初二數學第8周提優練習（含解析）（復習內容：中心對稱與分式）20250403一、選擇題（共6題）1．若eq\f(4－☆,x－2)表示的是一個最簡分式，則☆可以是（）A．x B．4 C．2xD．x22．若x,y的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）A．B．C．D．3．順次連接對角線長為6的矩形ABCD四邊中點所得的四邊形的周長為（）A．12 B．18C．9 D．無法確定4．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，則菱形的高為（）A．125 B．245 C．12 5．如圖，菱形ABCD中，點O為對稱中心，點E從點A出發沿AB向點B移動，移動到點B停止，作射線EO，交邊CD于點F，則四邊形AECF形狀的變化依次為（）A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形 B．平行四邊形→正方形→矩形→菱形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形 D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形6．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F、點P分別為邊AD、對角線BD上的一個動點，連接EF、EP、FP，則△EFP周長的最小值為（）A．eq\r(10) B．eq\r(2)＋2 C．eq\r(13) D．eq\f(2eq\r(2),3)＋2第4題第5題第6題二、填空題（共10題）7．在下列圖形中：=1\*GB3①菱形；=2\*GB3②等邊三角形；=3\*GB3③矩形；=4\*GB3④平行四邊形；=5\*GB3⑤線段；=6\*GB3⑥正六邊形，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是．（填寫序號）8．若xy=2,x?y=1，則eq\f(1,y)－\f(1,x)＝；若2xy＝x－y且xy≠0，則eq\f(1,y)－\f(1,x)＝．9．若分式的值為正數，則x的取值范圍是．10．關于x的方程解為非負數，則k的取值范圍是．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，E、F分別為AC、AD的中點，若EF＝1，則AB＝．12．如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，將此矩形沿CE折疊，點D落在點F處，連接BF，B、F、E三點恰好在一直線上．若AB＝2，∠DCE＝22．5°，則矩形ABCD的面積為．13．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在CB延長線上，BM＝1，作∠MAN＝45°交DC延長線于點N，則MN的長為．14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值是．FDCFDCBAE第11題第12題第13題第14題三、解答題（共7題）15．先化簡，再求值：1－a?ba?2b÷a2?b216．定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(x－1＋2,x－1)＝eq\f(x－1,x－1)＋eq\f(2,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，eq\f(2x－3,x＋1)＝eq\f(2x＋2－5,x＋1)＝eq\f(2x＋2,x＋1)＋eq\f(－5,x＋1)＝2＋eq\f(－5,x＋1)，則eq\f(x＋1,x－1)和eq\f(2x－3,x＋1)都是“和諧分式”．（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是：_____________（填序號）；①eq\f(x＋1,x)②eq\f(2＋x,2)③eq\f(x＋2,x＋1)④eq\f(y2＋1,y2)（2）將“和諧分式”eq\f(a2―2a＋3,a－1)化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式為：eq\f(a2―2a＋3,a－1)＝_____________+_______________；（3）應用：先化簡eq\f(3x＋6,x＋1)－eq\f(x－1,x)÷eq\f(x2－1,x2＋2x)，并求x取什么整數時，該式的值為整數．17．如圖，將矩形ABCD繞點C順時針旋轉，得到矩形FGCE，使得點E落在邊AB上，AB的延長線交EG于H，連接DE，DH．（1）求證：ED平分∠AEC；（2）求證：EC與DH互相平分；（3）設EC與DH相交于點O，AD＝3，求點O到DC的距離．18．如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處,直線MN交BC于點M,交AD于點N．（1）若∠BAM=32°，則∠ANM=．（2）如圖2，連接CN．求證:四邊形AMCN為菱形;（3）若△AMN的面積與△ABM的面積比為3:1，BM=1，求MN的長．19．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G，H分別是AD，BC中點，E、F是對角線AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，其中0≤t≤10，（1）當t=3時，判斷四邊形EGFH的形狀，說明理由；（2）若四邊形EGFH為矩形，求t的值；（3）若G向D點運動，H向B點運動，且與點E、F以相同的速度同時出發，若四邊形EGFH為菱形，直接寫出t的值．20．在邊長為6的菱形ABCD中，AB＝AC，點E、F是邊BC、AB上的點，連接EF，（1）如圖1，將∠B沿EF翻折使B的對應點B′落在AC中點上，此時四邊形BEB′F是什么四邊形？并說明理由．（2）如圖2，若BE＝2，以EF為邊在EF右側作等邊△EFG；①連接CG，當△CEG是以CG為腰的等腰三角形時，求BF的長度．②直接寫出CG的最小值為．圖1圖2備用圖21．在如圖所示的平面直角坐標系中，正方形AOBC邊長為2，點C的坐標為(2,2)．（1）如圖1，動點D在OB邊上，將△BCD沿直線DC折疊，點B落在點B′處，連接DB′并延長，交AO于點E．①當B′D＝OD時，點D的坐標是；②若點E是線段OA的中點，求此時點D與點B′的坐標；（2）如圖2，動點D，G分別在邊OB，AC上，將四邊形DBCG沿直線DG折疊，使點B的對應點B′始終落在邊OA上（點B′不與點O，A重合），點C落在點C′處，B′C′交AC于點E．