第一章緒論及基本概念

一、教學目標和教學內容

教學目標：明確材料力學的任務，理解變形體的的基本假設，掌握桿件變形的基本形式。

教學內容：

①材料力學的特點

②材料力學的任務

③材料力學的研究對象

④變形體的基本假設

⑤材料力學的基本變形形式

二、重點難點

構件的強度、剛度、穩定性的概念；桿件變形的基本形式、變形體的基本假

設。

三、教學方式

采用啟發式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生答復以下問題。

四、建議學時

0.5學時

五、講課提綱

1、材料力學的任務

材料力學是研究構件強度、剛度和穩定性計算的學科。

工程中各種機械和構造都是由許多構件和零件組成的。為了保證機械和構造能安全正

常地工作，必須要求全部構件和零件在外力作用時具有一定的承載能力，承載能力表現為

1.1強度是指構件抵抗破壞的能力。構件在外力作用下不被破壞，說明構件具有足夠的強度。

L2剛度是指構件抵抗變形的能力。構件在外力作用下發生的變形不超過某一規定值，說明

構件具有足夠的剛度。

1.3穩定性是指構件承受在外力作用下，保持原有平衡狀態的能力，構件在外力作用下，能

保持原有的平衡形態，說明構件具有足夠的穩定性。

1.4材料力學的任務：以最經濟為代價，保證構件具有足夠的承載能力。通過研究構件的強

度、剛度、穩定性，為構件選擇適宜的材料、確定合理的截面形狀和尺寸提供計算理論。

2、材料力學的研究對象：可變形固體

?均勻連續性假設：假設變形固體內連續不斷地充滿著均勻的物質，且體內各點處的力學性

質一樣。

?各向同性假設：假設變形固體在各個方向上具有一樣的力學性質。

?小變形假設：假設變形固體在外力作用下產生的變形與構件原有尺寸相比是很微小

的，稱“小變形"。在列平衡方程時，可以不考慮外力作用點處的微小位

移，而按變形前的位置和尺寸進展計算。

3、桿件的幾何特征

3.1軸線：截面形心的連線

3.2橫截面：垂直于軸線的截面

3.3桿的分類：

4、桿件變形的基本形式

桿件在不同受力情況下，將產生各種不同的變形，但是，不管變形若何復:雜，常常是四

種基本變形（軸向拉壓、剪切、扭轉、彎曲）或是它們的組合。

第二章軸向拉伸和壓縮

一、教學目標和教學內容

I、教學目標

正確理解內力、應力、應變等基本概念，熟練掌握截面法。正確理解并熟練掌握軸向拉壓

正應力公式、胡克定律、強度條件，掌握拉壓桿的強度L算方法。掌握拉壓時材料的力學性

能，弄清材料力學解決問題的思路和方法。

2、教學內容

小截面法、內力、應力

a軸力、軸力圖

3正應力、應力集中的概念

4軸向拉（壓）時斜截面上的應力

5拉壓桿的變形、胡克定律、泊松比

⑥拉壓桿的強度計算

⑦材料拉壓時的力學性能

⑧拉壓桿件系統的超靜定問題

二、重點難點

1、內力和截面法，軸力和軸力圖。

2、應力的概念，軸向拉壓時橫截面上的應力，軸向拉壓時的變形。

3、材料拉、壓時的力學性能。

4、軸向拉壓的強度計算。

5、應力集中的概念，拉、壓靜不定問題。

三、教學方式

采用啟發式教學和問題式教學法結合，通過提問，引導學生思考，讓學生答復以下問題,

激發學生的學習熱情.

四、建議學時

7學時

五、講課提綱

2.1軸向拉伸（壓縮）的概念

受力特點：作用于桿件上外力或外力合力的作用線與桿件軸線重合。

變形特點：構件沿軸線方向的伸長或縮短。

2.2軸力、軸力圖

1、內力、截面法

內力的概念

內力是構件因受外力而變形，其內部各局部之間因相對位移改變而引起的附加內力。

截面法

截面法四部曲：截（切開）、取（取別離體）、代（代替1、平（平衡）

2、軸力、軸力圖

軸向拉壓時的內力——軸力

軸力的符號規則一軸力背離截面時為正，指向截面為負。

軸力圖

23應力與圣維南原理

1、應力的概念：

定義：內力在截面上的分布集度。

數學表示:r"

應力分量；

正應力的代數符號規定：拉應力為正，壓應力為負。

應力的單位：Pa（N/m2）

2、軸向拉（壓）時橫截面上的正應力：

應力計算公式：

A

公式的適川范圍：

（I）外力作用線必須與桿軸線重合，否則橫截面上應力將不是均勻分布；

（2）距外力作用點較遠局部正確，外力作用點附近應力分布復雜，由于加載

方式的不同，只會使作用點附近不大的范圍內受到影響（圣維南原理）。因此，只要作

用于桿端合力作用線與桿軸線重合，除力作用處外，仍可用該公式計算。

（3）必須是等截面直桿，否則橫截面上應力將不是均勻分布，當截面變化較緩

慢時，可近似用該公式計算。

3、圣維南原理：外力作用在桿端的方式不同，只會使桿端距離不大于橫向尺寸的范圍內應

力分布受到影響。

4、軸向拉（壓）桿斜截面上的應力

2.4變形、胡克定律、泊松比

1、縱向變形、胡克定律：

絕對變形

EA

E—彈性模量（Pa）E4—抗拉（壓）剛度，反映桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力

相對變形（線應變i

￡=,拉伸￡為“+",壓縮￡為“，

在彈性范圍內：b=七￡,CTWbp胡克定律-------

2、橫向變形及泊松比：

絕對變形

橫向尺寸0-4M-a

相對變形（橫向應變）

/二/拉伸/為“一"，壓縮"為"+"

