-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第一章-三角形的證明-復(fù)習(xí)提升試卷本試卷共23題。滿分120分，建議用時(shí)120分鐘。閱卷人一、選擇題(共10題；共30分)得分1．（3分）等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為5和8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．18 B．21 C．20 D．18或212．（3分）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的等邊△ABC上，若∠1=24°，則∠2的度數(shù)為（）A．24° B．36° C．48° D．56°3．（3分）以下各組數(shù)為三角形的三邊長(zhǎng)，其中不能夠構(gòu)成直角三角形的是（）A．13、14、15 B．7、24、25C．0.3、0.4、0.5 D．9、12、154．（3分）用反證法證明“在△ABC中，若AB=AC，則∠B<90°”時(shí)，以下三個(gè)步驟正確的排列順序是（）

步驟如下：

①假設(shè)在△ABC中，∠B≥90°.

②因此假設(shè)不成立，：∴∠B<90°.

③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C>180°，這與“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”產(chǎn)生矛盾.A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①5．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步驟作圖：①分別以A，B為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②A．22.5° B．30° C．45° D．60°6．（3分）下列命題中，逆命題是真命題的是（）A．對(duì)頂角相等 B．全等三角形的面積相等C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．如果a=b，那么a7．（3分）如圖，有A,B,C三個(gè)居民小區(qū)，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）A．∠A,∠B兩內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)處B．AC,AB兩邊高線的交點(diǎn)處C．AC,AB兩邊中線的交點(diǎn)處D．AC,AB兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處8．如圖，在?ABC中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，于．若，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．以上結(jié)論都不對(duì)9．（3分）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠,CD是角平分線，已知A．513 B．122 C．14 10．（3分）如圖，△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠BAQ=40° B．DE=12BD C．AF=AC閱卷人二、填空題(共5題；共15分)得分11．（3分）如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OB，如果PC=6，那么點(diǎn)P到OA的距離等于12．（3分）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高等于．13．（3分）如圖，在銳角三角形ABC中，直線PL為BC的垂直平分線，射線BM為∠ABC的平分線，PL與BM相交于P點(diǎn)．若∠PBC＝30°，∠ACP＝20°，則∠A的度數(shù)為．14．（3分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交AB、BC于點(diǎn)P，Q，再分別以點(diǎn)P，Q為圓心、大于12PQ的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，作射線BM交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DE∥BC交AB于點(diǎn)D．若△ABE周長(zhǎng)為28，BE=10，則△ADE的周長(zhǎng)為15．（3分）在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一個(gè)內(nèi)角為60°，P是直線AB上不同于點(diǎn)A、B的一點(diǎn)，且∠ACP=閱卷人三、解答題(共8題；共75分)得分16．（8分）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD相交于點(diǎn)G．（1）（4分）求證：AD是EF的垂直平分線；（2）（4分）若AB+AC=9，ED=2，求△ABC的面積．17．（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF，BD=CE．（1）（4分）求證：△DEF是等腰三角形；（2）（4分）當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．18．（8分）如圖，四邊形紙片ABCD，AB⊥BC．經(jīng)測(cè)得AB=9cm，BC=12cm，CD=8cm，AD=17cm．（1）（4分）求A、C兩點(diǎn)之間的距離．（2）（4分）求這張紙片的面積．19．（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，過CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)D，作DE⊥BC，垂足為E，交邊AB于點(diǎn)F．（1）（4分）求證：△ADF是等腰三角形；（2）（4分）若AD=13，BE=5，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．20．（8分）如圖；∠A=∠B=90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=BC，∠1=∠2．（1）（4分）求證：Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）（4分）△CDE是不是直角三角形？并說明理由．21．（12分）如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6厘米，點(diǎn)D從點(diǎn)A開始以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)C開始以2厘米/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)停止，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；過點(diǎn)E作EF//AC交AB于點(diǎn)F；（1）（4分）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為等邊三角形？（2）（4分）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為直角三角形？（3）（4分）求證：DC=EF；22．（10分）（1）閱讀理解由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則在相對(duì)位置變化的過程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．在如圖①所示的“手拉手”圖形中，小白發(fā)現(xiàn)：若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE，請(qǐng)證明他的發(fā)現(xiàn)；（2）問題解決：如圖②，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．①試探索線段CD，BD，DE之間滿足的等量關(guān)系，并證明；②若AB=AC=3，線段DE與線段AC交于點(diǎn)F，連接CE，當(dāng)△ABD≌△DCF時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)．23．（13分）已知在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)B引一條射線BM，D是BM上一點(diǎn)．（1）（4分）【問題解決】如圖1，若∠ABC=60°，射線BM在∠ABC內(nèi)郃，∠ADB=60°，求證：∠BDC=60°，小明的做法是：在BM上取一點(diǎn)E，使得AE=AD，再通過已知條件，求得∠BDC的度數(shù)．請(qǐng)你幫助小明寫出證明過程：（2）（5分）【類比探究】如圖2，已知∠ABC=∠ADB=30°，當(dāng)射線BM在∠ABC內(nèi)，求∠BDC的度數(shù)．（3）（4分）【變式遷移】如圖3，已知∠ABC=∠ADB=30°，當(dāng)射線BM在BC下方，∠BDC的度數(shù)會(huì)變化時(shí)？若改變，請(qǐng)求出∠BDC的度數(shù)，若不變，請(qǐng)說明理由．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為5時(shí)，三邊分別為5、5、8，滿足三角形的三邊關(guān)系，故周長(zhǎng)為5+5+8=18；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為8時(shí)，三邊分別為5、8、8，滿足三角形的三邊關(guān)系，故周長(zhǎng)為5+8+8=21.故答案為：D.【分析】分腰長(zhǎng)為5、8，利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系確定出三角形的三邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得周長(zhǎng).2．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示，

