PAGEPAGE11.3.2奇偶性A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝|x|＋1是(B)A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)[解析]f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．2．若函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)肯定在函數(shù)f(x)的圖象上的是(D)A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))C．(－a,f(a)) D．(－a，－f(a))[解析]∵－f(a)＝f(－a)，∴點(diǎn)(－a，－f(a))在y＝f(x)的圖象上，故選D．3．下列說法正確的是(B)A．偶函數(shù)的圖象肯定與y軸相交B．奇函數(shù)y＝f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0C．奇函數(shù)y＝f(x)的圖象肯定過原點(diǎn)D．圖象過原點(diǎn)的奇函數(shù)必是單調(diào)函數(shù)[解析]A項(xiàng)中若定義域不含0，則圖象與y軸不相交，C項(xiàng)中定義域不含0，則圖象不過原點(diǎn)，D項(xiàng)中奇函數(shù)不肯定單調(diào)，故選B．4．設(shè)f(x)是R上的隨意函數(shù)，則下列敘述正確的是(D)A．f(x)f(－x)是奇函數(shù) B．f(x)|f(－x)|是奇函數(shù)C．f(x)－f(－x)是偶函數(shù) D．f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)[解析]令F1(x)＝f(x)·f(－x)，F(xiàn)2(x)＝f(x)|f(－x)|，F(xiàn)3(x)＝f(x)－f(－x)，F(xiàn)4(x)＝f(x)＋f(－x)，則F1(－x)＝f(－x)·f(x)＝F1(x)，即F1(x)為偶函數(shù)；F2(－x)＝f(－x)·|f(x)|≠±F2(x)，即F2(x)為非奇非偶函數(shù)；F3(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F3(x)，即F3(x)為奇函數(shù)；F4(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F4(x)，即F4(x)為偶函數(shù)．結(jié)合選項(xiàng)知D正確．5．若函數(shù)y＝(x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，則a＝(C)A．－2 B．－1C．1 D．2[解析]∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函數(shù)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.6．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，則f(5)＋f(－5)的值為(A)A．4 B．0C．2m D．－m＋4[解析]由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，得a·57－b·55＋c·53＝2－m，則f(5)＝a·57－b·52＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.∴f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故選A．二、填空題7．已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x＋1，則x>0時(shí)，f(x)＝__－x＋1__.[解析]設(shè)x>0，則－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x＋1.∴x>0時(shí)，f(x)＝－x＋1.8．(2024·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝__12__.[解析]∵當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，∴f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－16＋4＝－12，又∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－2)＝－f(2)＝－12，∴f(2)＝12.三、解答題9．已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表達(dá)式．[解析]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)得，f(x)－g(x)＝x2－x－2又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，兩式聯(lián)立得：f(x)＝x2－2，g(x)＝x.B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關(guān)于(C)A．y軸對稱 B．直線y＝－x對稱C．坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D．直線y＝x對稱[解析]∵f(x)＝eq\f(1,x)－x(x≠0)，∴f(－x)＝－eq\f(1,x)＋x＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選C．2．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)為奇函數(shù)，則a等于(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．1[解析]解法一：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(－x,－2x＋1－x－a)＝－eq\f(x,2x＋1x－a)，即(2x－1)(x＋a)＝(2x＋1)(x－a)恒成立，整理得(2a－1)x＝0，∴必需有2a－1＝0，∴a＝eq\f(1,2)，故選A．解法二：由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以必有f(－1)＝－f(1)，即eq\f(1,－1－a)＝－eq\f(1,31－a)，即1＋a＝3(1－a)，解得a＝eq\f(1,2)，故選A．3．已知f(x)＝x5－2ax3＋3bx＋2，且f(－2)＝－3，則f(2)＝(C)A．3 B．5C．7 D．－1[解析]令g(x)＝x5－2ax3＋3bx，則g(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝－3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.4．設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)，f(－π)，f(3)的大小依次是(A)A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2)[解析]∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且2<3<π，即f(－π)>f(3)>f(－2)．二、填空題5．已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，則a的值為__5__.[解析]∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.6．設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－6,6]，當(dāng)x∈[0,6]時(shí)f(x)的圖象如圖所示，不等式f(x)<0的解集用區(qū)間表示為__[－6，－3)∪(0,3)__.[解析]由f(x)在[0,6]上的圖象知，滿意f(x)<0的不等式的解集為(0,3)．又f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集為[－6，－3)．綜上可知，不等式f(x)<0的解集為[－6，－3)∪(0,3)．三、解答題7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5)，求函數(shù)f(x)的解析式．[解析]∵f(x)是(－1,1)上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴b＝0，又f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,5)，∴eq\f(\f(1,2)a,1＋\f(1,2)2)＝eq\f(2,5)，∴a＝1，∴f(x)＝eq\f(x,1＋x2).8．奇函數(shù)f(x)是定義在(－1,1)上的減函數(shù)，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]原不等式化為f(m－1)<－f(3－2m)．∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(m－1)<f(2m－3)．∵f(x)為(－1,1)上的減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m－1<1,－1<2m－3<1,m－1>2m－3))，解得1<m<2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,2)．9．已知f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋3x＋2.若當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，f(x)的最大值為m，最小值為n，求m－n的值．[解析]∵x<0時(shí)，f(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，∴當(dāng)x∈[－3，－1