柏松比（橫向變形系數）

實驗說明：在彈性范圍內〃二2

￡

〃是反映材料性質的常數，由實驗確定，一般在-1?-0.5之間。

2.5材料在拉伸和壓縮時的力學性能

1、低碳鋼拉伸時的力學性能：

試件：

圓截面：/=1（k//=5c/

矩形截面：/=1L3JX/=5.65V

/一工作段長度（標距）"一直徑人一橫截面積

低碳鋼拉伸時變形開展的四個階段：

（1）彈性階段（oa）

應力特征值：比例極限%，一材料應力應變成正比的最大應力值〔服從虎克定律）

彈性極限?—材料只出現彈性變形的應力極限值

成比

E=-=tga（比例系數）

￡

E為與材料有關的匕例常數，隨材料不同而異。當￡=1時，b=E,由此說明說明

材料的剛性的大小；￡二漢。說明幾何意義。

⑵屈服階段（be）

當應力超過彈性極限后，應變增加很快，但應力僅在一微小范圍波動，這種應力基本

不變.應變不斷增加,從而明顯地產牛塑性變形的現象稱為屈服（流動）c

現象：磨光試件外表出現與軸線成45。傾角條紋——滑移線，是由于材料晶格發生相對

滑移所造成。

材料產生顯著塑性變形，影響構件正常使用，應防止出現。

應力特征值：屈服極限?一衡量材料強度的重要指標

（3）強化階段（cd）

強化現象：材料恢復抵抗變形的能力，要使應變增加，必須增大應力值。曲線表

現為上升階段。

應力特征性：強度極限——材料能承受的最大應力值。

冷作硬化——材料預拉到強化階段，使之發生塑性變形，然后卸載，當再次加載時彈性

極限區，和屈服極限q提高、塑性降低的現象。

（4）頸縮階段（df）

在某一局部范圍內，Al（急劇）、&句A計算的5試件被拉斷一

兩個塑性指標：

延伸率（伸長率）3：3=占4100%材料分類［塑性材料65%

/［脆性材料$<5%

截面收縮率-：y/='xlOO%

2、其它材料拉伸時的力學性能：

16Mn鋼也有明顯的四個階段；H62（黃銅）沒有明顯的屈服階段，另三階段較明顯;

T10A（高碳鋼）沒有屈服和頸縮階段，只有彈性和強化階段。鑄鐵拉伸時是?微彎曲線,

沒有明顯的直線局部，拉斯前無屈服現象，拉斷時變形很小是典型的脆性材料。

對于沒有明顯的屈服階段的材料，常以產生0.2%的塑性變形所

對應的應力值作為屈服極限，稱條件屈服極限，用b0.2表示。

3、材料壓縮時的力學性能：

低碳鋼壓縮時的力學性能：

壓縮時曲線，在屈服階段以前與拉伸時一樣，瓦巴

都與拉伸時一樣，當。到達明后，試件出現顯著的塑性變形，越壓

越短，橫截面增大，試件端部由于與壓頭之間摩擦的影響，橫向變

形受到阻礙，被壓成鼓形。得不到壓縮時的強度極限。因此，鋼材

的力學性質主要時用拉伸試驗來確定。

鑄鐵壓縮時的力學性能：與塑性材料相反脆性材料在壓縮時的力學性質與拉伸時有較大

差異。

4、材料在拉伸與壓縮時力學性質特點：

?當應力不超過一定限度（不同材料其限度

不同）時，。與￡成正比；

?塑性材料的抗拉強度極限比脆性材料高，

宜作受拉構件；表示其強度特征的是b,

和而凡是桿件強度設計的依據；

?脆性材料的抗壓強度極限遠大于其抗拉

強度極限，宜作受壓構件；唯一表示強度

特征的是巧,，它也是桿件強度設計的依

據。

2.6許用應力與強度條件

1、極限應力、安全系數、許用應力：

二J%或外2塑性材料

極限應力：材料破壞時的應力稱為極限應力。%二14脆性材料

安全系數、許用應力口］=生

??