在等邊△ABC中，∠ABC=60°，

∵DE∥BH∥FG，∠1=24°，∴∠ABH=∠1=24°，∠2=∠HBC∵∠ABC=∠ABH+∠HBC，∴∠HBC=∠ABC?∠ABH=60°?24°=36°，∴∠2=∠HBC=36°，故答案為：B．【分析】先由等邊三角形性質(zhì)，得到∠ABC=60°，再由平行線性質(zhì)，推出∠ABH=∠1=24°，∠2=∠HBC，再通過把∠ABC進(jìn)行拆分，即可推出∠2的度數(shù)。3．【答案】A【解析】【解答】解：A、132+142≠152，不能組成直角三角形，符合題意；B、72+242＝252，能組成直角三角形，不符合題意；C、0.32+0.42＝0.52，能組成直角三角形，不符合題意；D、92+122＝152，能組成直角三角形，不符合題意．故答案為：A．【分析】利用三角形的三邊關(guān)系和勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：由題意知，第2步是反證法的結(jié)論，

∴排除B和D選項(xiàng)，

所以B和D選項(xiàng)，錯(cuò)誤.

∵第3步既有原因又有結(jié)果，不能作為假設(shè)的結(jié)果，

∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)反證法的一般步驟即可求出，一般步驟為：假設(shè)命題成立；根據(jù)假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾；由矛盾判斷假設(shè)不成立，原命題正確.5．【答案】D【解析】【解答】由作圖的步驟可知，直線DE是線段AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝15°+15°＝30°，∵∠C＝90°，∴∠EAC＝90°﹣30°＝60°，故答案為：D．

【分析】根據(jù)基本尺規(guī)作圖得到直線DE是線段AB的垂直平分線；根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到AE=BE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)解答即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：A．逆命題為：相等的角為對(duì)頂角，為假命題，不符合題意；B．逆命題為面積相等的三角形全等，是假命題，不符合題意；C．逆命題為內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，為真命題，符合題意；D．逆命題為如果a2＝b2，那么a＝b，為假命題，不符合題意．故答案為：C．

【分析】先求出各選項(xiàng)的逆命題，再逐項(xiàng)判斷即可。7．【答案】D【解析】【解答】解：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知：超市應(yīng)建在AC,AB兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處．故答案為：D．【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，對(duì)于AC邊的E垂直平分線，上面的點(diǎn)到A、C兩點(diǎn)距離相等；AB兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，就到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，符合是超市到三個(gè)小區(qū)距離相等的條件，即可判斷出答案.8．B【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．過點(diǎn)作于，利用等腰三角形的性質(zhì)求出，再利用同角的余角相等求出即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，故選：B．9．【答案】B【解析】【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，

