第39頁（共39頁）2025年中考數(shù)學三輪復習之命題與證明一．選擇題（共10小題）1．（2025?九龍坡區(qū)校級模擬）下列關于命題的說法中，正確的是（）A．到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上 B．平行四邊形是中心對稱圖形 C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 D．最小的有理數(shù)是02．（2025?方山縣一模）“趙爽弦圖”是第24屆國際數(shù)學家大會的會徽圖案，源于趙爽所著的《勾股圓方圖注》．趙爽運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股定理，他所用的方法是（）A．分析法 B．相似法 C．反證法 D．等面積法3．（2025?常州模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，BC邊上有一動點D，作點B關于直線AD的對稱點E，當點D從點B運動到點C時，點E的運動路徑長為（）A．π2 B．2π2 C．π 4．（2025?閔行區(qū)模擬）已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，且AC＝BD，下列四個命題中真命題是（）A．若AB＝CD，則四邊形ABCD一定是等腰梯形 B．若∠DBC＝∠ACB，則四邊形ABCD一定是等腰梯形 C．若AOOB=COODD．若AC⊥BD且AO＝OD，則四邊形ABCD一定是正方形5．（2025?鐵西區(qū)模擬）下列命題正確的是（）A．每條邊都相等的多邊形是正多邊形 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 C．過線段中點的直線是線段的垂直平分線 D．三角形的角平分線將三角形的面積分成1：2兩部分6．（2025?重慶模擬）下列命題中，是真命題的是（）A．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行 B．對頂角相等 C．如果|a|＝|b|，那么a＝b D．三角形的一個外角大于任意一個內角7．（2025?潮陽區(qū)一模）要說明命題“兩個數(shù)相加，和一定大于其中一個加數(shù)”是假命題，能夠作為反例的是（）A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣48．（2025?寧波模擬）將函數(shù)y=2x(x＞0)的圖象繞原點O逆時針旋轉45°得到圖象C，在圖象C上任取兩點（x1，y1），（x2，y2），下列命題：①若x1+x2＝0，則y1＝y(tǒng)2；②若y1＞y2，則y12＞2y2；③若xA．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．（2025?大連一模）下列命題中，是真命題的是（）A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 B．過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行 C．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到直線的距離10．（2025?南寧模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，P是AC上的動點，點C與點C′關于PB對稱，當點P從點C到點A的運動過程中C′的運動路徑長是（）A．π B．2π C．42 D．二．填空題（共5小題）11．（2025?烏魯木齊一模）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是AB（異于A、B）上兩點，C是MN上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．當點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是．12．（2025?岳麓區(qū)校級一模）有黑、白各6張卡片，分別寫有數(shù)字1至6，把它們像撲克牌那樣洗過后，數(shù)字朝下，如圖排成兩行，排列規(guī)則如下：①從左至右，按數(shù)字從小到大的順序排列；②黑、白卡片數(shù)字相同時，黑卡片放在左邊．將第一行卡片用大寫英文字母按順序標注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標注，則標注字母e的卡片寫有數(shù)字．13．（2025?涼州區(qū)校級模擬）如圖，等邊△ABC內接于⊙O，BC＝6，D為弧AC上一動點，過點B作射線DO的垂線，垂足為E．當點D由點C沿運動到點A時，點E的運動路徑長為．14．（2025?管城區(qū)一模）舉出一個可以說明命題“若a2＝b2，則a＝b”是假命題的反例：．15．（2025?長沙一模）四人分別姓張、李、高和陳，他們每人各任一個職務，四個職位是班長、學習委員、體育委員和勞動委員，已知：（1）體育委員下圍棋很厲害，班長和姓李的同學都不是他的對手；（2）班長主持班會的時候，學習委員和姓張的同學都舉手提了些建議；（3）學習委員分別給班長和姓李的同學輔導過功課；（4）體育委員參加籃球賽時，班長和姓高的同學一起為他助威．根據以上信息，可以推斷勞動委員姓．三．解答題（共5小題）16．（2025?石家莊模擬）如圖1筒車是我國古代利用水利驅動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．如圖2，筒車⊙O按逆時針方向轉動，與水面分別交于A、B，且AB=43m，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為（1）求筒車⊙O的半徑；（2）盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點時，求它走過的路徑長．17．（2025?江北區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小智在剛學完“三角形全等的判定”這節(jié)課后，老師給出了一個富有挑戰(zhàn)性的題目，利用所學知識推導出△ABD和△ACD面積的比值與邊AB和AC長度的比值之間的關系．