第四章三角形重難點15幾何壓軸突破三幾何最值問題之將軍飲馬模型與逆等線模型（2種模型講解+14種題型匯總+專題訓練+真題訓練）【題型匯總】類型一將軍飲馬模型場景總結：當題目中構圖滿足“求點到直線上動點距離和的最小值”的條件時,則一定存在將軍飲馬模型.解題大招：(1)最值問題基本原理:①兩點之間線段最短;②點到直線,垂線段最短.(2)將軍飲馬解題步驟:第一步,明確動點、定點；第二步,明確問題屬于哪種將軍飲馬模型,要求哪些線段和的最小值(注意去掉長度固定的線段)；第三步,利用平移、對稱等方法,將問題轉化為基本原理①或②.模型詳解：類型一兩定一動型（四種）圖形條件如圖，A，B兩定點分布在直線m兩側，點D為直線上一動點，求AD+BD的最小值.如圖，A，B兩定點分布在直線m同側，點D為直線上一動點，求AD+BD的最小值.結論當A，D，B三點共線時，AD+BD取得最小值，最小值為AB的長.當A，D，B'三點共線時，AD+BD取得最小值，最小值為AB'的長.解題方法1）連:連接AB；2）求:AB長度即為AD+BD的最小值;1）找:找一個定點關于直線m的對稱點B'；2）連:連接對稱點B'和另外一個定點A；3）求:AB'長度即為AD+BD的最小值.圖形條件如圖，A，B兩點分布在直線m同側，點D為直線m上一動點,求|AD-BD|的最大值.如圖，A，B兩點分布在直線m兩側，點D為直線m上一動點,求|AD-BD|的最大值.結論當A，B，D三點共線時，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB的長當A、B'、D三點共線時，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB'的長解題方法1）連:連接AB并延長交直線m于D’；2）求:當點D和點D’重合時，|AD-BD|的值最大，AB的長度即為|AD-BD|的最大值.1）找:找一個定點關于直線的對稱點；2）連:連接另外一個定點和對稱點，并延長交直線于一點;3）求:另外一個定點和對稱點間的距離即為所求.【補充】圖形條件如圖，點A，B為定點，點P為直線m上一動點，求|AP-BP|取得最小值.結論當PA=PB時，|AP-BP|取得最小值,最小值為0.類型二：一定兩動型（三種）圖形條件如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.圖形條件如圖，點M，N分別為m1，m2上的動點，點P為定點，求PM+PN+MN的最小值.結論做點P關于m1，m2的對稱點P',P''，那么當P'，M，N，P''四點共線時，PM+PN+MN取得最小值，最小值為的距離.類型三：兩動兩定型（兩種）圖形條件如圖，點C，D分別為OM，ON上的動點，點A，B為∠MON內的兩個定點，求AC+CD+BD+AB的最小值.如圖，點C，D分別為OM，ON上的動點，點A，B分別為OM，ON上的定點，求AD+CD+BC的最小值.結論做A點關于OM的對稱點A'，做B點關于ON的對稱點B'，當A'，C，D，B'四點共線時，AC+CD+BD取得最小值，最小值為A'B'的長.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.做A點關于ON的對稱點A'，做B點關于OM的對稱點B'，當A'，C，D，B'四點共線時，AD+CD+BC取得最小值，最小值為A'B'的長.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的長.類型四:平移線段型（兩種）圖形條件如圖，A，B為定點，M，N分別為m，n上的動點，MN⊥n，m∥n，且MN為定值，求AM+MN+NB的最小值.如圖，A，B為定點，M，N分別為m上的動點，且MN為定值，求AM+MN+NB最小值.結論如圖，將點A向下平移MN的單位長度得到點A'，連接A'B，交n于點N，過點N作MN⊥m，垂足為點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B+MN.如圖，將點A向右平移MN個單位長度得點A'，作B關于直線m的對稱點B’，連接A'B'，交直線m于點N，將點N向左平移MN個單位長度得點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B'三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B'+MN.題型01兩定一動型1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點B作y軸的垂線l，P為直線l上一動點，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，點M為直線BC上一動點，則MA+MD的最小值為．3．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上，且BE=1，F為對角線BD上一動點，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為．

4．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線y=ax-h2+k交x軸于O，A4,0兩點，頂點為B2,2(1)求拋物線y=a(x-h)(2)過點C作CH⊥OA，垂足為H，交拋物線于點E．求線段CE的長．(3)點D為線段OA上一動點（O點除外），在OC右側作平行四邊形OCFD．①如圖2，當點F落在拋物線上時，求點F的坐標；②如圖3，連接BD，BF，求BD+BF的最小值．5．（2022·廣東深圳·三模）某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．解法：作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；（3）代數應用：求代數式x2+1+題型02線段差最值6．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，對角線AC、BD交于點O，BD=8，點E為OD的中點，點F為AB上一點，且AF=3BF，點P為AC上一動點，連接PE、PF，則

