，以AP為直角邊作Rt△APQ，且tan∠APQ=43，連接NQ，則NQ14．（2025?平陸縣模擬）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點P，∠ABC＝∠ADB＝90°，AB＝BC，tan∠CAD=12，BP＝5，則CD的長為15．（2025?深圳模擬）在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上一點，過點D作DE⊥AD交AC延長線于點E，若tan∠BAC=247，BDAB=25三．解答題（共5小題）16．（2025?鄭州模擬）小新的數學研學日記課題：測量旗桿的高度地點：操場時間：2025月1月13日昨天，晴．高老師要帶我們去操場測量旗桿的高度，我們小組設計方案：小卓拿著標桿垂直于地面放置，如圖1所示，標桿AB＝a，影長BC＝b，旗桿的影長DF＝c，則可求得旗桿DE的高度為．今天，陰．設計方案：如圖2所示，高老師將升旗用繩子拉直，用儀器測得繩子與地面的夾角為37°，然后又將繩子拉到一個0.3米高的平臺上，拉直繩子使繩子上的H點剛好觸到平臺時剩余的繩子長度為5米，此時測得繩子與平臺的夾角為54°，利用這些數據能求出旗桿DE的高度嗎？請你回答小新的問題．若能，請求出旗桿的高度；若不能，請說明理由．（參考數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45）17．（2025?新鄉模擬）圖1是開封市龍亭大殿，龍亭大殿是公園內整個清代建筑群中的主體．大殿坐北朝南，殿前是用青石雕刻的蟠龍盤繞的御道．某數學活動小組到龍亭景區測量龍亭大殿的高度，如圖2，他們選取的測量點B與大殿底部C在同一水平線上，72級蹬道平臺CD高度為13.7米，在B處測得平臺D的仰角為30°，頂部A的仰角為48°．（1）根據以上測量數據，請幫助該數學活動小組求出龍亭大殿AC的高度．（結果精確到0.1米；參考數據：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73（2）在實際測量過程中，請你寫出一條減少誤差的措施．18．（2025?和平區模擬）單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置．某興趣小組利用單擺進行相關的實驗探究．并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，BD⊥OA于點D，∠BOA＝64°，BD＝18.9cm；當擺球運動至點C時，∠COA＝37°，CE⊥OA于點E．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內）實驗圖示解決問題：根據以上信息，求AE的長．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，結果精確到1cm）19．（2025?天心區校級一模）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓樓底的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（3≈1.7320．（2025?碑林區校級二模）如圖，在側面示意圖中，遮陽棚AB長為6米，AB與墻面BC的夾角∠ABC為74°，當太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時，涼蔭處CD的長為2.76米，求墻面BC的高度．（結果精確到0.1米；參考數據：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）

2025年中考數學三輪復習之銳角三角函數參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CDDBBDAADB一．選擇題（共10小題）1．（2025?烏魯木齊一模）第14屆國際數學教育大會（JCME﹣14）會標如圖（a）所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖（b）所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，則cos∠ABE（）A．55 B．255 C．35【考點】解直角三角形的應用；勾股定理的證明．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】C【分析】根據已知可設設EF＝x，則AH＝3x，然后利用全等三角形的性質可得AH＝BE＝3x，再根據正方形的性質可得EF＝EH＝x，從而可得AE＝4x，最后在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB的長，再利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【解答】解：∵EF：AH＝1：3，∴設EF＝x，則AH＝3x，∵△ABE≌△DAH，∴AH＝BE＝3x，∵四邊形EFGH是正方形，∴EF＝EH＝x，∴AE＝AH+EH＝3x+x＝4x，在Rt△ABE中，AB=AE2∴cos∠ABE=BE故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理的證明，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．2．（2025?常州模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則tanB等于（）A．513 B．125 C．