經過小組討論他們的總體思路是控制變量法，即過點D作AC的垂線，垂足為點E，再根據三角形全等來證明△ABD和△ACD的高相等，從而得到結論，請根據小智他們的思路完成以下作圖與填空：（1）尺規(guī)作圖：過點D作AC的垂線，交AC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）證明：∵AD平分∠BAC，∴①．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠B＝90°．又②，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴③．∵S△ABD=12AB?DB，S△ACD=12∴S△小智他們再進一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論．請你依照題意完成下面命題：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形面積的比值與該角對應的兩邊長度的比值④．18．（2024?沙坪壩區(qū)校級三模）學習了平行四邊形的知識后，同學們進行了拓展性研究．他們發(fā)現(xiàn)作平行四邊形一組對角的角平分線與另一組對角的頂點所連對角線相交，則這兩個交點與這條對角線兩側的對角頂點的連線所圍成的封閉圖形是一個特殊四邊形．他的解決思路是通過證明對應線段平行且相等得出結論．請根據她的思路完成以下作圖和填空：用直尺和圓規(guī)，過點B作∠ABC的角平分線，交AC于點F，連接BE、DF．（只保留作圖痕跡）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，DE平分∠ADC，交AC于點E．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，①，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴∠ADE=1∵∠ADC＝∠CBA，∴②，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③，∴四邊形BEDF是平行四邊形．同學們再進一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形任意一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，均具有此特征．請你依照題意完成下面命題：過平行四邊形一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，則④．19．（2024?定海區(qū)三模）閱讀理解：我們解決某些數(shù)學題的時候，經常會遇到題目中的條件比較含糊，它們常常巧妙地隱蔽在題設的背后，不易被發(fā)現(xiàn)和運用，導致我們解題受阻，因此，挖掘題設中的隱含條件，應該成為我們必備的一種能力．請閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件，并依次解決所給的問題．化簡：(1-5解：由題意可知隱含條件1﹣5a≥0，解得：a≤∴1﹣a＞0，∴(1-5啟發(fā)應用：（1）按照上面的解法，化簡：(m類比遷移：（2）已知△ABC的三邊長分別為(x)2，(x+y)2，拓展延伸：（3）若(x-420．（2024?重慶二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在剛學完“三角形全等的判定”這節(jié)課后，想利用所學知識，推導出△ABD和△ACD面積的比值與AB，AC兩邊比值的關系．他的思路是：過點D作AC的垂線，垂足為點H，再根據三角形全等來證明△ABD和△ACD的高相等，進一步得到△ABD和△ACD的面積之比等于∠BAC的兩鄰邊邊長之比．請根據小明的思路完成以下作圖與填空：（1）尺規(guī)作圖：過點D作AC的垂線，垂足為點H（保留作圖痕跡，不寫作法，要下結論）．（2）證明：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°＝∠B∵AD平分∠BAC，∴．在△ABD和△AHD中，∠B∴△ABD≌△AHD（AAs）．∴BD＝DH．∵S△S△∴S△ABDS△小明再進一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論．請你依照題意完成下面命題：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么．

2025年中考數(shù)學三輪復習之命題與證明參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BDCCBBDDCA一．選擇題（共10小題）1．（2025?九龍坡區(qū)校級模擬）下列關于命題的說法中，正確的是（）A．到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上 B．平行四邊形是中心對稱圖形 C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 D．最小的有理數(shù)是0【考點】命題與定理；中心對稱圖形；有理數(shù)；角平分線的性質；垂徑定理．【專題】平移、旋轉與對稱；圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】B【分析】根據角平分線的判定、中心對稱圖形、垂徑定理的推論、有理數(shù)的概念判斷即可．【解答】解：A、在角的內部，到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、平行四邊形是中心對稱圖形，說法正確，符合題意；C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、沒有最小的有理數(shù)，故本選項說法錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．2．（2025?方山縣一模）“趙爽弦圖”是第24屆國際數(shù)學家大會的會徽圖案，源于趙爽所著的《勾股圓方圖注》．趙爽運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股定理，他所用的方法是（）A．分析法 B．相似法 C．反證法 D．