7．（21-22八年級上·河北承德·期末）如圖，點A，B在直線MN的同側，點A到MN的距離AC=8，點B到MN的距離BD=5，已知CD=4，P是直線MN上的一個動點，記PA+PB的最小值為a，PA-PB的最大值為b．（1）a=；（2）a2-8．（2023·山東菏澤·二模）如圖，直線y1=kx+2與反比例函數y2=3x的圖象交于點

(1)若y1>y(2)動點Pn,0在x軸上運動．當n為何值時，PA-PC9．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于A-1,0，B3,0兩點，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設點C關于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使PA-PD有最大值？若存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，請說明理由；(3)如圖（乙），設點M為拋物線上一點，連接MC，過點M作MN⊥CM交直線l于點N．若tan∠MCN=23題型03垂線段最短型10．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則11．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對角線BD上的一個動點，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．212．（20-21七年級下·福建漳州·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于點D，點E、F分別是AD、AC邊上的動點，則CE+EF的最小值為

13．（2020·四川內江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若點M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點，則AM+MN的最小值為．

題型04兩定一動/兩定動型14．（22-23八年級下·江蘇連云港·期中）如圖，在邊長為8的正方形中，點G是邊的中點，E、F分別是和邊上的點，則四邊形周長的最小值為．15．（2022·山東棗莊·二模）如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是．16．（2023·陜西西安·二模）如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動點，連接，，，則周長的最小值為．

17．（20-21九年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，點E、F分別是邊上的點，連接，若，，，則周長的最小值是．

18．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于點，點為的中點，點、分別為軸正半軸和拋物線對稱軸上的動點，連接、、，求四邊形周長最小時點、的坐標．19．（2022·天津·中考真題）已知拋物線（a，b，c是常數，）的頂點為P，與x軸相交于點和點B．(1)若，①求點P的坐標；②直線（m是常數，）與拋物線相交于點M，與相交于點G，當取得最大值時，求點M，G的坐標；(2)若，直線與拋物線相交于點N，E是x軸的正半軸上的動點，F是y軸的負半軸上的動點，當的最小值為5時，求點E，F的坐標．題型05造橋選址型20．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，點E、F是AD邊上的動點，且EF=2，則四邊形BEFC周長的最小值為．

21．（2023·陜西咸陽·一模）【問題提出】（1）如圖1，點A、B在直線l的同側，點A到直線l的距離AC=2，點B到直線l的距離BD=4，A、B兩點的水平距離CD=8，點P是直線l上的一個動點，則AP+BP的最小值是________；【問題探究】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF=1，求GE+CF的最小值；【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形ABCD的空地，管理人員規劃修兩條小路AC和BD（小路的寬度忽略不計，兩條小路交于點P），并在AD和BC上分別選取點M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，為了節約成本，要使得線段PM、PN與MN之和最小．已測出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

22．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4a≠0經過點-1,6，與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（(1)求拋物線的表達式；(2)點P是射線CA上方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點D．點M是線段DE上一動點，MN⊥y軸，垂足為N，點F為線段BC的中點，連接AM，NF．當線段PD長度取得最大值時，求(3)將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段PD長度取得最大值時的點D，且與直線AC相交于另一點K．點Q為新拋物線上的一個動點，當∠QDK=∠ACB時，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．23．（2021·廣西·中考真題）如圖，已知點A(3,0)，B(1,0)，兩點C(-3,9)，D(2,4)在拋物線y=x2上，向左或向右平移拋物線后，C，D的對應點分別為C'，D'，當四邊形題型06與將軍飲馬有關的角度探究問題24．（2022·河北石家莊·模擬預測）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=α（∠BAE為鈍角），∠B=∠E=90°，在BC，DE上分別找一點M，N，當△AMN周長最小時，∠MAN的度數為（

