不等式、推理與證明第七章第3講基本不等式及其應用【考綱導學】1．了解基本不等式的證明過程．2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷1a>0，b>0

a＝b

2ab

2

兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數x＝y

小x＝y

大1．(教材習題改編)設x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(

)A．80

B．77

C．81

D．82【答案】C【答案】D【答案】C【答案】C5．(教材習題改編)一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，則這個矩形的長為________m，寬為________m時菜園面積最大．【答案】15

7.51．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可．2．“當且僅當a＝b時等號成立”的含義是“a＝b”是等號成立的充要條件．這一點至關重要，忽略它往往會導致解題錯誤．3．連續使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×課堂考點突破2物理【規律方法】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉換．常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數或加上一個數，“1”的代換法等．利用基本不等式求最值【考向分析】利用基本不等式求解函數的最值是高考常見的問題，經常以選擇題或填空題的形式出現，難度不大．常見的考向有：(1)配湊法求最值；(2)常數代換或消元法求最值．配湊法求最值

(1)若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________．【答案】(1)5

(2)－2常數代換或消元法求最值【規律方法】(1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數；“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值；“三相等”是指滿足等號成立的條件．(2)在利用基本不等式求最值時，要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值．基本不等式在實際問題中的應用【答案】(1)1900

(2)100【規律方法】對實際問題，在審題和建模時一定不可忽略對目標函數定義域的準確挖掘．一般地，每個表示實際意義的代數式必須為正，由此可得自變量的范圍，然后再利用基本不等式求最值．【跟蹤訓練】2．要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是(

)A．80元 B．120元C．160元 D．240元【答案】C【解析】設底面矩形的長和寬分別為am，bm，則ab＝4.容器的總造價為20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160(元)，當且僅當a＝b時取等號．故選C．課后感悟提升33個注意點——利用基本不等式求最值應注意的問題(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可．(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．(3)連續使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．【答案】(2，＋∞)【解析】將方程組中的(1)式化簡得y＝1－ax，代入(2)式整理得(1－ab)x＝1－b，方程組無解，應