1213 【考點】銳角三角函數的定義．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】根據正切的定義即可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tanB=AC故選：D．【點評】本題考查銳角三角函數定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵．3．（2025?紅橋區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，則下列結論中正確的是（）A．sinB=BCAB B．cosB=ADAB C【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】根據正弦，余弦及正切的定義對所給選項依次進行判斷即可．【解答】解：由題知，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠B+∠C＝∠B+∠BAD，∴∠C＝∠BAD．同理可得，∠B＝∠CAD．在Rt△ABD中，sinB=AD在Rt△ABC中，sinB=AC在Rt△ACD中，sin∠CAD=CD∴sinB＝sin∠CAD=CD則sinB=AD故A選項不符合題意．同理可得，cosB=BD故B選項不符合題意．同理可得，tanC=AB故C選項不符合題意，D選項符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查了解直角三角形，熟知正弦，余弦及正切的定義是解題的關鍵．4．（2025?廣東模擬）如圖，在A處測得點P在北偏東60°方向上，在B處測得點P在北偏東30°方向上，若AB＝2米，則點P到直線AB距離PC為（）A．3米 B．3米 C．2米 D．1米【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題；勾股定理的應用．【答案】B【分析】設點P到直線AB距離PC為x米，根據正切的定義用x表示出AC、BC，根據題意列出方程，解方程即可．【解答】解：設點P到直線AB距離PC為x米，在Rt△APC中，AC=PCtan在Rt△BPC中，BC=PCtan由題意得，3x-33x＝解得，x=3故選：B．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數的定義、正確標注方向角是解題的關鍵．5．（2025?平陸縣模擬）如圖，在正方形網格中，A，B，C，D為格點（網格線的交點），AB交CD于點O，則tan∠AOC的值為（）A．13 B．12 C．33 【考點】解直角三角形；勾股定理的逆定理．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】先將AB平移至DF，所以∠AOC＝∠D，連接CF，再判定△CDF是直角三角形，根據CF和DF的值，即可求出答案．【解答】解：如圖，將線段AB向右平移至FD處，使得點B與點D重合，連接CF．∴∠AOC＝∠FDC．設正方形網格的邊長為單位1，∴AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，∴CF=5，CD=25，∵(5∴∠FCD＝90°，∴tan∠故選：B．【點評】本題考查了網格圖中求三角函數，勾股定理逆定理，解題關鍵是掌握所給示例中的方法，靈活運用所學知識解決問題．6．（2025?深圳模擬）一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ．現要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA＝4米，樓梯寬度3米，則地毯的面積至少需要（）A．4sinθ米2 B．（4+4tanθ）米2C．3(4+4tanθ)米2 D．3（4+4tan【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】D【分析】由三角函數表示出BC，得出AC+BC的長度，由矩形的面積即可得出結果．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝AC?tanθ＝4tanθ（米），∴AC+BC＝4+4tanθ（米），∴地毯的面積至少需要3×（4+4tanθ）（米2）；故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用、矩形面積的計算；由三角函數表示出BC是解決問題的關鍵．7．（2025?沈陽模擬）如圖，在離地面高度為1.5米的A處放風箏，風箏線AC長8米，用測傾儀測得風箏線與水平面的夾角為θ，則風箏線一端的高度CD為（）A．（1.5+8sinθ）米 B．（1.5+8cosθ）米 C．（1.5+8tanθ）米 D．(1.5+8【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】A【分析】過點A作AE⊥CD于E，根據正弦的定義求出CE，進而求出CD．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥CD于E，則四邊形ABDE為矩形，∴DE＝AB＝1.5米，在Rt△AEC中，AC＝8米，∠CAE＝θ，∵sin∠CAE=CE∴CE＝AC?sin∠CAE＝8sinθ（米），∴CD＝CE+DE＝（1.5+8sinθ）米，故選：A．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．8．（2025?南通模擬）圖1是某款自動旋轉遮陽傘，傘面完全張開時張角呈180°，圖2是其側面示意圖．