則CEDF是矩形，

又∵CD是角平分線，

∴DE=DF，

∴CEDF是正方形，

∴CE=DE，

又∵S△ABC=12AC×BC=12AC×DE+12故答案為：B.【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，即可得到CEDF是正方形，然后根據(jù)三角形的面積得到DE長(zhǎng)，再利用勾股定理解題即可.10．【答案】D【解析】【解答】解：∵∠BAC=80°，∠ACB=70°，

∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，A、由作圖可知，AQ平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP=12∠BAC=40°B、由作圖可知，MQ是BC的垂直平分線，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴DE=12BDC、∵∠B=30°，∠BAP=40°，∴∠AFC=70°，∵∠C=70°，∴AF=AC，∴C正確，不符合題意；D、∵∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°，∴∠EQF=20°；∴D錯(cuò)誤，符合題意．故答案為：D．

【分析】先利用三角形的內(nèi)角和求出∠B的度數(shù)，再利用角平分線定義和垂直平分線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.11．【答案】6【解析】【解答】解：過P作PH⊥OA于H，∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PC=6，∴PH=PC=6，∴點(diǎn)P到OA的距離等于6．故答案為：6．，【分析】過P作PH⊥OA于H，由角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”可得PH=PC=6，即可得到點(diǎn)P到OA的距離等于6．????12．【答案】12【解析】【解答】解：∵32∴三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形是直角三角形，設(shè)這個(gè)三角形中最短邊上的高為h，則12解得?=故答案為：125．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，再用等積法求出斜邊上的高即可．13．【答案】70°【解析】【解答】∵射線BM為∠ABC的平分線，∠PBC=30°，∴∠ABC=60°，∵直線PL為BC的垂直平分線，∴∠PCB=30°，∴∠A的度數(shù)=180°-60°-30°-20°=70°，故答案為：70°．【分析】先利用角平分線的定義可得∠ABC=60°，再利用垂直平分線的性質(zhì)可得∠PCB=30°，最后利用三角形的內(nèi)角和求出∠A的度數(shù)即可.14．【答案】18【解析】【解答】解：由題意可知BE為∠ABC的平分線，∴∠ABE=∠CBE．∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∴∠ABE=∠DEB，∴BD=DE，∵△ABE周長(zhǎng)為28，∴AB+BE+AE=28，∴AD+BD+10+AE=28，∴AD+DE+10+AE=28，∴AD+DE+AE=18．∴△ADE的周長(zhǎng)為18．故答案為：18．【分析】根據(jù)角平分線的作法和定義得出∠ABE=∠CBE，再結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠ABE=∠DEB，即可得出BD=DE，從而得出△ADE的周長(zhǎng)=△ABE周長(zhǎng)為-BE，即可得出答案．15．【答案】433或【解析】【解答】解：第一種情況：當(dāng)∠B=60°，如圖，

∵∠A=90°，∠B=60°，

∴∠ACB=30°，

∵∠ACP=30°，

∴∠BCP=60°，

∴△PBC為等邊三角形，

∴PB=BC=4；

第二種情況：當(dāng)∠ACB=60°，如圖，

∵∠ACB=60°，∠ACP=30°，

∴∠PCB=90°，

∵∠B=30°，

∴2PC=PB，

設(shè)PC為x，則PB=2x，

由勾股定理可得，42+x2=（2x）2，

解得，x=433，即PB=2x=833；

第散種情況：當(dāng)∠ACB=60°，如圖，

∵BC=4，∠ACB=60°，

∴∠B=30°，

∴AC=12BC=2，

∴AB=23，

設(shè)PB=y，則CP=y，AP=23-y，

∵∠ACP=30°，

∴2AP=CP，即2(23-y)=y，

∴y=433，

故答案為：4或833或【分析】分情況討論，①當(dāng)∠B=60°只有一個(gè)符合條件的P點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求得；②當(dāng)∠C=60°，P在AB延長(zhǎng)線上，根據(jù)勾股定理和30°的直角三角形的性質(zhì)即可求得；③當(dāng)∠C=60°，P在AB線線上，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CP=PB，先求得AB=2316．【答案】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△AED和△AFD中，∠EAD=∴△AED?△AFDAAS，

∴AE=AF又∵DE=DF，∴AD是EF的垂直平分線（2）解：∵DE=EF，

∴S△ABC=【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，依據(jù)AAS判定△AED≌△AFD推出AE=AF，根據(jù)垂直平分線的判定即可證明；

（2）根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABC17．【答案】（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵BE=CF，BD=CE，