〃一安全系數（大于1的數）

構件工作時允許到達的最大應力值贊許用應力。許用應力應低于極限應力。

2、強度條件：

為了保證構件有足夠的強度，桿內最大工作應力不得超過材料在拉壓時的許用應力［cr］,即

它可解決工程上的三類強度問題：

?強度校核

?設計截面

?確定許可載荷

27應力中的概念

局部應力——截面突變處某些局部小范圍內的應力。

應力集中—在截面突變處出現局部應力劇增現象。

應力集中對于塑性、脆性材料的強度產生截然不同的影響，脆性材料對局部應力的敏感

性很強，而局部應力對塑性材料的強度影響很小。

2.8拉伸和壓縮靜不定問題

1、靜不定問題的解法：

基本思路：靜力學關系，變形幾何關系，物理關系。

解超靜定問題，除列出平衡方程外，還要通過研究變形和內力的關系建設足夠數量的補充方

程，為此要找出變形的協調條件，即保持構造連續所必須滿足的變形幾何條件，在通過變形

的物理條件（內力與變形的關系）就可以列出所需要的補充方程。

2、裝配應力：

桿件制成后，其尺寸有微小誤差是難免的，這種誤差使靜定構造的幾何形狀發生微小

改變，而不會引起內力。但對超靜定構造，這種誤差就會使桿件在承受載荷前產生較大的

內力。

由于加工誤差，強行裝配而引起的內力稱為裝配內力，與之相應的應力叫裝配應力。

計算裝配應力的關鍵在于根據構造的變形幾何關系建設補充方程。這類超靜定問題的變形

幾何關系中一定有一項與尺寸誤差3有關。

3、溫度應力：

熱脹冷縮是金屬材料的通性，在靜定構造中桿件可以自由變形，溫度均勻變化所產

生的伸縮，不會在桿內引起內力。但在超靜定構造中，桿件的伸縮受到局部或全部約束，

溫度變化將會引起內力，和它相應的應力稱為溫度應力。

第三章扭轉與剪切

一、教學目標和教學內容

I.教學目標

掌握扭轉內力的計算方法；正確理解并熟練掌握扭轉剪應力、扭轉變形的計算方法、剪

切胡克定律和剪應力互等定理、扭轉強度和扭轉剛度計算。

2.教學內容

也外力偶矩的計算，扭矩、扭矩圖，純剪切。

2圓軸扭轉時的應力和變形，扭轉的強度條件和剛度條件。

3扭轉的強度計算和剛度計算。

4扭轉靜不定問題，非圓截面桿扭轉。

二、重點難點

重點：圓軸扭轉時橫截面上剪應力分布規律和強度，圓軸扭轉變形時的剛度和變形（相對扭

轉角）計算。

難點：扭轉剪應力推導過程

重點處理：通過例子，關雉理解丁2、是指整個軸上的,四面上的最外邊緣點（等截面）：對

變截面可用丁max=；嚴格區分剛度和扭轉角的區別

難點處理：結合、比照。=&的推導過程，和薄壁圓筒橫截面上z?的推導，讓學生思考可

A

能采用的方法，然后在講解。

三、教學方式

采用啟發式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生答復以下問題，到達課堂互動。

四、建議學時

4學時

五、講課提綱

3.1扭轉的概念及實例

桿件發生扭轉變形的受力特點是：在桿件.上作用著大小相等、轉向相反、作用平面垂直

于桿件軸線的兩組平行力偶系。

桿件扭轉變形的特點是：當桿件發生扭轉變形時，任意兩個橫截面將繞桿軸線作相對轉

動而產生相對角位移，稱為該兩個橫截面的扭轉角，用成示。

3.2扭矩的計算和扭矩圖

1＞外力偶矩的計算：

軸所傳遞的功率和釉的轉速，則外力偶矩(N?m)

P一功率，單位為千瓦(KW)

n-----轉速，單位為r/min

2、扭轉時的內力——扭矩：

扭矩：受扭桿件橫截面上的內力是作用在該截面上的力偶，該力偶之矩稱扭矩〔MJ。

扭矩的計算方法——截面法(假設扭矩為正，即設正法］

扭矩的符號規則一右手螺旋法則

扭矩圖:表示桿件各橫截面上的扭矩沿桿軸的變化規律。

3.3圓軸扭轉時的應力與強度條件

1、薄壁圓筒的扭轉應力

①實驗研究：

變形特點：

(1)各縱向線傾斜了同一微小角度y,矩形歪斜成平行四邊形;

(2)各圓周線的形狀、大小和間距不變，只是各圓周線繞桿軸線轉動了不同的角度。

應力分布：橫截面上只有切于截面的剪應力禽它組成與外加扭矩相平衡的內力系兀因壁

厚/很小，假設均勻分布且沿各點圓周的切線方向。

由平衡條件=0得

②切應力互等定理：

從薄壁中，用兩個橫截面和兩個縱截面取出一個單元體，如

以以下圖。

由平衡方程工=。得

??結論：在單元體互相垂直的兩個平面上，剪應力必然成

對存在，且數值相等；二者都垂直于兩平面的交線，其方向

則共同指向或共同背離兩平面的交線，這種關系稱切應力互

等定理。該定理具有普遍性，不僅對只有剪應力的單元體正確，對同時有正應力作用的單元

體亦正確。

規定：使單元體繞其內部任意點產生順時針方向轉動趨勢的剪應力為正，反之為負。

單元體上只要剪應力而無正應力的情況稱為純剪切應力狀態。

③剪切胡克定律：

切應變的定義：在切應力作用下，單元體的直角將發生微小的改變，這個直角的改變量/稱

為切應變。

剪切胡克定律：實驗說明，當剪應力不超過材料的剪切比例極限時，：■與y成正比，即

T=G/G—剪切彈性模量

2、圓軸扭轉時的應力及強度計算

①變形幾何關系

假設圓軸各橫截面仍保持為一

平面，且其形狀大小不變；橫截面

上的半徑亦保持為一直線，這個假

設稱平面假設。根據實驗現象還可

推斷，與薄壁圓筒扭轉時的情況一

樣，圓軸扭轉時其橫截面上不存在

正應力，，僅有垂宜于半徑方向的切

應力rf乍用。

②物理關系

③靜力關系

乙也丘丁廢夕噂小/，G需/兇=了

0=跑——單位長度上的扭轉角（同一截面上為一定值）

dr

/P=fp-dA——截面對形心的極慣性矩〔與截面形狀、大小

截面

模量（系數）

/=--W=—實心軸

P320P16

3

r九D-4\4

I=-----（1一a）,?=—(內外徑之比)IVP=—(1-c^)空心軸

P32D16

4、強度計算

強度條件：

T

對等直圓軸：rmax=-^<lr]

Wp

3.4圓軸扭轉時的變形和剛度計算

1、扭轉變形

扭轉角（^）：任意兩橫截面相對轉過的角度

在7=C,軸為等截面條件下

7./

(p=—1弧度)

GIp

%——截面的抗扭剛度（。與G/p成反比、反映截面抵抗扭轉變形的能力）

2、剛度條件

7*

0―—-------(rad/m)