等面積法【考點】反證法；勾股定理的證明．【專題】幾何圖形；運算能力．【答案】D【分析】根據大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個直角三角形的面積，即可證明勾股定理．【解答】解：如圖，由題意得，c2整理得a2+b2＝c2，∴他所用的方法是等面積法，故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的證明，正確進行計算是解題關鍵．3．（2025?常州模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，BC邊上有一動點D，作點B關于直線AD的對稱點E，當點D從點B運動到點C時，點E的運動路徑長為（）A．π2 B．2π2 C．π 【考點】軌跡；軸對稱的性質；勾股定理；等腰直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；與圓有關的計算；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】延長BC到點F，使FC＝BC，連接AF、AE，由∠C＝90°，∠BAC＝45°，得AC垂直平分BF，∠ABF＝∠BAC＝45°，則AF＝AB＝2，∠AFB＝∠ABF＝45°，所以∠BAF＝90°，由點E與點B關于直線AD對稱，得AE＝AB＝2，可知點E的運動路徑長為以A為圓心，半徑長為2，且圓心角為90°的BF的長，根據弧長公式求得lBF=【解答】解：延長BC到點F，使FC＝BC，連接AF、AE，∵∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，∴AC垂直平分BF，∠ABF＝∠BAC＝45°，∴AF＝AB＝2，∠AFB＝∠ABF＝45°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝90°，∵點E與點B關于直線AD對稱，∴AD垂直平分BE，∴AE＝AB＝2，∴點E在以A為圓心，半徑長為2的圓弧上運動，∵當點D與點B重合時，則點E與點B重合；當點D與點C重合時，則點E與點F重合，∴點E的運動路徑為長以A為圓心，半徑長為2，且圓心角為90°的BF的長，∴l(xiāng)BF=故選：C．【點評】此題重點考查等腰直角三角形的性質、軸對稱的性質、弧長公式、軌跡問題的求解等知識與方法，正確地作出輔助線是解昰的關鍵．4．（2025?閔行區(qū)模擬）已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，且AC＝BD，下列四個命題中真命題是（）A．若AB＝CD，則四邊形ABCD一定是等腰梯形 B．若∠DBC＝∠ACB，則四邊形ABCD一定是等腰梯形 C．若AOOB=COODD．若AC⊥BD且AO＝OD，則四邊形ABCD一定是正方形【考點】命題與定理．【專題】幾何圖形．【答案】C【分析】根據等腰梯形、矩形、正方形的判定判斷即可．【解答】解：A、在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，且AC＝BD，若AB＝CD，則四邊形ABCD可能是矩形，錯誤；B、在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，且AC＝BD，若∠DBC＝∠ACB，則四邊形ABCD可能是正方形，錯誤；C、在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，且AC＝BD，若AOOB=COD、在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，且AC＝BD，若AC⊥BD且AO＝OD，則四邊形ABCD可能是等腰梯形，錯誤；故選：C．【點評】此題考查命題與定理，關鍵是根據等腰梯形、矩形、正方形的判定解答．5．（2025?鐵西區(qū)模擬）下列命題正確的是（）A．每條邊都相等的多邊形是正多邊形 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 C．過線段中點的直線是線段的垂直平分線 D．三角形的角平分線將三角形的面積分成1：2兩部分【考點】命題與定理；三角形的面積；平行四邊形的判定與性質；正多邊形和圓．【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】B【分析】根據各個選項中的說法可以判斷是否正確，從而可以判斷哪個選項符合題意．【解答】解：每條邊都相等，每個內角都相等的多邊形是正多邊形，每條邊都相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形不是正四邊形，故選項A錯誤，不符合題意；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選項B正確，符合題意；過線段中點且垂直于這條線段的直線是線段的垂直平分線，故選項C錯誤，不符合題意；三角形的角平分線將三角形的面積分成1：2兩部分是錯的，如△ABC的邊AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，則AD將△ABC分出來的兩個三角形的面積比為3：2，故選項D錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查命題與定理、三角形的面積、角平分線的性質、平行四邊形的判定、正多邊形的定義，解答本題的關鍵是明確題意，可以判斷選項中的命題是否正確．6．（2025?重慶模擬）下列命題中，是真命題的是（）A．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行 B．對頂角相等 C．如果|a|＝|b|，那么a＝b D．三角形的一個外角大于任意一個內角【考點】命題與定理；平行公理及推論；平行線的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質．【專題】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根據平行公理、對頂角相等、絕對值的性質、三角形的外角性質判斷即可．