∴△DBE≌△ECF，

∴DE=EF，

∴△DEF是等腰三角形.（2）解：∵∠A=40°，

∴∠B=180°?40°2=70°，

∴∠BDE+∠BED=110°，

∵△DBE≌△ECF，

∴∠BDE=∠FEC，

∴∠FEC+∠BED=110°，【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠C，根據(jù)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等得出△DBE≌△ECF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出DE=EF，根據(jù)等腰三角形的判斷即可求證；（2）根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和是180°求出∠B的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠BDE=∠FEC，結(jié)合三角形內(nèi)角和是180°即可求解．18．【答案】（1）解：連接AC，如圖所示，

在Rt△ABC中，

∵AB=9cm，BC=12cm，

由勾股定理得92+122=AC2，

解得（2）解：∵CD=8cm，AC=15cm，AD=17cm，

∴CD2=64cm2，AC2=225cm2，AD2=289cm2

∴CD2+AC【解析】【分析】（1）由勾股定理可直接求得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理逆定理證得∠ACD=90°，把四邊形ABCD的面積進(jìn)行拆分，即S四邊形（1）解：連接AC，如圖．在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=9cm，BC=12cm，AB∴92解得AC=15（負(fù)值舍去）即A、C兩點(diǎn)之間的距離為15cm；（2）解：∵CD∴∠ACD=90°，∴四邊形紙片ABCD的面積====54+60=114cm19．【答案】（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥BC，∴∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°，∴∠BFE=∠D，又∵∠BFE=∠AFD，∴∠D=∠AFD，∴△ADF是等腰三角形；（2）解：∵F為AB的中點(diǎn)，∴AF=BF，∵△ADF是等腰三角形，∴BF=AF=AD=13，∵DE⊥BC，∴∠CED=90°，∴EF=B答：EF的長(zhǎng)為12．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，再利用DE⊥BC進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)換得出∠D=∠AFD，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義及等腰三角形的性質(zhì)可得BF=AF=AD，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算EF的長(zhǎng)．20．【答案】（1）證明：∵∠1=∠2，∴ED=CE，∵∠A=∠B=90°，在Rt△ADE和Rt△BEC中，

AE=BCED=CE，

（2）解：△CDE是直角三角形，理由如下：證明：由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，

∴∠AED=∠BCE，∵∠B=90°，

∴∠BCE+∠CEB=90°，

∴∠AED+∠CEB=90°，∴∠DEC=180°?90°=90°，

∴△DEC為直角三角形．【解析】【分析】（1）根據(jù)“等角對(duì)等邊”，由已知條件∠1=∠2，可以得到ED=CE，根據(jù)HL證明Rt△ADE和Rt△BEC全等解答即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及平角的定義解答即可.21．【答案】（1）解：由題意得AD＝tcm，CE＝2tcm.若△DEC為等邊三角形，則EC＝DC，∴2t＝6－t，解得t＝2，∴當(dāng)t為2時(shí)，△DEC為等邊三角形．（2）解：若△DEC為直角三角形，當(dāng)∠CED＝90°時(shí)，∵∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CE＝12DC，∴2t＝1當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，同理可得∠CED＝30°，∴12∴12×2t＝6－t，∴∴當(dāng)t為1.2或3時(shí)，△DEC為直角三角形．（3）證明：∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，∴BC＝12cm，∴DC＝(6－t)cm，BE＝(12－2t)cm.∵EF∥AC，∴∠BFE＝∠A＝90°.∵∠B＝30°，∴EF＝12BE＝1∴DC＝EF.【解析】【分析】（1）由題意得AD＝tcm，CE＝2tcm.利用等邊三角形的性質(zhì)得建立關(guān)于t的一元一次方程，解方程即可求解；

（2）分當(dāng)∠CED＝90°時(shí)；當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)；兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)直角三角形中30°角性質(zhì)建立關(guān)于t的一元一次方程，解方程即可求解；

（3）先根據(jù)已知條件求得BC＝12cm，進(jìn)而得到DC＝(6－t)cm，BE＝(12－2t)cm.再由平行線的性質(zhì)得到∠B＝30°，進(jìn)而求得EF＝12BE＝122．【答案】解：（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△ABD≌△ACESAS；

（2）①結(jié)論：BD2+CD2=DE2．

理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，

∴∠B=∠ACB=45°，

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，

∴∠DCE=90°，

∴CE2+CD2=ED2．

又∵BD=CE，

∴B