榆林市2025屆高三第三次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理：試題不回收.第I卷（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集與并集，可得答案.【詳解】，故.故選：D.2.已知，則的虛部為（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及共軛復(fù)數(shù)的概念，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念，可得答案.【詳解】，虛部為4.故選：B.3.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間利用整體代換解不等式可得結(jié)果.【詳解】由可得：.故選：C.4.已知向量，若，則（）A. B.5 C. D.13【答案】A【解析】【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示，解得參數(shù)，根據(jù)模長(zhǎng)公式，可得答案.【詳解】由得，解得，由，則.故選：A.5.雙曲線的右焦點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率等于（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由題意得雙曲線方程為，則圓心到漸近線的距離，化簡(jiǎn)后可求出離心率.【詳解】根據(jù)題意得：圓心，半徑為，雙曲線漸近線方程為，即，以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與雙曲線的漸近線相切，且，圓心到漸近線的距離，即，，則雙曲線的離心率，故選：B6.如圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形.曲線是分別以為圓心，為半徑畫(huà)的圓弧，稱曲線為螺旋線旋轉(zhuǎn)一圈，然后又以為圓心，為半徑畫(huà)弧，，如此下去，畫(huà)到第10圈，則所得螺旋線的總長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式分別求出的長(zhǎng)度，從而可知此數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差，項(xiàng)數(shù)為30的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可知的長(zhǎng)度分別為：，所以此數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差，項(xiàng)數(shù)為30的等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得：該數(shù)列前30項(xiàng)的和為，故選：B.7.交流電的瞬時(shí)值隨時(shí)間周期性變化，正負(fù)號(hào)表示電流方向的交替變化.電流強(qiáng)度（安）隨時(shí)間（秒）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則當(dāng)秒時(shí)，電流強(qiáng)度是（）A.安 B.5安 C.安 D.安【答案】D【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)的圖象求出，然后利用周期公式求出，將點(diǎn)代入表達(dá)式，即可求出的值，得到函數(shù)解析式，代入秒，即可求出電流強(qiáng)度.【詳解】由圖象得，電流的最大值和最小值分別為10和，可得.由周期得，再將點(diǎn)代入，得，所以.因?yàn)椋詴r(shí)，所以.將代入得.故選：D.8.已知函數(shù)，則的最小值為（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)與零的大小關(guān)系，化簡(jiǎn)不等式，可得參數(shù)的關(guān)系式，通過(guò)函數(shù)思想，可得答案.【詳解】法1：因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值.法2：因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此與函數(shù)符號(hào)相同，原不等式等價(jià)于上恒成立，因此，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)直線上，因此.法3：因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，零點(diǎn)為0，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，零點(diǎn)為，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).法4：設(shè)，則恒成立，因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的極小值點(diǎn)，因此，又，所以，當(dāng)時(shí)，，由解法1知，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，滿足題意.因此，下同解法1.法5：設(shè)，則恒成立，因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的極小值點(diǎn)，因此，又，所以，由解法1知在上單調(diào)遞增，且，因此，下同解法1.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有三個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)2分，有兩個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)3分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.的周長(zhǎng)為16 B.的最小值為C.的面積的最大值為12 D.存在點(diǎn)，使得【答案】AC【解析】【分析】求出橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距，再結(jié)合橢圓的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)的頂點(diǎn)，則的面積，所以面積的最大值，故C正確；對(duì)于D，由已知，，設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，即，又，則，代入，得，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.角C為鈍角 B.C. D.的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】由同角的三角函數(shù)關(guān)系和降冪公式可得A正確；由余弦定理結(jié)合A的結(jié)果可得B正確；由同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合余弦定理可得C正確；由兩角和的正切展開(kāi)式再結(jié)合基本不等式可得D正確；【詳解】對(duì)于A，∵，∴，即，∴，又，∴一定為鈍角，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由余弦定理知，，化簡(jiǎn)得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，∵，∴，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，∵，∴，∵為鈍角，則，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，則正實(shí)數(shù)的取值可能是（）A. B. C.1 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，化為，求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)正負(fù)情況可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可解題.【詳解】因?yàn)椋裕钥苫癁椋矗涣睿瑒t有對(duì)于定義域內(nèi)任意，都有，所以在上單調(diào)遞減，所以在上，；因?yàn)椋裕矗驗(yàn)椋裕矗涣睿?dāng)時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；可化為，，因?yàn)樗裕挥桑芍?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)在上的單調(diào)性以及的正負(fù)情況，有：若，則在上恒成立，所以，即在上恒成立；令，則，，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增減，所以時(shí)，取得最大值，，所以；因?yàn)椋鶟M足題意，不合題意，所以ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：隱蔽性指對(duì)同構(gòu)，需要補(bǔ)因式，如：，兩邊同乘以，化為，即.第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.乙巳蛇年，古城榆林燃動(dòng)全國(guó)秧歌熱潮，國(guó)內(nèi)外共39支隊(duì)伍匯聚榆林，舞動(dòng)非遺年味.現(xiàn)有4名國(guó)際友人，每人從俄羅斯、保加利亞、榆林市直教育系統(tǒng)的三支秧歌隊(duì)中選擇觀看一支，則不同的觀看方式有__________.（用數(shù)字作答）【答案】81【解析】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】4名國(guó)際友人，每人有三種選擇，所以種.故答案為：81.13.