【解答】解：A、同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項命題是假命題，不符合題意；B、對頂角相等，是真命題，符合題意；C、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故本選項命題是假命題，不符合題意；D、三角形的一個外角大于和它不相鄰的任意一個內角，故本選項命題是假命題，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．7．（2025?潮陽區(qū)一模）要說明命題“兩個數(shù)相加，和一定大于其中一個加數(shù)”是假命題，能夠作為反例的是（）A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣4【考點】命題與定理；有理數(shù)的加法．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】根據加法法則知識進行判斷即可．【解答】解：兩個負數(shù)相加，和一定小于其中一個加數(shù)，如﹣1+（﹣3）＝﹣4，故選：D．【點評】此題考查了命題與定理、加法法則等知識，熟練掌握加法法則是解題的關鍵．8．（2025?寧波模擬）將函數(shù)y=2x(x＞0)的圖象繞原點O逆時針旋轉45°得到圖象C，在圖象C上任取兩點（x1，y1），（x2，y2），下列命題：①若x1+x2＝0，則y1＝y(tǒng)2；②若y1＞y2，則y12＞2y2；③若xA．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考點】命題與定理；坐標與圖形變化﹣旋轉；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】反比例函數(shù)及其應用；平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】D【分析】先根據反比例函數(shù)的對稱性和旋轉性質得到圖象C關于y軸對稱，根據軸對稱性質可判斷①；根據圖象C與y軸交于點（0，2），y1＞y2，利用不等式的性質可判斷②；根據圖象C的增減性可判斷③，進而可得答案．【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象關于直線y＝x對稱，且過點(∴圖象C關于y軸對稱，圖象C與y軸交于點（0，2），∴當x1+x2＝0時，y1＝y(tǒng)2，故命題①正確．∵圖象C與y軸交于點（0，2），y1＞y2．∴y1＞y2≥2．∴y12＞y1∵在圖象C上，當x＜0時，y隨x的增大而減小，∴當x1＜x2＜0時，y1＞y2．即命題③正確．綜上，正確的是①②③，故選：D．【點評】本題考查反比例函數(shù)的性質、旋轉性質、軸對稱性、不等式性質，利用數(shù)形結合思想求解是解答的關鍵．9．（2025?大連一模）下列命題中，是真命題的是（）A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 B．過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行 C．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到直線的距離【考點】命題與定理；對頂角、鄰補角；點到直線的距離；同位角、內錯角、同旁內角；平行公理及推論；平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】C【分析】根據平行線的性質、平行公理的推論、平行線的判定、點到直線的距離的定義判斷即可．【解答】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項命題是假命題，不符合題意；B、過一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項命題是假命題，不符合題意；C、在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，是真命題，符合題意；D、直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，故本選項命題是假命題，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．10．（2025?南寧模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，P是AC上的動點，點C與點C′關于PB對稱，當點P從點C到點A的運動過程中C′的運動路徑長是（）A．π B．2π C．42 D．【考點】軌跡；軸對稱的性質；勾股定理；等腰直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】A【分析】根據對稱性分析得出BC'長度固定，當點P與點C重合時，C'與點C重合，當點P與點A重合時，C'與點D重合，可得點C'的運動路徑是以B為圓心，BC為半徑的弧CD的長，再求出圓心角和半徑，根據弧長公式計算即可．【解答】解：∵點C與點C'關于PB對稱，∴BC＝BC'，∵BC長度固定，∴BC'長度固定，當點P與點C重合時，C'與點C重合，當點P與點A重合時，C'與點D重合，∴點C'的運動路徑是以B為圓心，BC為半徑的弧CD的長，∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴∠ABC＝45°，∴∠CBD＝90°，∴運動路徑長為：90×π故選：A．【點評】本題考查了弧長公式，等腰直角三角形的性質，對稱性質，解題的關鍵是得出點C'的運動路徑．二．填空題（共5小題）11．（2025?烏魯木齊一模）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是AB（異于A、B）上兩點，C是MN上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．當點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是2．【考點】軌跡；圓周角定理．【專題】推理填空題；圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力．【答案】2．【分析】連接EB，設OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是GF，點C的運動軌跡是MN，由題意∠MON＝2∠GDF，設∠GDF＝α，則∠MON＝2α，利用弧長公式計算即可解決問題．