河南省安陽市林州市林濾中學2025屆高三下學期適應性訓練（六）數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《周易》歷來被人們視作儒家群經之首，它表現了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數的思想方法．我們用近代術語解釋為：把陽爻“-”當作數字“1”，把陰爻“--”當作數字“0”，則八卦所代表的數表示如下：卦名符號表示的二進制數表示的十進制數坤0000震0011坎0102兌0113依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進制數是（）A．18 B．17 C．16 D．152．函數圖像可能是（）A． B． C． D．3．函數的對稱軸不可能為（）A． B． C． D．4．給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④5．2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數字為莖，個位數字為葉）.若甲隊得分的中位數是86，乙隊得分的平均數是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．126．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內一點，且，則（）A． B． C． D．7．如圖網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）A． B． C． D．8．設等差數列的前項和為，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．79．函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，并且函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則實數的值為（）A． B． C．2 D．10．如果直線與圓相交，則點與圓C的位置關系是（）A．點M在圓C上 B．點M在圓C外C．點M在圓C內 D．上述三種情況都有可能11．已知數列對任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．12．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線是曲線的一條切線為自然對數的底數)，則實數__________.14．函數的定義域是__________．15．的展開式中，的系數為_______（用數字作答）.16．已知函數，令，，若，表示不超過實數的最大整數，記數列的前項和為，則_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于、兩點，與相交于、兩點，且與同向，設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）為上的動點，、為長軸的兩個端點，過點作的平行線交橢圓于點，過點作的平行線交橢圓于點，請問的面積是否為定值，并說明理由.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設點的極坐標為，直線與曲線的交點為，求的值.19．（12分）已知.（1）若曲線在點處的切線也與曲線相切，求實數的值；（2）試討論函數零點的個數.20．（12分）設前項積為的數列，（為常數），且是等差數列.（Ｉ）求的值及數列的通項公式；（Ⅱ）設是數列的前項和，且，求的最小值.21．（12分）在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，已知橢圓的右焦點為，，為橢圓上的兩個動點，周長的最大值為8.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）直線經過，交橢圓于點，，直線與直線的傾斜角互補，且交橢圓于點，，，求證：直線與直線的交點在定直線上.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進制數字010001，將其轉化為十進制數即可.【詳解】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數字010001，轉化為十進制數的計算為1×20+1×24=1．故選：B．【點睛】本題主要考查數制是轉化，新定義知識的應用等，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2．D【解析】

先判斷函數的奇偶性可排除選項A,C，當時，可分析函數值為正，即可判斷選項.【詳解】,,即函數為偶函數，故排除選項A,C，當正數越來越小，趨近于0時，，所以函數，故排除選項B,故選：D【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性，識別函數的圖象，屬于中檔題.3．D【解析】

由條件利用余弦函數的圖象的對稱性，得出結論．【詳解】對于函數，令，解得，當時，函數的對稱軸為，，.故選：D.【點睛】本題主要考查余弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．4．D【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質和判定定理對四個命題分別分析進行選擇．【詳解】當兩個平面相交時，一個平面內的兩條直線也可以平行于另一個平面，故①錯誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，是中檔題．5．D【解析】

中位數指一串數據按從小（大）到大（小）排列后，處在最中間的那個數，平均數指一串數據的算術平均數.【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數為，故；乙的平均數為，解得，所以.故選：D.【點睛】本題考查莖葉圖的應用，涉及到中位數、平均數的知識，是一道容易題.6．D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數量積的運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.7．C【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AD，算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為故選：C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關鍵，屬于基礎題.8．B【解析】

根據題意，解得，，得到答案.【詳解】，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了等差數列的求和，意在考查學生的計算能力.9．C【解析】由函數的圖象向右平移個單位得到，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，可得時，取得最大值，即，，，當時，解得，故選C.點睛：本題主要考查了三角函數圖象的平移變換和性質的靈活運用，屬于基礎題；據平移變換“左加右減，上加下減”的規律求解出，根據函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減可得時，取得最大值，求解可得實數的值.10．B【解析】

根據圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即．也就是點到圓的圓心的距離大于半徑．即點與圓的位置關系是點在圓外．故選：【點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質，考查點到直線距離公式的應用，屬于中檔題．11．B【解析】

觀察已知條件，對進行化簡，運用累加法和裂項法求出結果.【詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時相加得，又因為，所以.故選：【點睛】本題考查了求數列某一項的值，運用了累加法和裂項法，遇到形如時就可以采用裂項法進行求和，需要掌握數列中的方法，并能熟練運用對應方法求解.12．A【解析】