/GK

T

剛度條件：人“網律，⑻

Cz/p

可解決三類剛度問題。

3.5扭轉超靜定問題

第四章彎曲內力

一、教學目標和教學內容

教學目標

①掌握彎曲變形與平面彎曲等基本概念；

②熟練掌握用截面法求彎曲內力：

③熟練列出剪力方程和彎矩方程并繪制剪力圖和彎矩圖；

④利用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關系繪制剪力圖和彎矩圖；

⑤掌握疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。

教學內容

小平面彎曲等基本概念；

2截面法及簡便方法求彎曲內力；

3剪力方程和彎審.方程、繪制剪力圖和彎矩圖；

4用載荷集度、剪力和彎矩間的微分關系繪制剪力圖和彎矩圖；

6疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。

二、重點難點

1、平面彎曲的概念；

2、剪力和彎矩，剪力和彎矩的正負符號規則；

3、剪力圖和彎矩圖：

4、剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關系；

5、疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。

三、教學方式

采用啟發式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生答復以下問題。

四、建議學時

2學時

五、講課提綱

4.1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖

1、平面彎曲的概念

彎曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷或位于縱向平面內的力偶作用下，相鄰兩橫截面

繞垂直于軸線的軸發生相對轉動的變形C

梁：以彎曲為主要變形形式的構件。

平面彎曲：桿變形之后的軸線所在平面與外力所在平面重合或平行的彎曲變形。

2、梁的計算簡圖

①幾何構造的簡化

以梁的軸線來代替梁，忽略構造上的枝節，如鍵槽、銷孔、階梯等。

②載何的簡化

載荷按作用方式可以簡化成三類

1、集中力

2、分布載荷

3、集中力偶

③約束的簡化

三種基本形式

1，可動較支座

2、固定較支座

3、固定端

④靜定梁及其分類

1、簡支梁

2、外伸梁

3、懸臂梁

4.2梁的內力及內力圖

①彎曲內力

根據梁的平衡條件，可以求出靜定梁在載荷作用下的支反力，再應用我面法，求得梁的

各個載面，的彎曲內力。

（M正負號規定：

使梁段繞其內任意點有順時針轉動趨勢的剪力F,規定為正，反之為負；

使梁段的下部產生拉伸而上部產生壓縮的療矩M規定為正，反之為負。

②用直接法計算梁內力的規律

橫截面上的剪力人在數值上等于此截面左側（或右側）梁上所有外力在平行于橫截

面方向投影的代數和。截面左側向上外力，或右側向下外力，產生正的剪力；反之產生

負的剪力。左上右下，尸.為正：左下右上，氏為負。

橫截面上的彎矩M在數值上等于此截面左側（或右側）梁上所有外力對該截面形心

的力矩的代數和。向上的外力產生正的彎矩，向下的外力產生負的彎矩。截面左側順時

針轉向外力偶，或右側逆時針轉向外力偶，產生正的彎矩；反之產生負的彎矩。上正下

負；左順右逆，M為正。

③內力圖

為了形象地說明梁各橫截面上的尺、例沿梁軸線的變化情況，在設計計算中常把各橫

截面上的￡、M用圖形來表示，分別稱為剪力圖和彎矩圖.