為實現遮陽效果最佳，傘面裝有接收器，可以根據太陽光線的角度變化，自動調整手柄D沿著AB移動，以保證太陽光線與DF始終垂直，已知支架AB長為2.5米，且垂直于地面BC，某一時刻測得BD＝1.7米，懸托架AE＝DE，點E固定在傘面上，當傘面完全張開時，太陽光線與地面的夾角設為α，當tanα=34時，此時懸托架AEA．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9【考點】解直角三角形的應用；生活中的旋轉現象．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】A【分析】過點E作EM⊥AD，垂足為M，根據題意可得：DG∥EH，從而可得∠DGB＝∠α，再根據垂直定義可得：∠ABC＝∠FDG＝90°，從而可得∠BDG+∠DGB＝90°，∠ADE+∠BDG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠DGB＝∠ADE＝α，從而可得tan∠ADE=34，再根據已知易得：AD＝0.8m，再利用等腰三角形的三線合一性質可得：AM＝DM＝0.4m，最后在Rt△DME中，利用銳角三角函數的定義求出EM的長，從而利用勾股定理求出【解答】解：過點E作EM⊥AD，垂足為M，由題意得：DG∥EH，∴∠DGB＝∠α，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠BDG+∠DGB＝90°，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠ADE+∠BDG＝180°﹣∠FDG＝90°，∴∠DGB＝∠ADE＝α，∵tanα=∴tan∠ADE=3∵AB＝2.5m，BD＝1.7m，∴AD＝AB﹣BD＝2.5﹣1.7＝0.8（m），∵AE＝DE，EM⊥AD，∴AM＝DM=12AD＝0.4（在Rt△DME中，EM＝DM?tan∠ADE＝0.4×34=0.3∴DE=DM2+∴DE＝AE＝0.5m，故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，生活中的旋轉現象，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．9．（2025?深圳模擬）某數學興趣小組用無人機測量園博園“福塔”AB的高度，測量方案如圖：先將無人機垂直上升至距水平地面142m的P點，測得“福塔”頂端A的俯角為37°，再將無人機面向“福塔”沿水平方向飛行210m到達Q點，測得“福塔”頂端A的俯角為45°，則“福塔”AB的高度約為（）（參考數據：tan37°≈3A．48m B．50m C．51m D．52m【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】延長BA交PQ于點C，根據題意可得：BC⊥PQ，BC＝142m，然后設PC＝xm，則CQ＝（210﹣x）m，從而分別在Rt△APC和Rt△ACQ中，利用銳角三角函數的定義求出AC的長，進而列出關于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：延長BA交PQ于點C，由題意得：BC⊥PQ，BC＝142m，設PC＝xm，∵PQ＝210m，∴CQ＝PQ﹣CP＝（210﹣x）m，在Rt△APC中，∠APC＝37°，∴AC＝PC?tan37°≈34x（在Rt△ACQ中，∠AQC＝45°，∴AC＝CQ?tan45°＝（210﹣x）m，∴34x＝210﹣x解得：x＝120，∴AC＝210﹣x＝90（m），∴AB＝BC﹣AC＝142﹣90＝52（m），故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．10．（2025?登封市一模）如圖所示，在矩形網格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在格點上，則tanA的值為（）A．12 B．13 C．55 【考點】解直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】在Rt△ABD中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【解答】解：如圖：在Rt△ABD中，BD＝2，AD＝6，∴tanA=BD故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025?浙江一模）如圖，已知AD∥BC，BD⊥AC，AC＝4，BD＝8，則sin∠DBC＝55【考點】解直角三角形；平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】55【分析】過D作DE∥AC，交BC延長線于點E，證明四邊形ADEC是平行四邊形，則AC＝DE＝4，再由勾股定理求出BE=45，然后由【解答】解：過D作DE∥AC，交BC延長線于點E，∵AD∥BC，∴四邊形ADEC是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），∴AC＝DE＝4，∵BD⊥AC，∴BD⊥DE，∴∠BDE＝90°，∴BE=∴sin∠故答案為：55【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，勾股定理，正弦的定義，掌握知識點的應用是解題的關鍵．12．（2025?蠡縣一模）如圖是一個港灣，A是碼頭，OA，OD是筆直的海岸，B是海島，D在點O的正東方向上，點A在點O北偏東25°的方向上，點B在點O北偏東65°的方向上，OA＝3km，點O與點B的距離為4km．