工程數學復變函數與積分變換1第1頁主要意義數學理論處理實際問題信號與系統（復變函數）數字信號處理（積分變換）電磁場理論（數理方程）培養推理、歸納、演繹和創新能力2第2頁復變函數與積分變換主要內容復變函數內容與高等數學相對應復數、復函數、復導數、復積分、級數新添內容留數和保形映射積分變換高等數學內容傅立葉變換新添內容離散傅立葉變換、離散沃而什變換、梅林變換、z變換3第3頁主要要求按時完成作業學習態度認真深入領會數學理論掌握并能利用數學理論和方法處理實際問題成績平時30％－40％期末考試60％－70％4第4頁復變函數5第5頁復變函數發展史十六世紀引入十七和十八世紀，復變函數得到了發展J.達朗貝爾（1717－1783）和L.歐拉（1707－1783）逐步說明了復數幾何意義和物理意義，澄清了復數概念，并應用復數和復變函數研究流體力學十九世紀，奠定了復變函數理論基礎A.L.柯西（1789－1857）和K.外爾斯特拉斯（1815－1897）應用積分和級數來研究復變函數G.F.B.黎曼（1826－1866）研究了復變函數映照性質二十世紀，復變函數稱為數學主要分支應用領域不停擴展電學、熱學、理論物理、空氣動力學、流體力學數學其它分支（如微分方程、積分方程、概率論和數論等等）6第6頁主要內容第一章、復數與復變函數第二章、解析函數第三章、復變函數積分第四章、級數第五章、留數7第7頁第一章、復數與復變函數8第8頁主要內容1.1復數概念與運算1.2復變函數9第9頁1.1復數概念與運算主要內容：1、復數及其代數運算2、復數幾何表示3、復數四則運算幾何意義4、復球面5、復數乘冪與方根10第10頁1、復數及其代數運算什么是復數？稱為復數實部虛部虛數單位x=Re(z)y=Im(z)稱為純虛數稱為實數11第11頁1、復數及其代數運算兩個復數相等條件；當且僅當實部與虛部分別相等一個復數等于零條件：當且僅當實部與虛部同時等于零共軛復數：x+iy和x–iy記做12第12頁代數運算復數和、差、積、商對復數和：和、差：乘法：除法：13第13頁代數運算算律：交換律：結合律：分配律：14第14頁2、復數代數運算復數慣用運算（1）（2）（3）若，則與最少有一個為零證實：若（4）15第15頁代數運算舉例：例1：例2：求證：16第16頁代數運算共軛復數運算性質：（1）（2）（3）（4）17第17頁2、復數幾何表示實數（x,y）與x軸和y軸組成二維實數平面一一對應那么復數呢？復數由一對有序實數（x，y）唯一確定x軸上點對應實數，所以x軸被稱為實軸y軸上點對應虛數，所以y軸被稱為虛軸

表示復數z平面被稱為復平面或z平面復數z=x+iy能夠用橫坐標為x，縱坐標為y點來表示復數第一個表示方法18第18頁2、復數幾何表示復數z與從原點O到z=x+iy所引向量組成一一對應關系復數z=x+iy能夠用向量來表示復數第二種表示方法Oxyz＝x+iyargz|z||z|：向量z長度，稱為復數z模Argz：由實軸正向到向量之間夾角，稱為復數z幅角19第19頁復數模復數模|z|性質：（1）（2）（3）（4）（5）（6）Oxy|z1+z2||z1-z2|z1z220第20頁復數模求證所以：21第21頁復數模求證當時：有：當時，同理有：所以：22第22頁復數幅角Argz有沒有窮多個值，每兩個值相差2整數倍只有一個值在（，]范圍內，該值被稱為主值，記做argzArgz＝argz＋2k（）tan(Argz)=當z＝0時，z模值為0，幅角不定23第23頁復數幅角例5：求Arg（2－2i）和Arg（－3＋4i）24第24頁3、復數四則運算幾何意義依據直角坐標系和極坐標系關系可得復數z三角表示式：依據歐拉公式：可得復數z指數表示式：25第25頁3、復數四則運算幾何意義定理1－1：兩個復數乘積模等于它們模乘積； 兩個復數乘積幅角等于它們幅角和即：例7：z1=-1,z2=i,求Arg（z1z2）＝？表示集合相等，即對等式左端任一值，等式右端必有一值與之對應，反之亦然對兩個非零復數：Oxy|z1+z2|z1z226第26頁3、復數四則運算幾何意義定理1－2：兩個復數商模等于它們模商； 兩個復數商幅角等于它們被除數與除數幅角差即：對兩個非零復數：用指數表示式計算復數乘積與商，可得：27第27頁3、復數四則運算幾何意義例8：z1=1+i,z2＝－1－i,求z1z2，z1/z228第28頁3、復數四則運算幾何意義因為所以：當增加或降低時，z點沿圓周移動一圈回到出發點，所以，二者表示同一個復數OxyOxyzz029第29頁O4、復球面（1）復數球面表示NzPZ：復平面上任意一點N：球面與垂直于復平面射線交點P：z和N連線與球面交點（異于N）或者說，過N和球面上異于N任意一點P直線，與復平面交與一點z所以，球面上點P與復平面上點z一一對應，即 復數能夠用球面上點表示30第30頁4、復球面（2）擴充復平面當P點無限迫近于N點時復平面上沒有復數與之對應z點無限遠離原點：該點就被稱為“無窮遠點”包含了無窮遠點在內平面稱為擴充復平面為了使擴充復平面點與球面上點一一對應，要求“無窮遠點”是唯一無特殊情況，只考慮有限復數及復平面31第31頁4、復球面（3）復數不等于0有限復數與運算為：那么關于，，以及運算呢？無意義！32第32頁5.復數乘冪與方根主要內容：復數乘冪復數方根33第33頁（1）復數乘冪n為正整數n為正整數約定，所以n為負整數定義，所以：數學歸納法34第34頁（1）復數乘冪

當r=1時，則上述公式變為：即：棣莫弗（DeMoivre)公式35第35頁2、復數方根稱滿足方程復數為該方程n次方根 記做，即，或是記做，此時求解該方程：設，則：36第36頁2、復數方根所以，復數方根為：復數方根幾何意義當時能夠得到n