【解答】解：如圖，連接EB，設OA＝r，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．∴E是△ACB的內心，∴∠AEB＝135°，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是GF，點C的運動軌跡是MN，由題意∠MON＝2∠GDF，設∠GDF＝α，則∠MON＝2α，∴弧MN的長度：弧GF的長度=2故答案為：2．【點評】本題考查了軌跡，圓周角定理，弧長公式，解決本題的關鍵是掌握與圓有關的性質．12．（2025?岳麓區(qū)校級一模）有黑、白各6張卡片，分別寫有數(shù)字1至6，把它們像撲克牌那樣洗過后，數(shù)字朝下，如圖排成兩行，排列規(guī)則如下：①從左至右，按數(shù)字從小到大的順序排列；②黑、白卡片數(shù)字相同時，黑卡片放在左邊．將第一行卡片用大寫英文字母按順序標注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標注，則標注字母e的卡片寫有數(shù)字4．【考點】推理與論證．【專題】證明題；推理能力．【答案】4．【分析】根據排列規(guī)則依次確定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【解答】解：第一行中B與第二行中c肯定有一張為白1，若第二行中c為白1，則左邊不可能有2張黑卡片，∴白卡片數(shù)字1擺在了標注字母B的位置，∴黑卡片數(shù)字1擺在了標注字母A的位置，；第一行中C與第二行中c肯定有一張為白2，若第二行中c為白2，則a，b只能是黑1，黑2，而A為黑1，矛盾，∴第一行中C為白2；第一行中F與第二行中c肯定有一張為白3，若第一行中F為白3，則D，E只能是黑2，黑3，此時黑2在白2右邊，與規(guī)則②矛盾，∴第二行中c為白3，∴第二行中a為黑2，b為黑3；第一行中F與第二行中e肯定有一張為白4，若第一行中F為白4，則D，E只能是黑3，黑4，與b為黑3矛盾，∴第二行中e為白4．故答案為：4．【點評】本題考查了推論與論證，圖形類規(guī)律探索，解題的關鍵是理解題意，根據所給規(guī)則依次確定出白1，白2，白3，白4的位置．13．（2025?涼州區(qū)校級模擬）如圖，等邊△ABC內接于⊙O，BC＝6，D為弧AC上一動點，過點B作射線DO的垂線，垂足為E．當點D由點C沿運動到點A時，點E的運動路徑長為233【考點】軌跡；等邊三角形的性質；三角形的外接圓與外心．【專題】三角形；與圓有關的計算．【答案】233【分析】連接BO，過點O作OF⊥BC于點F，在Rt△BOF中，根據含30度角的直角三角形的性質，勾股定理即可求出圓的半徑，然后取BO的中點G，連接EG，OC，OA，則GE=12BO=3，延長CO交⊙G于點H，根據∠COD＝∠EOH，得出E點在⊙G【解答】解：如圖所示，連接BO，過點O作OF⊥BC于點F，則BF=12BC＝∵△ABC為等邊三角形，∴∠FBO=12∠ABC＝∴OB＝23，取BO的中點G，連接EG，OC，OA，則GE=12BO∵∠BEO＝90°，∴E在⊙G上運動，∵AC=∴∠COA＝2∠ABC＝120°，延長CO交⊙G于點H，∵∠COD＝∠EOH，∴當點D由點C沿AC運動到點A時，E點在⊙G上運動了120°，∴點E的運動路徑長為120×π×故答案為：233【點評】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，垂徑定理，直角所對的弦是直徑，求弧長，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．14．（2025?管城區(qū)一模）舉出一個可以說明命題“若a2＝b2，則a＝b”是假命題的反例：a＝3，b＝﹣3（答案不唯一）．【考點】命題與定理．【專題】證明題；推理能力．【答案】a＝3，b＝﹣3（答案不唯一）．【分析】a＝3，b＝﹣3，則32＝（﹣3）2，3≠﹣3，滿足a2＝b2，不滿足a＝b．【解答】解：舉出a＝3，b＝﹣3代入驗證可得：32＝（﹣3）2，3≠﹣3，滿足a2＝b2，不滿足a＝b，故命題“若a2＝b2，則a＝b”是假命題，故答案為：a＝3，b＝﹣3（答案不唯一）．【點評】本題考查了命題與定理掌握相關知識是解題的關鍵．15．（2025?長沙一模）四人分別姓張、李、高和陳，他們每人各任一個職務，四個職位是班長、學習委員、體育委員和勞動委員，已知：（1）體育委員下圍棋很厲害，班長和姓李的同學都不是他的對手；（2）班長主持班會的時候，學習委員和姓張的同學都舉手提了些建議；（3）學習委員分別給班長和姓李的同學輔導過功課；（4）體育委員參加籃球賽時，班長和姓高的同學一起為他助威．根據以上信息，可以推斷勞動委員姓李．【考點】推理與論證．【專題】推理能力．【答案】李．【分析】根據題干中的四條信息分析作答．【解答】解：本題中“班長與姓李的同學都不是他的對手”意味著體育委員和班長不姓李；“學習委員和姓張的同學都舉手提了些建議”意味著出班長和學習委員不姓張；“學習委員分別給班長和姓李的同學輔導過功課”意味著班長和學習委員不姓李；“體育委員參加籃球賽時，班長和姓高的同學一起為他助威”這表明體育委員和班長不姓高．班長不姓李、張、高，所以班長姓陳；體育委員不姓李、高，也不能姓陳，所以體育委員姓張；剩余李和高姓，因為學習委員不姓李，所以學習委員姓高，勞動委員姓李．故答案為：李．【點評】本題考查推理論證，演繹是一種由一般到個別的推理方法．在演繹推理過程中，前提和結論之間的聯(lián)系是必然的，結論不能超出前提所斷定的范圍．對于一個正確的演繹推理過程，如果其前提是真的，則所得到的結論也一定是真的，這是演繹推理的一個重要特征．三．解答題（共5小題）16．（2025?石家莊模擬）如圖1筒車是我國古代利用水利驅動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．如圖2，筒車⊙O按逆時針方向轉動，與水面分別交于A、B，且AB=43m，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為（1）求筒車⊙O的半徑；（2）盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點時，求它走過的路徑長．【考點】軌跡；垂徑定理的應用．