現有一艘貨船按計劃從碼頭A出發后，先停靠OD海岸上任意點C處裝貨后再開往海島B，則按此計劃，貨船行駛的水路最短為5km．【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題；線段的性質：兩點之間線段最短．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】5．【分析】作點A關于直線OD的對稱點A′，連接AA′，OA′，由題意得到當A′、C、B三點共線時，路線最短，即可得到答案．【解答】解：作點A關于直線OD的對稱點A′，連接AA′，OA′，連接A′B交直線OD于點C，連接AC，∴OA＝OA′，則AC＝A′C，∠AOD＝∠A′OD，∴A′C+BC≥A′B，即AC+BC≥A′B，僅當A′、C、B三點共線時，路線最短，∵∠AOD＝90°﹣25°＝65°，∴∠A′OD＝65°，∠BOD＝90°﹣65°＝25°，∴∠BOA′＝65°+25°＝90°，則OA′＝OA＝3km，OB＝4km，∴A'故答案為：5．【點評】本題主要考查最短路徑問題，熟練掌握線段最短來解題是解題的關鍵．13．（2025?廣東模擬）如圖，∠MON＝90°，OM＝ON＝6，以點O為圓心，OM為半徑作弧MN，點A是OM中點，點P是弧MN上的動點，以AP為直角邊作Rt△APQ，且tan∠APQ=43，連接NQ，則NQ【考點】解直角三角形；等腰直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】109-【分析】將線段AO繞點A旋轉90°并延長至點D，使得AD=43AO，過點D作DH⊥NO，交NO延長線于點H，連接ND，DQ，OP，證明△OAP∽△DAQ，求出DQ＝8，推出點Q在以D為圓心，DQ＝8為半徑的圓上運動，當N，Q，D三點共線時，NQ由最小值，最小值為DN﹣DQ，易證四邊形【解答】解：將線段AO繞點A旋轉90°并延長至點D，使得AD=43AO，過點D作DH⊥NO，交NO延長線于點H，連接ND，由條件可知AQAP∵AD=43∵∠PAQ+∠OAQ＝∠OAD+∠OAQ，∴∠PAQ＝∠OAD，∴△OAP∽△DAQ，∴OPDQ∵OP＝OM＝6，∴DQ＝8，∴點Q在以D為圓心，DQ＝8為半徑的圓上運動，當N，Q，D三點共線時，NQ由最小值，最小值為DN﹣DQ，由條件可知四邊形AOHD是矩形，∴DH＝OA，OH＝AD，∴OA=∴DH=∴NH＝ON+OH＝10，∴在Rt△NHD中，DN=∴NQ的最小值為DN-故答案為：109-【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，正切的定義，勾股定理等，正確作出輔助線，構造三角形相似是解題的關鍵．14．（2025?平陸縣模擬）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點P，∠ABC＝∠ADB＝90°，AB＝BC，tan∠CAD=12，BP＝5，則CD的長為【考點】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形．【專題】解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】213．【分析】過C點作CE⊥BD于E點，如圖，先證明△ABD≌△BCE得到AD＝BE，BD＝CE，再在Rt△ADP中利用正切的定義得到tan∠DAP=DPAD=12，則可設DP＝x，AD＝2x，所以BE＝AD＝2x，PE＝5﹣2x，CE＝BP＝5+x，接著證明∠ECP＝∠CAD得到tan∠ECP＝tan∠CAD=12解得x＝1，然后在Rt△ECD中利用勾股定理可計算出CD．【解答】解：過C點作CE⊥BD于E點，如圖，∵∠ABD+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，在△ABD和△BCE中，∠ADB∴△ABD≌△BCE（AAS），∴AD＝BE，BD＝CE，在Rt△ADP中，∵tan∠DAP=DP∴設DP＝x，AD＝2x，∴BE＝AD＝2x，∵BP＝5，∴PE＝BP﹣BE＝5﹣2x，CE＝BP＝BP+DP＝5+x，∵AD⊥BD，CE⊥BD，∴AD∥CE，∴∠ECP＝∠CAD，∴tan∠ECP＝tan∠CAD=1在Rt△ECP中，∵tan∠ECP=EP∴5-2x解得x＝1，∴CE＝5+x＝6，DE＝x+5﹣2x＝5﹣x＝4，在Rt△ECD中，CD=DE2故答案為：213．【點評】本題考查了解直角三角形，靈活應用銳角三角函數的定義和勾股定理，構建Rt△CEP是解決本題的關鍵．15．（2025?深圳模擬）在等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上一點，過點D作DE⊥AD交AC延長線于點E，若tan∠BAC=247，BDAB=25【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力．