首先找出與面所成角，根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據同角三角函數關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據切線的斜率為，利用導數列方程，由此求得切點的坐標，進而求得切線方程，通過對比系數求得的值.【詳解】，則，所以切點為，故切線為，即，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導數求解曲線的切線方程有關問題，屬于基礎題.14．【解析】由，得，所以，所以原函數定義域為，故答案為.15．60【解析】

根據二項式定理展開式通項，即可求得的系數.【詳解】因為，所以，則所求項的系數為.故答案為：60【點睛】本題考查了二項展開式通項公式的應用，指定項系數的求法，屬于基礎題.16．4【解析】

根據導數的運算，結合數列的通項公式的求法，求得，，，進而得到，再利用放縮法和取整函數的定義，即可求解.【詳解】由題意，函數，且，，可得，，又由，可得為常數列，且，數列表示首項為4，公差為2的等差數列，所以，其中數列滿足，所以，所以，又由，可得數列的前n項和為，數列的前n項和為，所以數列的前項和為，滿足，所以，即，又由表示不超過實數的最大整數，所以.故答案為：4.【點睛】本題主要考查了函數的導數的計算，以及等差數列的通項公式，累加法求解數列的通項公式，以及裂項法求數列的和的綜合應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【解析】

（1）根據兩個曲線的焦點相同，得到，再根據與的公共弦長為得出，可求出和的值，進而可得出曲線的方程；（2）設點，根據導數的幾何意義得到曲線在點處的切線方程，求出點的坐標，利用向量的數量積得出，則問題得以證明；（3）設直線，直線，、、，推導出以及，求出和，通過化簡計算可得出為定值，進而可得出結論.【詳解】（1）由知其焦點的坐標為，也是橢圓的一個焦點，，①又與的公共弦的長為，與都關于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，，②聯立①②，得，，故的方程為；（2）如圖，，由得，在點處的切線方程為，即，令，得，即，，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.故直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）設直線，直線，、、，則，設向量和的夾角為，則的面積為，由，可得，同理可得，故有.又，故，則，因此，的面積為定值.【點睛】本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關系，考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解，關鍵是聯立方程，構造方程，利用韋達定理，以及向量的關系，得到關于斜率的方程，計算量大，屬于難題．18．（1）（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標方程為直角坐標方程；（2）把點極坐標化為直角坐標，直線的參數方程是過定點的標準形式，因此直接把參數方程代入曲線的方程，利用參數的幾何意義求解．【詳解】解：（1），則，∴，所以曲線的直角坐標方程為，即（2）點的直角坐標為，易知.設對應參數分別為將與聯立得【點睛】本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線參數方程，解題時可利用利用參數方程的幾何意義求直線上兩點間距離問題．19．（1）（2）答案不唯一具體見解析【解析】

（1）利用導數的幾何意義，設切點的坐標，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質為同一條，從而得到方程組，再構造函數研究其最大值，進而求得；（2）對函數進行求導后得，對分三種情況進行一級討論，即，，，結合函數圖象的單調性及零點存在定理，可得函數零點情況.【詳解】解:（1）曲線在點處的切線方程為，即.令切線與曲線相切于點，則切線方程為，∴，∴，令，則，記，于是，在上單調遞增，在上單調遞減，∴，于是，.（2），①當時，恒成立，在上單調遞增，且，∴函數在上有且僅有一個零點；②當時，在R上沒有零點；③當時，令，則，即函數的增區間是，同理，減區間是，∴.ⅰ）若，則，在上沒有零點；ⅱ）若，則有且僅有一個零點；ⅲ）若，則.，令，則，∴當時，單調遞增，.∴又∵，∴在R上恰有兩個零點，綜上所述，當時，函數沒有零點；當或時，函數恰有一個零點；當時，恰有兩個零點.【點睛】本題考查導數的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解切線有關問題時，一定要明確切點坐標.以導數為工具，研究函數的圖象特征及性質，從而得到函數的零點個數，此時如果用到零點存在定理，必需說明在區間內單調且找到兩個端點值的函數值相乘小于0，才算完整的解法.20．（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當時，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據是等差數列.求解.（Ⅱ），根據前n項和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當時，，所以，即，所以.因為是等差數列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以數列是遞增數列，所以，即.【點睛】本題主要考查等差數列的定義，前n項和以及數列的增減性，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）首先證明，，，∴平