數列第六章第3講等比數列及其前n項和【考綱導學】1．理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式．2．能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．3．了解等比數列與指數函數的關系．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷12

同一個公比q

等比中項a1qn－1

am·an

遞增遞減常數列qm

qn

1．等比數列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數列{lgan}的前8項和等于(

)A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】數列{lgan}的前8項和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.故選C．2．已知{an}為等比數列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10等于(

)A．7

B．5

C．－5 D．－7【答案】D【答案】C4．(教材習題改編)在9與243中間插入兩個數，使它們同這兩個數成等比數列，則這兩個數為________．【答案】27,81【解析】設該數列的公比為q，由題意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的兩個數分別為9×3＝27，27×3＝81.1．特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.3．在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數列(例如：當公比q＝－1且n為偶數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數列；當q≠－1或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)總成立．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×課堂考點突破2等比數列的基本運算【考向分析】等比數列的基本運算是高考的常考內容，題型既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中、低檔題．常見的考向有：(1)求首項a1，公比q或項數n；(2)求通項或特定項；(3)求前n項和．【答案】(1)C

(2)6求首項a1，公比q或項數n【答案】(1)4

(2)2n求通項或特定項【答案】(1)2n－1

(2)28求前n項和等比數列的判定與證明

設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設bn＝an＋1－2an，求證：數列{bn}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式．【規律方法】(1)證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可．(2)利用遞推關系時要注意對n＝1時的情況進行驗證．等比數列的性質及應用【規律方法】(1)在等比數列的基本運算問題中，一般利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但如果能靈活運用等比數列的性質“若m＋n＝p＋q，則有aman＝apaq”，可以減少運算量．(2)等比數列的項經過適當的組合后構成的新數列也具有某種性質，例如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數列，公比為qk(Sk≠0)．【答案】(1)A

(2)C課后感悟提升32個防范——應用等比數列的公比應注意的問題(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.(2)在應用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1和q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情況而導致錯誤．1．(2016年天津)設{an}是首項為正數的等比數列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0”的(

)A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意得，a2n－1＋a2n<