【答案】134【分析】過點A作AP⊥BC于點P，過點B作BH⊥AC于點H，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，在Rt△ABH中，根據tan∠BAC=BHAH=247，設BH＝24a，AH＝7a，利用勾股定理分別求出AB＝AC＝25a，CH＝18a，BC＝30a，則BP＝CP＝15a，再求出BD＝10a，則CD＝20a，DP＝5a，AP＝20a，進而得tan∠ACP=APPC=43，tan∠ECF=EFCF，根據∠ACP＝∠ECF得EFCF=43，設EF＝4k，CF＝3k，則CE＝5k，DF＝20a+3k，證明∠EDF＝∠DAP，再根據tan∠DAP=DPAP【解答】解：過點A作AP⊥BC于點P，過點B作BH⊥AC于點H，過點E作EF⊥BC交BC的延長線于點F，如圖所示：則AP∥EF，在Rt△ABH中，tan∠BAC=BH∴設BH＝24a，AH＝7a，由勾股定理得：AB=BH2∴AB＝AC＝25a，∴CH＝AC﹣AH＝25a﹣7a＝18a，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BC=BH2∵AP⊥BC，∴BP＝CP＝15a，∴BDAB∴BD=25AB=2∴CD＝BC﹣BD＝30a﹣10a＝20a，DP＝BP﹣BD＝15a﹣10a＝5a，在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP=AC2∴tan∠ACP=AP在Rt△CEF中，tan∠ECF=EF∵∠ACP＝∠ECF，∴EFCF設EF＝4k，CF＝3k，由勾股定理的：CE=EF2∴DF＝CD+CF＝20a+3k，在Rt△APD中，tan∠DAP=DP在Rt△DEF中，∠EDF=EF∵DE⊥AD，AP⊥BC，∴∠EDF+∠ADP＝90°，∠DAP+∠ADP＝90°，∴∠EDF＝∠DAP，∴4k解得：k=∴CE＝5k=100∴ACCE【點評】此題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質，靈活運用銳角三角函數的定義及勾股定理進行計算是解決問題的關鍵，正確地添加輔助線構造直角三角形是解決問題的難點．三．解答題（共5小題）16．（2025?鄭州模擬）小新的數學研學日記課題：測量旗桿的高度地點：操場時間：2025月1月13日昨天，晴．高老師要帶我們去操場測量旗桿的高度，我們小組設計方案：小卓拿著標桿垂直于地面放置，如圖1所示，標桿AB＝a，影長BC＝b，旗桿的影長DF＝c，則可求得旗桿DE的高度為acb今天，陰．設計方案：如圖2所示，高老師將升旗用繩子拉直，用儀器測得繩子與地面的夾角為37°，然后又將繩子拉到一個0.3米高的平臺上，拉直繩子使繩子上的H點剛好觸到平臺時剩余的繩子長度為5米，此時測得繩子與平臺的夾角為54°，利用這些數據能求出旗桿DE的高度嗎？請你回答小新的問題．若能，請求出旗桿的高度；若不能，請說明理由．（參考數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45）【考點】解直角三角形的應用；相似三角形的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；幾何直觀；應用意識．【答案】acb，11.1【分析】證明△ABC∽△EDF，根據相似三角形的性質列出比例式，把已知數據代入計算求出DE；過點H作HQ⊥DE于Q，HP⊥GD于P，根據正弦的定義求出DE．【解答】解：利用這些數據能求出旗桿DE的高度；理由如下：∵AB∥DE，標桿AB＝a，∴△ABC∽△EDF，∴BCDF∵影長BC＝b，旗桿的影長DF＝c，∴bc解得：DE=過點H作HQ⊥DE于Q，HP⊥GD于P，則QD＝HP＝0.3米，∴EQ＝（ED﹣0.3）米，由題意可知：EH＝EG﹣5，在Rt△EQH中，∠EHQ＝54°，則sin∠∴EQ＝EH?sin∠EHQ，∴ED﹣0.3≈0.8（EG﹣5），在Rt△EDQ中，∠EGD＝37°，則sin∠∴ED＝EG?sin∠EGD，∴ED≈0.6EG，則ED-解得：ED=11.1∴旗桿的高度約為11.1米．故答案為：acb【點評】本題考查解直角三角形的應用，相似三角形的應用，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．17．（2025?新鄉模擬）圖1是開封市龍亭大殿，龍亭大殿是公園內整個清代建筑群中的主體．大殿坐北朝南，殿前是用青石雕刻的蟠龍盤繞的御道．某數學活動小組到龍亭景區測量龍亭大殿的高度，如圖2，他們選取的測量點B與大殿底部C在同一水平線上，72級蹬道平臺CD高度為13.7米，在B處測得平臺D的仰角為30°，頂部A的仰角為48°．（1）根據以上測量數據，請幫助該數學活動小組求出龍亭大殿AC的高度．（結果精確到0.1米；參考數據：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73（2）在實際測量過程中，請你寫出一條減少誤差的措施．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）龍亭大殿AC的高度約為26.3米；（2）減少誤差的建議：可多次測量，取測量數據的平均值．（答案不唯一，合理即可）．【分析】（1）根據題意可得：CD＝13.7米，∠CBD＝30°，∠ABC＝48°，然后在Rt△CBD，利用銳角三角函數的定義求出BC的長，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數的定義求出AC的長，即可解答；（2）根據多次測量求平均值，即可解答．【解答】解：（1）由題意得：CD＝13.7米，∠CBD＝30°，∠ABC＝48°，在Rt△CBD中，tan∠∴BC＝3CD≈1.73×13.7＝23.7（米），在Rt△ABC中，tan∠∴AC＝BC?tan48°≈23.7×1.11≈26.3（米）．答：龍亭大殿AC的高度約為26.3米；（2）減少誤差的建議：可多次測量，取測量數據的平均值．（答案不唯一，合理即可）．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．18．（2025?和平區模擬）單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置．某興趣小組利用單擺進行相關的實驗探究．