2024-2025學年天津市高二下學期3月月考數學質量檢測試卷溫馨提示：本試卷包括、兩部分，共100分．考試時間90分鐘，祝同學們考試順利!第I卷（選擇題，共27分）一、選擇題（本大題共9小題，每小題3分，共27分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由基本初等函數的導數公式及運算逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D2.已知，則（）A.1 B.2 C.-1 D.-2【正確答案】C【分析】按照求導法則對函數進行求導，令代入導數式即可得解.【詳解】函數，則，令代入上式可得，解得.故選：C本題考查導數的運算法則，屬于基礎題.3.有一排四個信號顯示窗，每個窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號顯示窗所發出的信號種數是（）A.12 B.64 C.81 D.256【正確答案】C【分析】由分步乘法計算可得.【詳解】由題意可得每個信號燈有三種情況，各自獨立，所以一共有種.故選：C4.如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在上是增函數 B.在上是減函數C.當時，取極大值 D.當時，取極大值【正確答案】C【分析】觀察導函數的圖象，根據函數的單調性與導數之間的關系，判斷函數單調性，繼而判斷函數的極值點，即可得答案.【詳解】觀察的圖象可知，

當時，導函數的圖象先負后正，故函數先遞減，后遞增，故A錯誤；

當時，導函數先正后負，函數先增后減，故B錯誤

當時，函數遞增，時，函數單調減，故得到函數在處取得極大值，C正確；

當時，函數遞減，時，函數單調增，故得到函數在處取得極大=效值，故D錯誤

故選：C5.從0，2中選一個數字．從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數．其中奇數的個數為A.24 B.18 C.12 D.6【正確答案】B【詳解】由于題目要求的是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種選擇)，之后十位(2種選擇)，最后百位(2種選擇)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共12+6=18種情況．6.函數的大致圖象是（）A B.C. D.【正確答案】A【分析】利用導數分析函數的單調性與極值，進而可得出函數的圖象.【詳解】，，所以當時，，當時，，所以函數在上是增函數，在上是減函數，.故選：A.本題主要考查函數圖象的識別和判斷，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性與極值是解決本題的關鍵．難度中等．7.若函數恰有3個零點，則實數的取值范圍是A B. C. D.【正確答案】B【分析】求導函數，求出函數的極值，利用函數恰有三個零點，即可求實數的取值范圍.【詳解】函數的導數為，令，則或，上單調遞減，上單調遞增，所以0或是函數y的極值點，函數的極值為：，函數恰有三個零點，則實數取值范圍是.故選B.該題考查的是有關結合函數零點個數，來確定參數的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應用導數研究函數圖象的走向，利用數形結合思想，轉化為函數圖象間交點個數的問題，難度不大.8.已知為上的可導函數，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先構造函數，利用導數判斷該函數的單調性；再利用單調性判斷各個選項即可.【詳解】設，，則，因為，所以，得到，則函數在區間上單調遞增，所以，即，則，故B錯誤，而，，得到，故C錯誤，D正確，而依據已知條件無法確定A，故A錯誤.故選：D.9.已知函數，則下列結論正確的有（）①函數存在兩個不同的零點②函數既存在極大值又存在極小值③當時，方程有且只有兩個實根④若時，，則的最小值為2A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【正確答案】C【分析】對于①，由，求解即可；對于②，求導，判斷函數的單調性求解；對于③④，結合函數的圖象進行判斷求解．【詳解】對于①，由，得，解得，故①正確；對于②，，由，得，由，得或，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極小值，是函數的極大值，故②正確；對于③，當時，，函數的圖象如圖所示：函數的最小值是，當時，方程有且只有兩個實根，故③正確；對于④，，由圖象知，若時，，則t的最大值是2，故④錯誤．故選：C第II卷（非選擇題，共73分）二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，將答案填在題中的橫線上）10.學校舉行運動會，小明同學準備在某六個比賽項目中，選擇參加其中三個項目的比賽．根據賽程安排，在這六個比賽項目中，100米賽跑與200米賽跑不能同時參加，且跳高與跳遠也不能同時參加．則不同的報名方法數為________．（用數字作答）【正確答案】12【分析】按照其余兩個項目全選或其余兩個項目選其一，這兩種情況來分析.【詳解】分為兩類：①其余兩個項目全選：種，②其余兩個項目選其一：種，共種.故1211.已知函數在上為減函數，則的取值范圍是________．