由截面法和平衡條件可知，在集中力、集中力偶和分布載荷的起止點處，剪力方程和彎

矩方程可能發生變化，所以這些點均為剪力方程和彎矩方程的分段點。求出分段點處橫截面

上剪力和彎矩的數值（包括正負號），并將這些數值標在相應位置處。分段點之間的圖形可

根據剪力方程和彎矩方程繪出。

第五章彎曲應力

一、教學目標和教學內容

教學目標

掌握梁純彎曲時橫截面上正應力計算公式的推導過程，理解推導中所作的基本假設。

理解橫力彎曲止應力計算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。

掌握中性層、中性軸和翹曲等基本概念和含義。

掌握各種形狀截面梁（矩形、圓形、圓環形、工字形）橫截面上切應力的分布和計算。

熟練彎曲正應力和切應力強度條件的建設和相應的計算。

了解什么情況下需要對梁的彎曲切應力進展強度校核。

從彎曲強度條件出發，掌握提高彎曲強度的假設干措施。

理解等強度梁的概念。

教學內容

梁純彎曲和橫力彎曲時橫截面上的正應力

梁橫力彎曲時橫截面上的切應力

提高彎曲強度的假設干措施。

二、重點難點

重點：純彎曲梁橫截面上正應力公式的分析推導。

橫力彎曲橫截面上正應力的計算，最大拉應力和最大壓應力的計算。

彎曲的強度計算。

彎曲橫截面上為切應力。

難點：彎曲正應力、切應力推導過程和彎曲中心的概念。

重點處理：從彎曲變形的特點出發，讓學生了解兩個應力的分布規律，并對兩個應力的

分布進展比照，加強學生理解和記憶。分析彎曲正應力、切應力公式中各項的意義，計算方

法，結合T型截面梁鑄鐵梁.這一典型問題分析，并在作業中進一步強化訓練。

難點處理：結合梁彎曲變形的特點，推導兩個應力公式，在推導中，充分利用前面的

知識，發揮學生的主動性，讓學生自己選擇解決方法，加強學生對內容的掌握。對照

r=4的推導消化難點，以學生理解這一推導思路。

AIp

三、教學方式

采用啟發式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生答復以下問題。

四、建議學時

4學時

五、講課提綱

5.1彎曲正應力

1、純彎曲時梁的橫截面上的正應力

圖所示簡支梁CD,載荷尸作用在梁的縱向對稱面內，梁的彎曲為平面彎曲，其計算簡圖

如以以下圖。從CD梁的剪力圖和彎矩圖可以看到，AC和。3梁段的各橫截面上，剪力和

彎矩同時存在，這種彎曲稱為橫力彎曲；而在AB梁段內，橫截面上則只有彎矩而沒有剪力,

這種彎曲稱為純彎曲。

可以知道，梁的各“03苫不同的；純彎曲時，梁冬上彎矩為一不變的常數

值,

即M二常量。IA

下面，首先分析梁在純彎曲時橫截面上的彎曲正應『X

而靠近凸

(2)梁上的橫線仍為直線，各橫線間發生相對轉動，不再相互平行，但仍與梁彎曲后的軸

線垂直。

(3)在梁的縱線伸長區，梁的寬度減小；而在梁的縱線縮短區，梁的寬度增大。

中性層：梁內某一層纖維既不伸長也不縮短，因而這層纖維既不受拉應力，也不受壓應力,

這層纖維稱為中性層。

中性軸：中性層與梁橫截面的交線。如圖

(2)梁的9中性軸中或壓縮。

縱線，山的伸長為

而其線應變為

由于中性層等遠的各縱向纖維變形一樣，所以.公式線向變￡即為橫截面上坐標為)，的所有

各點處的縱向纖維的線應變。

②物理關系

根據梁的縱向纖維間無擠壓，而只是發生簡單拉伸或壓縮的假設。當橫截面上的正應力

不超過材料的比例極限巴,時，可由胡克定律得到橫截面上坐標為)，處各點的正應力為

E

該式說明，橫截面上各點的正應力。與點的坐標y成正比，由于截面上萬為常數，說

明彎曲正應力沿截面高度按線性規律分布，如以以下圖。中性軸上各點的正應力均為零，中

性軸上部橫截面的各點均為壓應力，而下部各點則均為拉應力。

③靜力關系

在純彎情況下，梁橫截面上只有彎矩,而軸力FN和皆為零。

由尸N二。，有

pFt

將物理關系代入上式可得：fc-ydA=-fydA=0

bp夕以

E

由于彎曲時一。0,必然有

P

此式說明，中性軸Z通過截面形心。

同時，由My=0,可得

其中

稱為截面對y、z軸的慣性積。使/"=0的一對互相垂直的軸稱為主軸。而z軸又通過橫截

面形心，所以z軸為形心主軸。

最后，根據將物理關系代入下式

其中

]M

-=——是純彎曲時梁釉線變形后的曲率；

pW

/.=\y2dA稱為截面對Z軸的慣性矩；E/一稱為截面的抗彎剛度。，梁彎曲的曲率

A

與彎矩成正比，而與抗彎剛度成反比。

將該式代入式物理關系，即可得到純彎曲時梁的橫截面上的正應力計算公式

設為橫截面上離中性軸最遠點到中性軸的距離，則截面上的最大正應力為

如令

則截面上最大彎曲正應力可以表達為

式中，w.稱為截面圖形的抗截面模量。它只與截面圖形的幾何性質有關，其量綱為[長度『。

矩形截面和圓截面的抗彎截面模量分別為：

高為〃，寬為人的矩形截面：

直徑為d的圓截面：/7=—w7=—

至于各種型鋼的抗彎截面模量，可從附錄II的型鋼表中查找。

假設梁的橫截面對中性軸不對稱，則其截面上的最大拉應力和最大壓應力并不相等，例

如T形截面。這時，應把H和為分別代入正應力公式，計算截面上的最大正應力。

最大拉應力為：

最大壓應力為：

2、橫力彎曲時的正應力

對于細長梁(例如矩形截面梁，〃/225,/為梁長，”為截面高度)，切應力對正應力和彎

曲變形的影響很小，可以忽略不計。而且，用純彎曲時梁橫截面上的正應力計算公式，即

3、梁的正應力強度條件

為保證梁的安全，梁的最大正應力點應滿足強度條件

式中為材料的許用應力。對于等截面直梁，假設材料的拉、壓強度相等，則最大彎矩的

所在面稱為不安全截面，不安全截面上距中性軸最遠的點稱為不安全點。此時強度條件可表

達為

對于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉強度和抗壓強度相差甚大，所以要對最大拉應力

點和最大壓應力點分別進展校核。

5.2梁橫截面上的切應力

1、梁橫截面上的切應力

①矩形截面梁的彎曲切應力

當截面高度〃大于寬度〃時，關于矩形截面上的切應力分布規律，可作如下假設:

(1)截面上任意一點的切應力都平行于剪力Fs的方向。

(2)切應力沿截面寬度均勻分布，即切應力的大小只與y坐標有關。

從圖所示橫力彎曲的梁上截取長為dx的微段梁

M=(.。必=河.y"

式中，A?為橫截面上距中性軸為y的橫線以外的面積，如以以下圖。式中積分

是4的截面積對矩形截面中性軸z的靜矩。因此，上式簡化為

同理，N?=--------S,

，z

因六面體在X方向的平衡,即

少=(),NSdx)=U

將M和N?代入上式，有

整理、化簡后有

根據梁內力間的微分關系也二Q,可得

dx

由切應力互等定理/=不，可以推導出矩形截面上距中性軸為），處任意點的切應力計算公式

為

h

當'=±萬時，即矩形截面的上、下邊緣處切應力7=0；當y=0時，截面中性軸上的切

應力為最大值：

說明矩形截面上的最大彎曲切應力為其平均切應力的1.5倍。

②工字形截面、T形截面、槽形截面梁的彎曲切應力

2.2.1腹板上切應力

工字形截面梁由腹板和翼緣組成。實驗說明，在翼緣上切應力很小，在腹板上切應力沿

腹板高度按拋物線規律變化，如以以下圖。

腹板上切應力仍然沿用矩形截面梁彎

曲切應力計算公式

其中b取腹板的寬度。

最大切應力在中性軸上，其值為

式中（S：）max為中性岫.側截面面積對中

性軸的靜矩。對于軋制的工字鋼，式中的

可以從型鋼表中查得。

/Qz）max

2.2.2翼緣上切應力

計算結果說明，腹板承當的剪力約為（095%.97）Q,因此翼緣上的豎向切應力很小,

可忽略不計。

水平切應力

③圓形截面梁

在圓形截面上，任一平行于中性軸的橫線aaJ兩端處，

切應力的方向必切于圓周，并相交于y軸上的c點。因此，

橫線上各點切應力方向是變化的。但在中性軸上各點切應力

的方向皆平行于剪力Q，設為均勻分布，其值為最大。

式中A=-d2,即圓截面的最大切應力為其平均切應力的

4

%倍。

2、切應力強度條件

對于某些特殊情形，如梁的跨度較小或載荷靠近支座時，焊接或鐘接的壁薄截面梁，或

梁沿某一方向的抗剪能力較差〔木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層）等，還需進展彎曲切應

力強度校核。等截面直梁的口皿一般發生在|。口皿截面的中性軸上，此處彎曲正應力

a=0,微元體處于純切應力狀態，其強度條件為

式中［7］為材料的許用切應力。此時，一般先按正應力的強度條件選擇截面的尺寸和形狀,

然后按切應力強度條件校核。

5.3梁的合理設計

1、合理安排梁的受力情況

梁的彎矩與載荷的作用位置和梁的支承方式有關，適當調整載荷或支座的位置，可以

降低梁的最大彎矩\人的數值.