并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，BD⊥OA于點D，∠BOA＝64°，BD＝18.9cm；當擺球運動至點C時，∠COA＝37°，CE⊥OA于點E．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內）實驗圖示解決問題：根據以上信息，求AE的長．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，結果精確到1cm）【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】AE的長約為4cm．【分析】根據垂直定義可得：∠BDO＝∠CEO＝90°，然后在Rt△BDO中，利用銳角三角函數的定義求出OB的長，從而可得OB＝OC＝OA＝21cm，再在Rt△OCE中，利用銳角三角函數的定義求出OE的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：∵BD⊥OA，CE⊥OA，∴∠BDO＝∠CEO＝90°，在Rt△BDO中，∠BOA＝64°，BD＝18.9cm，∴OB=BDsin64°≈由題意得：OB＝OC＝OA＝21cm，在Rt△OCE中，∠COA＝37°，∴OE＝OC?cos37°≈21×0.8＝16.8（cm），∴AE＝OA﹣OE＝21﹣16.8≈4（cm），∴AE的長約為4cm．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．19．（2025?天心區校級一模）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓樓底的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（3≈1.73【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；應用意識．【答案】277米．【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根據銳角三角函數中的正切可以分別求得BD和CD的長，從而可以求得BC的長，本題得以解決．【解答】解：如圖，由題意可得，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120米，∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AD＝120米，∴BD＝AD?tan30°＝120×33=在Rt△ADC中，∠CAD＝60°，AD＝120米，∴CD＝AD?tan60°＝1203（米），∴BC＝BD+CD＝403+1203=1603≈160×1.73即這棟樓的高度BC約為277米．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．20．（2025?碑林區校級二模）如圖，在側面示意圖中，遮陽棚AB長為6米，AB與墻面BC的夾角∠ABC為74°，當太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時，涼蔭處CD的長為2.76米，求墻面BC的高度．（結果精確到0.1米；參考數據：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】墻面BC的高度約為4.7米．【分析】過點A作AF⊥CE，垂足為F，過點A作AG⊥BC，垂足為G，根據題意可得：AF＝CG，AG＝CF，然后在Rt△ABG中，利用銳角三角函數的定義求出BG和AG的長，從而求出DF的長，再在Rt△ADF中，利用銳角三角函數的定義求出AF的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：過點A作AF⊥CE，垂足為F，過點A作AG⊥BC，垂足為G，由題意得：AF＝CG，AG＝CF，在Rt△ABG中，∠ABC為74°，AB＝6米，∴BG＝AB?cos74°≈6×0.28＝1.68（米），AG＝AB?sin74°≈6×0.96＝5.76（米），∴AG＝CF＝5.76（米），∵CD＝2.76米，∴DF＝CF﹣CD＝5.76﹣2.76＝3（米），在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝DF?tan45°＝3（米），∴AF＝CG＝3米，∴BC＝BG+CG＝1.68+3≈4.7（米），∴墻面BC的高度約為4.7米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．

考點卡片1．線段的性質：兩點之間線段最短線段公理兩點的所有連線中，可以有無數種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點之間，線段最短．2．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．3．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．6．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．7．勾股定理的應用（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．8．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設等腰直角三角形內切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1