設OB′＝t，四邊形AB′DG的面積為S，直接寫出S與t的關系式．圖1圖2A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形 B．平行四邊形→正方形→矩形→菱形 C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形 D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，點O為對稱中心，∴這個四邊形先是平行四邊形，當對角線相等時是矩形，然后又是平行四邊形，最后點E與點B重合時是菱形．故選：C．6．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F、點P分別為邊AD、對角線BD上的一個動點，連接EF、EP、FP，則△EFP周長的最小值為（）A．10 B．2+2C．13 D．22【解答】解：∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點E是AB的中點，∴AE＝BE＝1，∠DAB＝90°，延長BA到G，使AG＝AE＝1，連接FG，則AD是EG的垂直平分線，∴GF＝EF，取AC的中點H，連接GH，PH，則E，H關于直線BD對稱，∴PE＝PH，∴△EFP周長＝EF+FP+PE＝GF+FP+PH≥GH，∴△EFP周長的最小值為GH的長，在Rt△GBH中，GB＝AB+AG＝2+1＝3，BH＝1，由勾股定理，得GH=G故選：A．二．填空題（共5小題）7．在下列圖形中：①菱形；②等邊三角形；③矩形；④平行四邊形；⑤線段；⑥正六邊形，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是①③⑤⑥．（填寫序號）【解答】解：①菱形是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，符合題意；②等邊三角形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；③矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；④平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；⑤線段是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，符合題意；⑥正六邊形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；故答案為：①③⑤⑥．8.若xy=2,x?y=1，則eq\f(1,y)－\f(1,x)＝12；若2xy＝x－y且xy≠0，則eq\f(1,y)－\f(1,x)＝2．【解答】解：（1）eq\f(1,y)－\f(1,x)＝x?yxy＝12（2）eq\f(1,y)－\f(1,x)＝x?yxy＝29．若分式x+13x?2的值為負數，則x的取值范圍是﹣1＜x＜2【解答】解：∵分式x+13x?2∴（x+1）（3x﹣2）＜0，且3x﹣2≠0，解得：﹣1＜x＜2故答案為：﹣1＜x＜210．關于x的方程x?1x?3=2+kx?3的解為非負數，則k的取值范圍【解答】解：x?1x?3去分母，得：x﹣1＝2（x﹣3）+k，起括號，得：x﹣1＝2x﹣6+k，移項，得：2x﹣x＝﹣1+6﹣k，合并同類項，得：x＝5﹣k，∵方程x?1x?3=2+kx?3的解為非負數，∴x≥0且x﹣3≠0，∴5﹣k≥0且5﹣k﹣3≠0，解得：即k的取值范圍為k≤5且k≠2．11．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，E、F分別為AC、AD的中點，若EF＝1，則AB＝4．【解答】解：∵E、F分別為AC、AD的中點，∴CD＝2EF＝2，∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴AB＝2CD＝4，故答案為：4．12．如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，將此矩形沿CE折疊，點D落在點F處，連接BF，B、F、E三點恰好在一直線上．若AB＝2，∠DCE＝22.5°，則矩形ABCD的面積為42【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，由折疊知∠DEC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠BCE，又∵B、F、E三點在一直線上，∴∠BEC＝∠BCE．∴BC＝BE，∴△BEC為等腰三角形；∵矩形ABCD，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠DCE＝22.5°，∴∠DEB＝2×（90°﹣22.5°）＝135°，∴∠AEB＝180°﹣∠DEB＝45°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝2，∴BE=22∵BC＝BE，∴BC=22∴矩形ABCD的面積為AB?BC=4213．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在CB延長線上，BM＝1，作∠MAN＝45°交DC延長線于點N，則MN的長為173【解答】解：在DC上取F使DF＝MB，由正方形ABCD的邊長為4，BM＝1，得△ADF≌ABM（SAS），得AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，得∠FAM＝90°，由∠MAN＝45°，得∠MAN＝45°＝∠FAN，得△ANF≌ANM（SAS），得NF＝NM＝x，CN＝FN﹣CF＝x﹣3，MC＝5，得52+（x﹣3）2＝x，得MN＝x=173．故答案為：14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，連接DF，CF，則DF+CF的最小值是45．