2、選擇合理截面形狀

由M,nax<[<7]W

知梁可能承受的最大彎矩與抗彎截面系數成正比，H越大越有利，而W又與截面面積和

形狀有關。因此應選擇『月較大的截面（工字形、槽形）矩形〉圓形）。

應使截面的上、下緣應力同時到達材料的相應容許應力。

3、采用變截面梁

在橫力彎曲下，彎矩是沿梁軸變化的。因此在按最大彎矩設計的等截面梁中，除

最大彎矩所在的截面外，其余截面材料的強度均未得到充分利用。為了節省材料，減

輕梁的重量，可根據彎矩沿梁軸的變化情況，將梁設計成變截面的。假設變截面梁的

每一橫截面上的最大正應力均等于材料的許用應力，這種梁就稱為等強度梁。

在工程實踐中，由于構造和加工的關系，很難做到理論上的等強度梁，但在很多情

況下，都利川了等強度梁的概念即在彎矩大的梁段使其橫截面相應地大一曲。例如廠房建筑

中廣泛使用的魚腹梁和機械工程中常見的階梯軸等。

第六章彎曲變形

一、教學目標和教學內容

教學H標

掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法，明確疊加原理的使用條件，掌握用

變形對比法求解靜不定梁。

教學內容

有關彎曲變形的基本概念

積分法和疊加法

明確疊加原理

力法求解靜不定梁。

二、重點難點

梁的變形分析。

撓曲軸近似微分方程。

積分法求變形。

疊加法求梁的變形。

靜不定梁。

三、教學方式

采用啟發式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生答復以下問題。

四、建議學時

6學時

五、講課提綱

6.1彎曲變形的基本概念

關于梁的彎曲變形，可以從梁的軸線和橫截面兩個方面來研究。

圖示一根任意梁，以變形前直梁的軸線為x軸，垂直向卜的軸為），軸，建設wy直角

坐標系。當梁在不，面內發生彎曲時，梁的軸線由直線變為p面內的一條光滑連續曲線，稱

為梁的撓曲線，或彈性曲線。第六章中曾經指出，梁彎曲后橫截面仍然垂直于梁的撓曲線，

因此，當梁發生彎曲時梁的各個截面不僅發生了線位移，而且還產生了角位移，如圖7.1

所示。

橫截面的形心在垂直于梁軸1X軸）方向的線位移，稱為橫截面的撓度，并用符號U表

示。關于撓度的正負符號，在圖示坐標系下，規定撓度向下（與），軸同向）為正；向上（與

），軸反向）為負。應該指出，由于梁在彎曲時長度不變，橫截面的形心在沿梁軸方向也存在

線位移。但在小變形條件下，這種位移極小，可以忽略不計。梁彎曲時，各個截面的撓度是

截面形心坐標X的函數，即有

上式是撓曲線的函數表達式，亦稱為撓曲線方程。

橫截面的角位移，稱為截面的轉角，用符號。表示。關于轉角的正負符號，規定在圖示

坐標系中從X軸可期寸針轉到撓曲線的切線形成的轉角夕為正的；反之，為負的。

顯然，轉角也是隨截面位置不同而變化的，它也是截面位置X的函數，即

此式稱為轉角方程。工程實際中，小變形時轉角。是一個很小的量，因此可表示為

綜上所述，求梁的任一截面的撓度和轉角，關鍵在于確定梁的撓曲線方程v=Mx）

6.2撓曲線近似微分方程

對細長梁，梁上的彎矩歷和相應截面處梁軸的曲率半徑「均為截面位置x的函數，因

此，梁的撓曲線的曲率可表為

即梁的任一截面處撓曲線的曲率與該截面上的彎矩成正比，與截面的抗彎剛度EI成反比。

另外，由高等數學知，曲線y=（x）任一點的曲率為

顯然，上述關系同樣適用于撓曲線。對比上兩式，可得

上式稱為撓曲線微分方程。這是一個二階非線性常微分方程，求解是很困難的。而在工程實

際中，梁的撓度），和轉角8數值都很小，因此，（V）2之值和1相比很小，可以略去不計，

于是，該式可簡化為

式中左端的正負號的選擇，與彎矩M的正負符號規定及xoy坐標系的選擇有關。根據彎矩

M的正負符號規定，當梁的彎矩時，梁的撓曲線為凹曲線，按圖示坐標系，撓曲線

的二階導函數值/＜0；反之，當梁的彎矩加＜0時，撓曲線為凸曲線，在圖示坐標系中

撓曲線的/＞（）。可見，在圖示右手坐標系中，梁上的彎矩M與撓曲線的二階導數尸符號

相反。所以，上式的左端應取負號，即

上式稱為撓曲線近似微分方程。實踐說明，由此方程求得的撓度和轉角，對工程計算來說，

已足夠準確。

6.3積分法求彎曲變形

積分法計算梁的變形/）

積分一次：u=0=j—

再積分一次：EI

C、D為積分常數，它由位移邊界與連續條件確定

邊界條件：

（1）固定端約束：限制線位移和角位移

/

/唳=oq=o

A7.B

⑵較支座：只限制線位移

連續條件：

6.4疊加法求梁的變形

在第五章介紹用疊加法作彎矩圖時，曾介紹了材料力學的一個普遍原理一一疊加原理。

在線彈性小變形前提下，構件的支反力、內力、應力和變形都可以用疊加法的方法計算。

彎曲變形時，梁的撓曳與轉角都與載荷成線性關系。

因此，可以用疊加法計算梁的彎曲變形。當梁上有幾個載荷共同作用時，可以分別計算

梁在每個載荷單獨作用時的變形，然后進展疊加，即可求得梁在幾個載荷共同作用時的總變

形。

應用置加法求梁的變形時，假設梁在簡單載荷作用時的變形，是很方便的。

6.5梁的剛度校核

1、剛度條件

丁&刃或子嗚］

［切一一構件的許用轉角

V

［-］一一分別為構件的許用撓度、單位長度許用撓度