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】（1）筒車⊙O的半徑為4m；（2）83πm【分析】（1）連接OA，根據勾股定理即可解決問題；（2）利用銳角三角函數(shù)求出∠COA＝60°，再根據弧長公式即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，連接OA，∵AB=4∴AC=2在Rt△ACO中，OC＝2，AO2＝OC2+AC2，∴AO=答：筒車⊙O的半徑為4m；（2）由（1）可得tan∠∴∠COA＝60°，∴盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點時，它走過的路徑長為180-60180【點評】本題考查軌跡，垂徑定理的應用，解決本題的關鍵是掌握垂徑定理．17．（2025?江北區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小智在剛學完“三角形全等的判定”這節(jié)課后，老師給出了一個富有挑戰(zhàn)性的題目，利用所學知識推導出△ABD和△ACD面積的比值與邊AB和AC長度的比值之間的關系．經過小組討論他們的總體思路是控制變量法，即過點D作AC的垂線，垂足為點E，再根據三角形全等來證明△ABD和△ACD的高相等，從而得到結論，請根據小智他們的思路完成以下作圖與填空：（1）尺規(guī)作圖：過點D作AC的垂線，交AC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）證明：∵AD平分∠BAC，∴①∠CAD＝∠BAD．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠B＝90°．又②AD＝AD，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴③DE＝BD．∵S△ABD=12AB?DB，S△ACD=12∴S△小智他們再進一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論．請你依照題意完成下面命題：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形面積的比值與該角對應的兩邊長度的比值④相等．【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；作圖—復雜作圖．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；尺規(guī)作圖；推理能力．【答案】∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，DE＝BD，相等．【分析】（1）以D為圓心畫弧交AC于M、N，作線段MN的垂直平分線交AC于E；（2）判定△ABD≌△AED（AAS），推出DE＝BD，由三角形面積公式推出S△【解答】（1）解：如圖所示：DE⊥AC；（2）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠B＝90°，又AD＝AD，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴DE＝BD．S△ABD=12AB?DB，S△ACD=12AC?小智他們再進一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論，如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形面積的比值與該角對應的兩邊長度的比值相等．故答案為：∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，DE＝BD，相等．【點評】本題考查命題與定理，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，作圖﹣復制作圖，關鍵是掌握尺規(guī)作圖：過直線外一點作已知直線的方法，判定△ABD≌△AED（AAS），推出DE＝BD．18．（2024?沙坪壩區(qū)校級三模）學習了平行四邊形的知識后，同學們進行了拓展性研究．他們發(fā)現(xiàn)作平行四邊形一組對角的角平分線與另一組對角的頂點所連對角線相交，則這兩個交點與這條對角線兩側的對角頂點的連線所圍成的封閉圖形是一個特殊四邊形．他的解決思路是通過證明對應線段平行且相等得出結論．請根據她的思路完成以下作圖和填空：用直尺和圓規(guī)，過點B作∠ABC的角平分線，交AC于點F，連接BE、DF．（只保留作圖痕跡）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，DE平分∠ADC，交AC于點E．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，①AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴∠ADE=1∵∠ADC＝∠CBA，∴②∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③∠DEA＝∠BFC，∴四邊形BEDF是平行四邊形．同學們再進一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形任意一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，均具有此特征．請你依照題意完成下面命題：過平行四邊形一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，則④這兩個交點與這條對角線兩側的對角頂點的連線所圍成的四邊形是平行四邊形．【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；平行四邊形的判定與性質；作圖—復雜作圖．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】利用基本作圖作∠ABC的平分線得到BF，再利用平行四邊形的性質得到AD＝CB，AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA，接著根據角平分線的定義可證明∠ADC＝∠CBA，于是可判斷△ADE≌△CBF．則DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．然后證明DE∥BF，從而得到四邊形BEDF是平行四邊形．類比方法可得到過平行四邊形一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，則這兩個交點與這條對角線兩側的對角頂點的連線所圍成的四邊形是平行四邊形．【解答】證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴∠ADE=1∵∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．一般地，過平行四邊形一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，則這兩個交點與這條對角線兩側的對角頂點的連線所圍成的四邊形是平行四邊形．故答案為：AD∥BC，∠ADE＝∠CBF，∠DEA＝∠BFC；這兩個交點與這條對角線兩側的對角頂點的連線所圍成的四邊形是平行四邊形．【點評】本題考查了命題：要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證．也考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質．19．（2024?定海區(qū)三模）閱讀理解：我們解決某些數(shù)學題的時候，經常會遇到題目中的條件比較含糊，它們常常巧妙地隱蔽在題設的背后，不易被發(fā)現(xiàn)和運用，導致我們解題受阻，因此，挖掘題設中的隱含條件，應該成為我們必備的一種能力．請閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件，并依次解決所給的問題．化簡：(1-5解：由題意可知隱含條件1﹣5a≥0，解得：a≤∴1﹣a＞0，∴(1-5啟發(fā)應用：（1）按照上面的解法，化簡：(m類比遷移：（2）已知△ABC的三邊長分別為(x)2，(x+y)2，拓展延伸：（3）若(x-4【考點】命題與定理；二次根式的性質與化簡；二次根式的乘除法；不等式的性質．【專題】二次根式；運算能力．【答案】（1）2；（2）x+2y；（3）4≤x≤7．【分析】（1）先根據二次根式有意義的條件求出m的范圍，再根據二次根式的性質化簡即可；（2）先根據二次根式有意義的條件求出x、y的范圍，再根據二次根式的性質化簡即可；（3）先根據二次根式有意義的條件求出x的范圍，再分類討論，根據二次根式的性質化簡即可．【解答】解：（1）由題意可知隱含條件3﹣m≥0，解得：m≤3，∴m﹣5＜0，∴(m（2）由題意可知隱含條件x≥0，y﹣x≥0，解得：x≥0，y≥x，∴y≥x≥0，∴x+y≥0，∴(x∴△ABC的周長為x+2y；（3）由題意可知隱含條件x﹣4≥0，解得：x≥4，當4≤x≤7時，x﹣7≤0，則(x當x＞7時，x﹣7＞0，則(x綜上所述，x的取值范圍為4≤x≤7．【點評】本題考查了二次根式的性質和二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的性質和二次根式有意義的條件是解題的關鍵．20．（2024?重慶二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在剛學完“三角形全等的判定”這節(jié)課后，想利用所學知識，推導出△ABD和△ACD面積的比值與AB，AC兩邊比值的關系．他的思路是：過點D作AC的垂線，垂足為點H，再根據三角形全等來證明△ABD和△ACD的高相等，進一步得到△ABD和△ACD的面積之比等于∠BAC的兩鄰邊邊長之比．請根據小明的思路完成以下作圖與填空：（1）尺規(guī)作圖：過點D作AC的垂線，垂足為點H（保留作圖痕跡，不寫作法，要下結論）．（2）證明：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°＝∠B∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠HAD．在△ABD和△AHD中，∠B∴△ABD≌△AHD（AAs）．∴BD＝DH．∵S△S△∴S△ABDS△小明再進一步研究發(fā)現(xiàn)，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論．請你依照題意完成下面命題：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形的面積之比，等于這個內角的兩條鄰邊邊長之比．【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；作圖—復雜作圖．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】∠BAD＝∠HAD；AD＝AD；ABAC【分析】（1）分別以A、C點為圓心，12AC長為半徑在線段AC兩側畫弧，各有兩個交點，連接這兩個交點交AC邊與H，則直線DH即為（2）根據AAS，再找一條公共邊，證明△ABD≌△AHD，得到BD＝DH，進而將面積之比轉化長相應邊的比．【解答】（1）解：如圖，直線DH為所作垂段；（2）證明：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°＝∠B．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠HAD．在△ABD和△AHD中，∠B∴△ABD≌△AHD（AAS）．∴BD＝HD．∵S△S△∴S△所以：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形的面積之比，等于這個內角的兩條鄰邊邊長之比．故答案為：∠BAD＝∠HAD；AD＝AD；ABAC【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的作圖，掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．