）A．12α B．α-90° C．2α-180° D25．（2023·山東淄博·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠DAB=140°，M，N分別是邊DC，BC上的動點，當△AMN的周長最小時，∠MAN=°．26．（2021鼓樓區二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠AMN+∠ANM=°．27．（21-22八年級上·貴州黔南·期中）如圖，∠AOB＝α，點P是∠AOB內的一定點，點M，N分別在OA，OB上移動，當△PMN的周長最小時，∠MPN的度數為．題型07與將軍飲馬有關的作圖問題28．（21-22八年級上·河南新鄉·期末）如圖，在方格中，水平方向的數軸我們叫x軸，豎直方向的數軸我們叫y軸，△ABC的三個頂點我們可以分別表示為A-3,4，B-4,1，(1)畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1（點A，B，C的對應點分別為點A1，B1，(2)點D在x軸上，使得BD=CD，尺規作出點D；（不寫作法，保留作圖痕跡）(3)點P在y軸上，使得△ACP的周長最小，作出點P．（不寫作法，保留作圖痕跡）29．（2022·吉林長春·一模）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按下列要求畫圖，保留適當的畫圖痕跡．(1)在圖①中畫出AC邊上的中線BD．(2)在圖②中畫出AC邊上的高線BE．(3)在圖③中，若點P、Q分別為線段AB、AC上的動點，連結PC、PQ，當PC+PQ取得最小值時，畫出點P、點Q的位置．30．（2023·河南南陽·二模）綜合與實踐問題提出（1）如圖①，請你在直線l上找一點P，使點P到兩個定點A和B的距離之和最小，即PA+PB的和最小（保留作圖痕跡，不寫作法）；

思維轉換（2）如圖②，已知點E是直線l外一定點，且到直線l的距離為4，MN是直線l上的動線段，MN=6，連接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解題過程中發現：“借助物理學科的相對運動思維，若將線段MN看作靜線段，則點E在平行于直線l的直線上運動”，請你參考小敏的思路求

拓展應用（3）如圖③，在矩形ABCD中，AD=2AB=25，連接BD，點E、F分別是邊BC、AD上的動點，且BE=AF，分別過點E、F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分別為M、N，連接AM、AN

31．（2021·江蘇常州·二模）閱讀并解答下列問題：老師給出了以下思考題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點B關于x軸的對稱點B1，連接A1B1交x軸于點D，將點D向左平移2個單位長度得到點C，連接AC、BD．此時AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點A1關于x軸的點A2，連接A2B可以求解．小亮：對稱和平移還可以有不同的組合…【嘗試解決】在圖2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【靈活運用】如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），連接AC、CD、DB，則AC+CD+DB的最小值是___________，此時a=__________．并請在圖5中用直尺和圓規作出AC+CD+DB最小時CD的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），C是一次函數y=x圖像上一點，CD與y軸垂直且CD=2（點D在點C右側），連接AC、CD、AD，直接寫出AC+CD+DA的最小值是________________，此時點C的坐標是________________．題型08相對運動平移型將軍飲馬32．（2023·山東泰安·三模）如圖，在菱形ABCD中，BC=4,∠ABC=60°，在BC邊上有一線段EF由B向C運動，點F到達點C后停止運動，E在F的左側，EF=1，連接AE,AF，則△AEF周長的最小值為（A．43+1 B．43+2 C．33．（2023·河南周口·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把邊AB沿對角線BD平移，點A'，B'分別對應點

34．（23-24九年級下·廣東深圳·開學考試）如圖，在菱形ABCD中，AB=23，∠BCD=120°，M為對角線BD上一點（M不與點B、D重合），過點MN∥CD，使得MN=CD，連接CM、AM35．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，拋物線y=-x2+bx+c上的點A，C坐標分別為0,2，4,0，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且OM=2，連接AC

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；(2)點P是拋物線位于第一象限圖像上的動點，連接AP，CP，當S△PAC=S(3)點D是線段BC（包含點B，C)上的動點，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點Q，交直線CM于點N，若以點Q，N，C為頂點的三角形與△COM相似，請直接寫出點Q的坐標；(4)將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點A'，點C的對應點為點C'，在拋物線平移過程中，當MA'+MC'的值最小時，新拋物線的頂點坐標為題型09通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬36．（2023·湖北鄂州·模擬預測）如圖1，對于平面內的點A、P，如果將線段PA繞點P逆時針旋轉90°得到線段PB，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點A(4,0)，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則OB+AB的最小值是（

）

A．4 B．45 C．8 D．37．（2022·四川成都·二模）在Rt△ABC中，斜邊AB=2，∠A=30°，點D是AC邊上的一個動點，連接BD，將線段BD繞點B順時針旋轉60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為38．（2023·江蘇徐州·模擬預測）等邊△ABC邊長為6，D是BC中點，E在AD上運動，連接BE，在BE下方作等邊△BEF，則△BDF周長的最小值為．39．（2021·陜西榆林·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點，連接MA，將線段MA繞點M順時針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．題型10三動點問題40．（23-24九年級上·山東濟南·期末）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=45°，E，F，P分別是AB，BC，AC上的動點，PE+PF的最小值等于（）A．1 B．2 C．3 D．541．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是．42．（2019·陜西西安·模擬預測）如圖，已知AD//BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，點M為邊BC中點，點E、F在線段AB、CD43．（23-24八年級上·廣東深圳·期中）如圖，已知正比例函數y=kxk>0的圖象與x軸相交所成的銳角為70°，定點A的坐標為0,4，P為y軸上的一個動點，M、N為函數y=kxk>0的圖象上的兩個動點，則AM+MP+PN