【正確答案】【分析】利用導數將原問題轉化為導函數恒成立問題，結合分離參數法求解參數范圍即可.【詳解】因為，所以，因為函數在上為減函數，所以當時，恒成立，則在上恒成立，令，且，而，得到在上單調遞減，則，故故12.是函數的極值點，則的值為________．【正確答案】【分析】由求得的可能取值，再通過驗證來確定正確答案.【詳解】，由于是函數的極值點，所以，，解得或.當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點，符合題意.當時，，在上單調遞增，沒有極值點，不符合題意.綜上所述，的值為.故13.函數在區間上有最大值，則的取值范圍是________．【正確答案】【分析】求函數導數，研究函數單調性，判斷其取最大值的位置，由于函數在區間上有最大值，故最大值對應的橫坐標應在區間內，由此可以得到參數的不等式，解不等式即可得到的取值范圍【詳解】，，令解得；令，解得或，由此可得在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，故函數在處有極大值，在處有極小值，即，解得，故14.如圖是我國古代數學家趙爽在為《周髀算經》作注解時給出的“弦圖”現提供6種顏色給“弦圖”的5個區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案共有__________種.（用數字作答）【正確答案】1560【分析】分別用3種顏色、4種顏色、5種顏色涂色即可.【詳解】如圖所示，用3種顏色涂色，則①、③⑤同色、②④同色，所以涂色方案有種，用4種顏色涂色，則①、③、⑤、②④同色或①、③⑤同色、②、④，所以涂色方案有種，用5種顏色涂色，則①、③、⑤、②、④異色，所以涂色方案有種，所以涂色方案共有種.故1560.15.已知函數，若函數（為常數）有且僅有4個零點，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】根據題意分析可得原題意等價于與有4個不同的交點，求導，利用導數判斷原函數的單調性與極值，結合圖象分析判斷.【詳解】令，則，原題意等價于與有4個不同的交點，當時，則，可得，令，解得；令，解得；則在上單調遞增，在上單調遞減，可得，且當x趨近于0時，趨近于，當x趨近于時，趨近于0；當，則開口向下，對稱軸，可得；可得的圖象，若與有4個不同的交點，則的取值范圍是.故答案為.三、解答題（本大題共5小題，共49分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）求函數的極值．【正確答案】（1）見解析（2）極小值，極大值【分析】（1）根據導數與函數單調性的關系及導數法求函數單調性的步驟即可求解；（2）根據函數的極值的定義及導數法求函數的極值的步驟即可求解.【小問1詳解】由題意可知，的定義域為.因為，所以令即，解得，令即，解得或，所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和.【小問2詳解】由（1）可知，當變化時，的變化情況如下表：00遞增極大值遞減極小值遞增所以的極小值為，極大值為.17.已知函數，曲線在點，（1）處的切線方程為．（1）求實數，的值；（2）若曲線，求曲線過點的切線方程．【正確答案】（1），；（2）或．【分析】(1)由已知可得，，列方程求a，b，(2)設設曲線與過點的切線相切于點，，則與直線PA的斜率相等，由此可求切點坐標，并求出對應的切線方程.【詳解】解：（1）的導數為，由曲線在點，（1）處的切線方程為，可得，即，又（1），解得，即有，；（2）曲線，即，導數，設曲線與過點的切線相切于點，，則切線的斜率，所以切線方程為，即，因為點在切線上，所以，即，即有，所以，解得或，故所求的切線方程為或．18.已知()（1）當時，求函數在上的最大值和最小值．（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；【正確答案】（1），（2）【分析】（1）令，易知是函數在上唯一的極小值點，故可求得最小值，計算并比較的大小即可求得最大值（2）若函數在上單調遞增，則在上恒成立，求得在的最小值即可【小問1詳解】當時，，令得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；故是函數在上唯一的極小值點，故．又，，故【小問2詳解】,若函數在上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，即所以實數的取值范圍為．19.已知為常數，求函數在區間上的最大值．【正確答案】答案見解析【分析】對的范圍分類討論，利用導數判斷函數的單調性，進而求解最大值即可.【詳解】因為，所以，當時，，，則在上單調遞減，得到在上的最大值為，當時，令，解得，當時，解得，此時，，則在區間上單調遞增，故在上的最大值為，當時，解得，此時，當，，當，，則在上單調遞增，在上單調遞減，故在上的最大值為，綜上可得，當時，在上的最大值為，當時，在上最大值為，當時，在上最大值為.20.設函數（1）若在，x處取得極值，①求a、b的值；②在存在，使得不等式成立，求最小值（2）當b＝a時，若在上是單調函數，求a的取值范圍．（參考數據，）【正確答案】（1）①；②．（2）【分析】（1）①先對函數進行求導，根據函數在取得極值，則，代入可求a，b的值．②轉化為，從而求函數在區間上的最小值，從而求c的值（2）此時，先說明當符合條件，當時，分討論在上的正負，以確定函數的單調性的條件，