考點卡片1．有理數(shù)我們學習過正整數(shù)，如1，2，3，…；0；負整數(shù)，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)．我們還學習過正分數(shù)，如12，23，157，0.1，5.32，0.3?，……；負分數(shù)，如-52，-2進一步地，正整數(shù)可以寫成分數(shù)的形式，例如2=21；負整數(shù)也可以寫成負分數(shù)的形式，例如﹣3=-31可以寫成分數(shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)．其中，可以寫成正分數(shù)形式的數(shù)為正有理數(shù)，可以寫成負分數(shù)形式的數(shù)稱為負有理數(shù)．0.1=110，﹣0.5=-12．有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)加法法則：①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）（2）相關運算律交換律：a+b＝b+a；結合律（a+b）+c＝a+（b+c）．3．二次根式的性質與化簡（1）二次根式的基本性質：①a≥0；a≥0②（a）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．③a2=|a|（2）二次根式的化簡：①利用二次根式的基本性質進行化簡；②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡．ab=a?b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結果．（3）檢驗結果：所得結果為最簡二次根式或整式．4．二次根式的乘除法（1）積的算術平方根性質：a?b=a?b（a≥0，（2）二次根式的乘法法則：a?b=a?b（a≥0，（3）商的算術平方根的性質：ab=ab（a≥0，（4）二次根式的除法法則：ab=ab（a≥0，規(guī)律方法總結：在使用性質a?b=a?b（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質會使二次根式無意義，如（-4）×（-5．不等式的性質（1）不等式的基本性質①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才改變．【規(guī)律方法】1．應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．6．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．7．對頂角、鄰補角（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．（3）對頂角的性質：對頂角相等．（4）鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．（5）鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．8．點到直線的距離（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形．9．同位角、內錯角、同旁內角（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．（2）內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．（3）同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．（4）三線八角中的某兩個角是不是同位角、內錯角或同旁內角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定．在復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．10．平行公理及推論（1）平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．（2）平行公理中要準確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思．（3）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．（4）平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結論在證明直線平行時應用．11．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．12．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．13．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．14．三角形的外角性質（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．15．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．16．角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE17．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．18．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．19．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．20．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設等腰直角三角形內切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：221．平行四邊形的判定與性質平行四邊形的判定與性質的作用平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或對角的位置上，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．22．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?3．垂徑定理的應用垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，