專題06三角形全等、相似及綜合應(yīng)用模型題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練三角形的相關(guān)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ)，所以是中考考試的必考知識(shí)點(diǎn)。在考察題型上，三角形基礎(chǔ)知識(shí)部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關(guān)系、內(nèi)角和/外角和定理、“三線”基本性質(zhì)等。特殊三角形的性質(zhì)與判定也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的，且等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大。直角三角形的出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸。模型01與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=12BCDE模型02與三角形有關(guān)的角的應(yīng)用（1）三角形的內(nèi)角：（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．模型03三角形全等的判定及應(yīng)用（1）全等三角形的定義：全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同；（2）大小相等能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。（2）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等。（3）全等三角形的判定：（1）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）（3）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）（4）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。模型04三角形相似的判定及綜合應(yīng)用（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．模型05三角形折疊問題探究三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2-∠1模型06三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）該模型重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。（1）手拉手模型：將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。（2）半角模型：半角模型概念：過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。模型特征：等線段，共端點(diǎn)，含半角思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論。模型01與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以基礎(chǔ)或中檔題為主。解這類問題的關(guān)鍵是了解三角形的高線、角平分線、中線、中位線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論進(jìn)行解題。答｜題｜技｜巧第一步：根據(jù)題意，判定所考察的知識(shí)點(diǎn)第二步：結(jié)合三角形的高線、角平分線、中線、中位線的性質(zhì)進(jìn)行解題；第三步：進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題例1.（2022·安徽）如圖，和是的中線，則以下結(jié)論：①；②是的重心；③與面積相等；④過的直線平分線段；⑤；⑥，其中正確的結(jié)論有（

）

A．①②③⑤B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥例2．（2023?遼寧）如圖：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，則BC＝AB．正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②模型02與三角形有關(guān)的角的應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)與三角形有關(guān)的角的應(yīng)用該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高。主要考查了三角形的內(nèi)角和是定理，三角形的外角定理及結(jié)合三角形角平分線的定義，三角形高的定義等看，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行角度的計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵。答｜題｜技｜巧第一步：直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；第二步：依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；第三步：在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角；第四步：若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．例1．（20023·浙江）如圖△ABC，已知BE為∠ABC的平分線．若∠ABC=62°，∠A比∠ABC大10°，求A．134° B．114° C．46° D．103°例2．（2023·吉林）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠B=46°，∠

A．22° B．27° C．53° D．63°模型03三角形全等的判定及應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)三角形全等的判定及應(yīng)用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主。解這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊。答｜題｜技｜巧第一步：認(rèn)真分析題目的已知和求證；第二步：分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；第三步：在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；第四步：最后把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．例1．（2023?上海）如圖，點(diǎn)是上任一點(diǎn)，，從下列各條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出的是A． B． C． D．例2．（2023?安徽）如圖，點(diǎn)、分別在、上，與相交于點(diǎn)，連接，如果，，那么圖中的全等三角形共有對(duì)．模型04三角形相似的判定及綜合應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)三角形相似的判定及綜合應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結(jié)合或者利用相似求長(zhǎng)度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。解這類問題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用三角形的判定方法，兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個(gè)三角形相似；三組邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．答｜題｜技｜巧第一步：認(rèn)真分析題目的已知和求證；第二步：分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；第三步：在應(yīng)用三角形相似的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；第四步：最后把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．例1.（2023·山西）如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．例2.（2023·安徽）圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長(zhǎng)．模型05三角形折疊問題探究考｜向｜預(yù)｜測(cè)與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算該題型近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問題，難度系數(shù)較大。三角形的折疊問題注意折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，在多解題型中，準(zhǔn)確畫出折疊后的圖形是我們解題的關(guān)鍵。結(jié)合三角形相關(guān)的性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題。答｜題｜技｜巧第一步：運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；第二步：在圖形中找到一個(gè)直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x，將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；第三步：利用勾股定理列方程求出x；第四步：進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題.例1．（2023?山東）對(duì)于題目：“如圖，點(diǎn)M，N分別是長(zhǎng)方形ABCD的邊AB和BC上的點(diǎn)，沿MN折疊長(zhǎng)方形ABCD，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若∠MNB′與∠CNB′兩個(gè)角之差的絕對(duì)值為45°，確定∠BNM的所有度數(shù)．”甲的結(jié)論是∠BNM＝45°，乙的結(jié)論是∠BNM＝60°．下列判斷正確的是（）A．甲的結(jié)論正確 B．乙的結(jié)論正確 C．甲、乙的結(jié)論合在一起才正確 D．甲、乙的結(jié)論合在一起也不正確例2．（2023?湖北）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿著AD翻折，得到△ADE，AE交BC于點(diǎn)F．若AE⊥BC，點(diǎn)D到AB的距離等于（）A．DF B．DB C．DC D．CF模型06三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）考｜向｜預(yù)｜測(cè)三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，本專題重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。答｜題｜技｜巧第一步：找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心；第二步：確定以旋轉(zhuǎn)中心為頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角所在的兩個(gè)三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；第三步：學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題；第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答例1．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④例2．（2023·湖南）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的中點(diǎn)，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關(guān)系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長(zhǎng)；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△BDE，當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出EC的長(zhǎng)．1.（2022?廣東）如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，點(diǎn)M在線段CD上，且MN⊥CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，則∠N的度數(shù)為（）A．22° B．27° C．30° D．37°2．（2023?貴州）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點(diǎn)N，將紙片沿著BN對(duì)折一次使得點(diǎn)A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對(duì)折一次，使得點(diǎn)C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．87° B．84° C．75° D．72°3．（2023?陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④4．（2023?四川）如圖，在直角△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段AN的長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．35.（2023?重慶）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則的長(zhǎng)為．6.（2023·山東）如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長(zhǎng)為．7．（2023·上海）等邊中，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，且，，問是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．8.（2022·安徽）如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．9．（2023?西安）如圖，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝68°，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠BEP的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求∠AEF的度數(shù)．10．（2023?江蘇）已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A、B均不與點(diǎn)O重合．【探究】如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，則∠ABI＝25°．②在點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)過程中，∠AIB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出∠AIB的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．【拓展】如圖2，AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，BC的反向延長(zhǎng)線交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．在點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)過程中，∠ADB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，直接寫出∠ADB的度數(shù)；若變化，直接寫出∠ADB的度數(shù)的變化范圍．1．如圖，AE是△ABC的中線，點(diǎn)D是BE上一點(diǎn)，若BD＝5，CD＝9，則CE的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．82．如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，下列結(jié)論不一定成立的是（）A．BC＝2CE B． C．∠AFB＝90° D．AE＝CE3．如圖，在△ABC中，AF是高，AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∠C＝60°，則∠DAF的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．30°4．（2023?大同）如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，則∠BPC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°5．（2023·江蘇）如圖，在中，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，則（）A． B． C． D．6．（2023·廣東）如圖，在等邊三角形中，E為上一點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線交于點(diǎn)F，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作垂足為G，如，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于O，將沿（E在上，F(xiàn)在上）折疊，點(diǎn)C與O點(diǎn)恰好重合，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為6，D是的中點(diǎn)，E是邊上的一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．（2023·四川）如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在同側(cè)分別作正三角形和正三角形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：；；；連接，則．恒成立的結(jié)論有（）A． B． C． D．10．添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一點(diǎn)，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面積．同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在BD上截取BF＝DE，（如圖2）．同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得△BDE的面積為．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠BAE＝∠CAD，連接DE．下列結(jié)論中正確的是