2、剛度校核

剛度校核是檢查梁在荷載作用下產生的變形是否超過容許值，在機械工程中，一般

對夕卜都進展校核；在建筑工程中，大多數只校核撓度

6.6梁的合理剛度設計

從撓曲線的近似微分方程及其積分可以看出，彎曲變形與彎矩大小、跨度長短、支座條

件，梁截面的慣性矩/、材料的彈性模量E有關。故提高梁剛度的措施為：

(1)改善構造形式，減小彎矩

(2)增加支承，減小跨度/；

(3)選用適宜的材料，增加彈性模量￡0但因各種鋼材的彈性模量基本一樣，所

以為提高梁的剛度而采用高強度鋼，效果并不顯著；

(4)選擇合理的截面形狀，提高慣性矩/,如工字形截面、空心截面等。

6.7簡單超靜定梁的解法

超靜定梁：約束反力數目多于靜力平衡方程數目的梁稱為靜不定梁。兩者數目的差稱

為靜不定次數。

第七章應力狀態與強度理論

一、教學目標和教學內容

1.教學目標

通過本章學習，掌握應力狀態的概念及其研究方法；會從具有受力桿件中截取單元

體并標明單元體上的應力情況；會計算平面應力狀態下斜截面上的應力；掌握平面應力狀態

和特殊空間應力狀態下的主應力、主方向的計算，并會排列主應力的順序；掌握廣義胡克定

律；了解復雜應力狀態比能的概念。掌握強度理論的概念；了解材料的兩種破壞形式(按破

壞現象區分)；了解常用的四個強度理論的觀點、破壞條件、強度條件；掌握常用的四個強

度理論的相當應力；會用道度理論對一些簡單的桿件構造進展強度計算。

2.教學內容

①應力狀態的概念；

②平面應力狀態分析；

③三向應力狀態下的最大應力；

④廣義胡克定律?體應變；

⑤好雜應力狀態的比能；

⑥講解強度理論的概念及材料的兩種破壞形式。

⑦講解常用的四個強度理論的基本觀點，并推導其破壞條件從而建設強度計算方法。

⑧介紹幾種強度理論的應用范圍和各自的優缺點。

二、重點難點

重點：

1、平面應力狀態下斜:截面上的應力計算，主應力及主方向的計算，最大剪應力的計算。

2、廣義胡克定律及其應用。

3、強度理論的概念、常用的四個強度理論的觀點、強度條件及其強度計算。

難點：

1、應力狀態的概念，從具體受力桿件中橫面單元體并標明單元體上的應力情況。

2、斜截面上的應力計算公式中關于正負符號的約定。

3.應力主平面.主應力的概念，主應力的大小，方向確實定.

4、廣義胡克定律及其應用；

5、常用四個強度理論的理解。

6、不安全點確實定及其強度計算。

三、教學方式

采用啟發式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生答復以下問題。

四、建議學時

6學時

五、講課提綱

7.1應力狀態的概念

所謂“應力狀態”又稱為一點處的應力狀態（stateofstressesatagivenpoirt）,

是指過一點不同方向面上應力的集合。

分析說明，一點處不同方向面上的應力是不一樣的。我們把在過一點的所有截面中，切

應力為零的截面稱為應力主平面，簡稱為主平面。例如，圖（c）中a、d單元體的三對面及

b、c單元體的前后一對外表均為主平面。由主平面構成的單元體稱為主單元體，如圖（c）

中的a、d單元體。主平面的法向稱為應力主方向。簡稱主方向。主平面上的正應力稱為主

應力），如圖（c）中a、d單元體上的6及。3。用彈性力學方法可以證明，物體中任一點

總可找到三個相互垂直的主方向，因而每一點處都有三個相互垂直的主平面和三個主應力；

但在三個主應力中有兩個或三個主應力相等的特殊情況下，主平面及主力向便會多于三個。

一點處的三個主應力，通常按其代數值依次用巧之內之內來表示，如圖1c）中a、d

單元體，雖然它們都只有一個不為零且絕對值相等的主應力，但須分別用內表示。根

據一點處存在幾個不為零的主應力，可以將應力狀態分為三類：

1）單向（或簡單）應力狀態：三個主應力中只有一個主應力不為零。

2）二向應力狀態：三個主應力中有兩個主應力不為零。

3）三向（或空間）應力狀態：三個主應力均不為零。

7.2平面應力狀態下的應力分析

應力、a角正負號規定為：

a角：從x方向反時針轉至a面外法線〃的。角為正值；反之為負值。a角的取值區間為

［0,4］或［一4/2,乃/2］。

正應力：拉應力為正，壓應力為負。

切應力：使微元體產生順時針方向轉動趨勢為正；反之為負。或者，截面外法線矢順時

針向轉90°后的方向為正：反之為負。

求。面上的應力b0、％的方法，有解析法和圖解法兩種。分別介紹如下：

1、解析法

利用截面法，沿截面助將圖示單元切成兩局部，取其左邊局部為研究對象。設a面的

面積為dA,則“面、y面的面積分別為dAcosa及dAsina。于是，得研究對象的受力情況

如圖（b）示。該局部沿。面法向及切向的平衡方程分別為：

由此得

，?2/、?

cosa+asin?-(r+r)sinacQsa

vxvvx(a)

22

=(cr?-o\,)sinacoso+r、、,cos<7-rvxsina

由八'，=Zvx，cos2a=(l+cos2a)/2,sin2a=(l-cos2a>/22sinacosa=sin2??式(a)

可改寫為:

—iTV

-------+-------cosla-rsinla

xyv

22(9.1)