【解答】解：連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，∵將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∴∠EDA＝∠FEG，在△AED與△GFE中，∠A=∠FGE∠EDA=∠FEGDE=EF∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，AD＝EG，∴AE＝BG＝FG，∴∠FBG＝45°，∴F點在BF的射線上運動，作點C關于BF的對稱點C'，∴∠CBF＝45°，∴BF是∠CBC'的角平分線，即F點在∠CBC'的角平分線上運動，∴C'點在AB的延長線上，當DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，∴DC'=AD2故答案為45．三．解答題（共9小題）15.先化簡，再求值：1－a?ba?2b÷a2?b2【解答】解：原式=1－a?ba?2b÷(a+b)(a?b)(a?2b)2=1－∵ab＝∴原式=916．定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如x+1x?1=x?1+2x?1=x?1x?1（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是①③④．（填序號）①x+1x；②2+x2；③x+2x+1（2）將“和諧分式”a2?2a+3a?1化成一個整式與一個分子為常數的分式的和的形式為：a2?2a+3a?1（3）應用：先化簡3x+6x+1?x?1【解答】解：（1）①x+1x=1+1x，是和諧分式；③x+2x+1=x+1+1x+1故答案為：①③④；（2）a2?2a+3a?1=（1）若∠BAM＝32°，則∠ANM＝61°；（2）如圖2，連接CN．求證：四邊形AMCN為菱形；（3）若△AMN的面積與△ABM的面積比為3：1，BM＝1，求MN的長．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∵∠BAM＝32°，∴∠AMB＝90°﹣∠BAM＝58°，∵折疊，∴∠AMN＝∠NMC=1∵AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN＝61°，故答案為：61；（2）證明：∵折疊，∴CM＝AM，AE＝CD，∠AMN＝∠CMN，∠E＝∠D＝90°，∴△CDN≌△AEN（SAS），∴AN＝CN，∵ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，∴AM＝CM＝AN＝CN，∴四邊形AMCN為菱形；（3）解：作MF⊥AN于點F，∵AD∥BC，∴△AMN和△ABM是等高的兩個三角形∴S△AMN：S△ABM＝3：1＝AN：BM，∵BM＝1，∴AN＝3，∵AM＝AN，∴AM＝3，∵MF⊥AN，∠B＝∠DAB＝90°，∴ABMF是矩形，∴BM＝AF＝1，∴根據勾股定理FM=AM2?AF在Rt△MNF中，MN=MF219．在矩形ABCD中AB＝6，BC＝8，G、H分別是AD、BC中點，E、F是對角線AC上的兩個動點，分別從點A、C同時出發相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，其中0≤t≤10．（1）當0≤t＜5時，請判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；（2）若四邊形EGFH為矩形，求t的值；（3）若點G向點D運動，點H向點B運動，且與點E、F以相同的速度同時出發，若四邊形EGFH為菱形，求t的值．【解答】（1）解：四邊形EGFH是平行四邊形，理由如下：由題意得：AE＝CF＝t（0≤t＜5），∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GAE＝∠HCF，∵G，H分別是AD，BC中點，∴AG=1∴AG＝CH，在△AEG和△CFH中，AE=CF∠GAE=∠HCFAG=CH，∴△AEG≌△CFH（∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，∴∠FEG＝∠EFH，∴EG∥FH，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：①當0≤t≤5時，連接GH，如圖，由（1）得AG＝CH＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四邊形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，當四邊形EGFH是矩形時，∴EF＝GH＝6，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10﹣2t＝6，∴t＝2；②當5＜t≤10時，連接GH，如圖，當四邊形EGFH是矩形時，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，∴t＝8．綜上，四邊形EGFH為矩形時t＝2或t＝8；（3）解：連接AH，CG，GH，設AC與GH交于O，如圖，∵四邊形EGFH為菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AE+OE＝CF+OF，∴OA＝OC，∴四邊形AGCH為菱形，∴AG＝CG，設AG＝CG＝x，則DG＝8﹣x，由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2，即：62+（8﹣x）2＝x2，解得：x=25∴MG=25即t=9∴當t=94時，四邊形20．在邊長為6的菱形ABCD中，AB＝AC，點E、F是邊BC、AB上的點，連接EF，（1）如圖1，將∠B沿EF翻折使B的對應點B′落在AC中點上，此時四邊形BEB′F是什么四邊形？并說明理由．（2）如圖2，若BE＝2，以EF為邊在EF右側作等邊△EFG；①連接CG，當△CEG是以CG為腰的等腰三角形時，求BF的長度．②直接寫出CG的最小值．【解答】解：（1）四邊形BEB'F是菱形，理由如下：連接BB'，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵點B'是AC的中點，∴AC⊥BB'，∵將∠B沿EF翻折使B的對應點B′落在AC中點上，∴EF⊥BB'，BF＝B'F，BE＝B'E，∴EF∥AC，∴∠BFE＝∠BAC，∠BEF＝∠BCA，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF，∴BE＝BF＝B'F＝B'E，∴四邊形BEB'F是菱形；（2）①如圖2，連接AC，在AB上截取BM＝BE，連接ME，連接MG，并延長MG，交AC為N，過點C作CH⊥直線MN于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵BE＝BM，∴△BEM是等邊三角形，∴BE＝ME＝BM＝2，∠AB