如圖所示，在上、下底面對(duì)應(yīng)邊的比為1：2的三棱臺(tái)中，過(guò)上底面一邊作一個(gè)平行于棱的平面，記平面分三棱臺(tái)兩部分的體積為（三棱柱），兩部分，那么______.【答案】3：4【解析】【分析】設(shè)三棱臺(tái)的高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，計(jì)算體積得到答案.【詳解】設(shè)三棱臺(tái)高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱臺(tái)的體積問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14.若把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，則曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為_(kāi)_________.【答案】4【解析】【分析】解法1：根據(jù)曲線的對(duì)稱性，利用兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；解法2：根據(jù)曲線的對(duì)稱性，利用參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；【詳解】解法1：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為4.解法2：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為4.故答案為：.15.某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額y（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：超市ABCDE廣告支出x24568銷(xiāo)售額y3040606070（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷(xiāo)售額不少于60萬(wàn)元的超市個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望；（2）利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)廣告支出為10萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．【答案】（1）X的分布列見(jiàn)解析，期望（2）；預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額為87萬(wàn)元．【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進(jìn)而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解線性回歸方程即可.【小問(wèn)1詳解】從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷(xiāo)售額不少于60萬(wàn)元的超市有C，D，E這3家超市，則隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，，，的分布列為：123數(shù)學(xué)期望．【小問(wèn)2詳解】，，，．關(guān)于線性回歸方程為；在中，取，得．預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額為87萬(wàn)元．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且是與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.（2）利用裂項(xiàng)相消求和求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題可得：，即：，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，則，所以，17.如圖1，已知為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，.把沿向上折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，使得平面平面，如圖2所示.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線與平面所成的角為，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.（3）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，再由勾股定理所得線線垂直，根據(jù)線面垂直判定與性質(zhì)，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)面面角的向量公式，可得答案；（3）由題意中線面的位置關(guān)系，根據(jù)線面角的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉榈冗吶切危?又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫云矫?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)椋裕?因?yàn)槠矫妫云矫?又因?yàn)槠矫妫?【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫妫云矫?設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)椋裕詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，可得.設(shè)平面的法向量，則，即，取，則平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，則，即，取，則平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋云矫媾c平面夾角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】由（1）知平面，平面，所以，，而，故的取值范圍為.18.已知平面上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在與之間.（i）證明：線段垂直于軸；（ii）記的面積為的面積為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【解析】【分析】（1）由題意可得動(dòng)點(diǎn)軌跡為拋物線，由焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，可得答案；（2）（i）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由設(shè)出的點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出直線的斜率，研究其關(guān)系，可得答案；（ii）由點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出三角形的面積，整理函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得最值，可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，由于動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)此拋物線的方程是，則，故曲線的方程是.【小問(wèn)2詳解】（i）因?yàn)橹本€的斜率不為0，故設(shè)的方程為，聯(lián)立可得：，，則，.故，故直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以線段垂直于軸（ii）由（i）可知，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在與之間，所以，，則，令，則，令，則，解得；令，解得.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以的取值范圍為.19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的，用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，其中和分別是和次多項(xiàng)式，且滿足.其中為的導(dǎo)數(shù).已知在處的階帕德近似為.（1）求實(shí)數(shù)的值，利用的階帕德近似估計(jì)的近似值（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1），0.182（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意分別對(duì)兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，建立方程組，可得答案；（2）整理不等式，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）利用兩邊取對(duì)數(shù)整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最值，利用（2）的結(jié)論，可得答案.【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)椋裕獾茫?【小問(wèn)2詳解】解法1：設(shè)，則在上恒成立.若，則顯然成立；若，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，因此，即在上單調(diào)遞增，時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)