<T-CTy

--X-----sin2a+r?cos2a

27v

這就是斜面上應力的計算公式。應用時一定要遵循應力及々角

的符號規定。

由式可知，斜截面上的應力〃均為。角的函數，即它們的大小和方向隨斜截面的

方位而變化。現在來求它們的極限及平面應力狀態的主應力。

對于斜截面上的正應力（7。，設極值時的a角為a°，由d%/da=（^m

可見，心取極值的截面」一切應力為零，即的極值便是單元體的主應力。這時的火可由

上式求得為：

上式的劭在取值區間內有兩個根劭及a0±90;它說明與%有關的兩個極值（主應力）的

作用而［主平面）是相互垂直的。

將以上各式代入的第一式，得乙的兩個極值bmaxC對應劭面）、bmin（對應劭±90。面）

為：

bmax、C為平面應力狀態一點處三個主應力中的兩個主應力，它的另一個主應力為零。

至于若何根據這三個主應力來排列,、6、。3的次序，應視5nax、氣新的具體數值來決

定。

2、圖解法

①應力圓方程

將斜截面應力公式改寫為：

十八-G7

-------=--------cos2a-r...sin2a

22(a)

0x-by

-------sin2a+rxvcos2a

于是，由上述二式得到一圓方程:

(b)

據此，假設b,、%,、則在以。為橫坐標，T為縱坐標軸的坐標系中，可以畫出

一個圓，其圓心為（生要,0）,半徑為“X[[+Wy。圓周上一點的坐標就代表單元

體一個斜截面上的應力。因此，這個圓稱為應力圓或莫爾圓，

②應力圓的畫法

在外、by及rxy，作相應應力圓時，先在7坐標系中，按選定的比例尺，以（G，%）、

（by,-人》,）為坐標確定不（對應X面）、y（對應y面）兩點，（在應力圓中，正應力以拉應

力為正，切應力以與其作用面外法線順時鐘轉向90。后的方向一致時為正）。然后直線連接X、

y兩點交。軸于。點，并以。點圓心，以鼻或3為半徑畫圓，此圓就是應力圓。

③幾種對應關系

應力圓上的點與平面應力狀態任意斜截面上的應力有如下對應關系：

1）點面對應

應力圓上某一點的坐標對應單元體某一方面上的正應力和切應力值。如圖上的〃點的

坐標即為斜截面。面的正應力和切應力。

2）轉向對應

應力圓半徑旋轉時，半徑端點的坐標隨之改變，對應地，斜截面外法線亦沿一樣方向

旋轉，才能保證某一方向面上的應力與應力圓上半徑端點的坐標相對應。

3）二倍角對應

應力圓上半徑轉過的角度，等于斜截面外法線旋轉角度的兩倍。因為，在單元體中，

外法線與x軸間夾角相差180。的兩個面是同一截面，而應力圓中圓心角相差360。時才能為

同一點。

7.3空間應力下的應力分析

在工程中還是存在不少三向應力狀態的問題。例如，在地層的,定深度處的單元體，在地應

力作用下便是處于三向應力狀態；滾珠軸承中的滾珠與外環接觸處、火車輪與軌道接觸處，

也是處于三向應力狀態的，

本節只討論三個主應力5均的三向應力狀態，對于單兀體各面上既有止應力，

又有切應力的三向應力狀態，可以用彈性力學方法求得這三個主應力。對于材料力學中的問

題，可以用9.2節的方法以求得三個主應力巧、6及6。

對于圖示三個主應力的主單體，可以將這種應力狀態分解為三種平面應力狀態，分析平

行于三個主應力的三組特殊方向面上的應力。在平行于主應力③的方向面上，可視為只有

和。3作用的平面應力狀態；在平行于主應力。2的方向面上可視為只有③和火作用的平

面應力狀態；在平行于主應力內的方向面上，可視為只有6和6作用的平面應力狀態。并

可繪出圖（b）示三個應力圖，并稱為三向應力狀態應力圓，用彈性力學方法可以證明，主

單元體中任意斜截面上的正應力及切應力，必位于以這三個應力圓為界的陰影區內。

由三向應力圓可以看出，在三向應力狀態下，代數值最大和最小的正應力為：

°max=6,bmin=

而最大切應力為

上兩式也適用于三向應力狀態的兩種特殊情況：二向應力狀態及單向應力狀態。

7.4廣義胡克定律

1、廣義胡克定律

在三向應力狀態下主單元體同時受到主應力力、6及。3作用，如以以下圖。這時，

我們把沿單元體主應力方向的線應變稱為主應變，習慣上分別用J、G及￡3來表示。對于

連續均質各向同性級彈性材料，可以將這種應力狀態，視為三個單向應力狀態疊加來求主應

變。在6單獨作用下，沿主應力6、6及6方向的線應變分別為：

~E~E

式中E、I，為材料的彈性模量及泊松比。

同理，在內和。3單獨作用時，上述應變分別為:

LT

「昨3",.。

/一E與一下*r3一下

將同方向的線應變置加得三向應力狀態下主單元體的主應變為：

式中的6、＜72及。3均以代數值代入，求出的主應變為正值表示伸長，負值表示縮短。

如果不是主單元體，則單元體各面上將作用有正應力b-%,、,和切應力7xy=%x

Gz。單元體除了沿Ky及z方向產生線應變以、外及4外，還在三個坐

標面"、yz、zx內產生切應變/yz及，zx。

由理論證明及實驗證實，對于連續均質各向同性線彈性材料，正應力不會引起切應變,

切應力也不會引起線應變，而且切應力引起的切應變互不耦聯。于是，線應變可以按推導

式(9.10)的方法求得，而切應變可以利用剪切胡克定律得到，最后有

上兩式稱為廣義胡克定律。式中。為剪切彈性模量。色”及G均為與材料有關的彈性常數,

但三者這中只有兩個是獨立的，可以證明這三個常數之間存在著如下關系：

2、體應變

體應變乂稱體積應變，是指在應力狀態下單元體單位體積的體積改變，設單元體各棱邊

的變形前長度分別為dx、dy和dz,變形前的單元體體積便為

在三向應力狀態下，主單元體變形后的各棱邊長度將分別為(l+j)dx、(l+￡2)dy及

(1+￡3)dz,因此，變形后主單元體的體積為

因