44．（2021·湖北武漢·模擬預測）已知如圖，AB=4,AC=2,∠BAC=60°,BC?所在圓的圓心是點O,∠BOC=60°，分別在BC、線段AB和AC上選取點P、E、【真題訓練】45．（2021·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，點P是線段AC上一動點，點M在線段AB上，當AM＝13AB時，PB＋PM的最小值為（

A．33 B．27 C．23＋2 D．33＋346．（2023·安徽·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，點E是矩形ABCD內部一動點，且∠BEC=90°，點P是AB邊上一動點，連接PD、PE，則PD+PE的最小值為（

）A．8 B．45 C．10 D．47．（22-23八年級下·湖北武漢·期末）探究式子x2+1+x-42+1x≥0的最小值.小胖同學運用“數形結合”的思想：如圖，取AB=4，作AC⊥AB于A．BD⊥AB于B，且AC=1，BD=1，點E在AB上，設AE=x，則BE=4-x，于是，x2+1=CE，x-42

48．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，等邊△ABC中，AB=10，點E為高AD上的一動點，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF=，FB+FD的最小值為．49．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知∠AOB=50°，點P為∠AOB內部一點，點M為射線OA、點N為射線OB上的兩個動點，當△PMN的周長最小時，則∠MPN=．50．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高BD上的動點．連接CE，將CE繞點C順時針旋轉60°得到CF．連接AF，EF，DF，則△CDF周長的最小值是．

51．（2021·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點A，B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經過點B，D-4,5兩點，且與直線（1）求拋物線的解析式；（2）F為拋物線對稱軸上一點，Q為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點Q，F，E，B為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；（3）P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP．探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點M的坐標；若不存在，請說明理由．52．（2020·江蘇南京·中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l同側的A、B兩個城鎮分別發鋪設管道輸送燃氣，試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關于l的對稱點A'，線A'B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建氣站，所得路線ACB是最短的，為了讓明點C的位置即為所求，不妨在l直線上另外任取一點C'，連接AC'，BC（2）如果在A、B兩個城鎮之間規劃一個生態保護區，燃氣管道不能穿過該區域請分別始出下列兩種情形的鋪設管道的方案（不需說明理由），①生市保護區是正方形區域，位置如圖③所示②生態保護區是圓形區域，位置如圖④所示．類型二逆等線模型逆等線模型的介紹：兩個動點分別在直線上運動，且它們各自到某一定點的距離始終相等，那么這兩條始終相等的線段稱為逆等線段.解題方法：1）找三角形.找一條逆等線段，一條動線段構成的三角形.(圖中本身就有的三角形不要添加輔助線以后構成的三角形)2.確定該三角形的不變量.在動點移動過程中，該三角形有一個邊長度不變，有一個角的大小不變.3.從另一逆等線段的定點引一條線.使得線段長度等于第二步中的那個不變的邊長,與這個逆等線段的夾角等于第二步中那個不變的角.4.問題轉化為將軍飲馬問題求最值.【模型解讀】△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線，就是怎么別扭怎么來。觀察圖形，我們很容易發現，AD和CE沒有首尾相連，所以，一般通過平移或者作平行等方法構造全等三角形來實現線段轉移，從而使逆等線段產生關系，最終解決問題。備注：一般情況下，題目中有兩個沒有首尾相連的線段相等，即兩定兩動，也歸為逆等線問題。例：如上圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，點D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，求CD+BE的最小值。解題策略：①AD在△ADC中，那么我們就以CD為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等.②即過點C作CF//AB，且CF=AC.（構造一邊一角，得全等）③構造出△ADC≌△CEF(SAS),證出EF=CD.④CD+BE=EF+BE，根據兩點之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求.此時，B、E、F三點共線，本題中，也可以利用三角形三邊關系去求最值.⑤求BF題型01構造SAS型全等拼接線段53．（21-22九年級上·陜西寶雞·期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的動點．且BE=CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為．

54．（22-23八年級上·浙江寧波·期中）如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為4，D、E分別為邊AB、AC上兩個動點，且AE=BD，則55．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在邊長為5的菱形ABCD中，∠BAD=120°，E，F分別是AD，BD上的動點，DE=BF，連接AF，CE，則AF+CE的最小值為56．（2024·貴州黔南·模擬預測）如圖，在△ABC中，AC=BC=3，過點A作直線AD⊥BC于點D，E，F分別是直線AD，邊AC上的動點，且AE=CF，則BF+CE的最小值為

57．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE=DF，則AE+AF的最小值是．題型02平移，對稱或構造平行四邊形58．（2021·安徽宿州·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，點P在