2025屆安徽省合肥市廬江第三中學高考數學試題模擬題及解析（天津卷）注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知角的終邊經過點P()，則sin()=A． B． C． D．2．在平面直角坐標系中，銳角頂點在坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．3．對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發芽，也可能2天后發芽，….下表是20顆不同種子發芽前所需培育的天數統計表，則這組種子發芽所需培育的天數的中位數是()發芽所需天數1234567種子數43352210A．2 B．3 C．3.5 D．44．集合，，則=()A． B．C． D．5．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．76．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π7．若不相等的非零實數，，成等差數列，且，，成等比數列，則（）A． B． C．2 D．8．已知復數z滿足（i為虛數單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．9．已知函數，若，則的值等于（）A． B． C． D．10．設函數的導函數，且滿足，若在中，，則（）A． B． C． D．11．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．312．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．14．若關于的不等式在上恒成立，則的最大值為__________．15．在三棱錐中，，，兩兩垂直且，點為的外接球上任意一點，則的最大值為______.16．已知向量，，，若，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數．（1）解不等式；（2）若函數存在零點，求的求值范圍．18．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）討論零點的個數.19．（12分）已知函數的導函數的兩個零點為和．（1）求的單調區間；（2）若的極小值為，求在區間上的最大值．20．（12分）據《人民網》報道，美國國家航空航天局（NASA）發文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛星資料顯示中國和印度的行動主導了地球變綠.據統計，中國新增綠化面積的來自于植樹造林，下表是中國十個地區在去年植樹造林的相關數據.（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復、人工更新的面積之和）單位：公頃地區造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復人工更新內蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）請根據上述數據分別寫出在這十個地區中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區；（2）在這十個地區中，任選一個地區，求該地區新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率；（3）在這十個地區中，從退化林修復面積超過一萬公頃的地區中，任選兩個地區，記X為這兩個地區中退化林修復面積超過六萬公頃的地區的個數，求X的分布列及數學期望.21．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規則轉換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到如下的統計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）雙超中學規定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執教2個選修班（當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？（2）請創建列聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其熱門人文專業的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備高校專業報名資格的人數為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.22．（10分）如圖，在中，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）若，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

由題意可得三角函數的定義可知：，，則：本題選擇A選項.2．A【解析】

根據單位圓以及角度范圍，可得，然后根據三角函數定義，可得，最后根據兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據三角函數的定義：所以由所以故選：A【點睛】本題考查三角函數的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點在于公式的計算，識記公式，簡單計算，屬基礎題.3．C【解析】

根據表中數據，即可容易求得中位數.【詳解】由圖表可知，種子發芽天數的中位數為，故選：C.【點睛】本題考查中位數的計算，屬基礎題.4．C【解析】

先化簡集合A,B，結合并集計算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．【點睛】本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關鍵化簡集合A,B，難度較?。?．D【解析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數量積．【詳解】在中，，，，點滿足，可得則==【點睛】本題考查了向量的數量積運算，關鍵是利用基向量表示所求向量．6．C【解析】

兩函數的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.7．A【解析】

由題意，可得，，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【詳解】由，，成等差數列，所以，又，，成等比數列，所以，消去得，所以，解得或，因為，，是不相等的非零實數，所以，此時，所以．故選：A【點睛】本題考查了等差等比數列的綜合應用，考查了學生概念理解，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.8．D【解析】

根據復數z滿足，利用復數的除法求得，再根據復數的概念求解.【詳解】因為復數z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.【點睛】本題主要考查復數的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.9．B【解析】

由函數的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數，也為奇函數∴也為奇函數∴故選：B【點睛】函數奇偶性的運用即得結果，小記，定義域關于原點對稱時有：①奇函數±奇函數=奇函數；②奇函數×奇函數=偶函數；③奇函數÷奇函數=偶函數；④偶函數±偶函數=偶函數；⑤偶函數×偶函數=偶函數；⑥奇函數×偶函數=奇函數；⑦奇函數÷偶函數=奇函數10．D【解析】

根據的結構形式，設，求導，則，在上是增函數，再根據在中，，得到，，利用余弦函數的單調性，得到，再利用的單調性求解.【詳解】設，所以，因為當時，，即，所以，在上是增函數，在中，因為，所以，，因為，且，所以，即，所以，即故選：D【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.11．D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優解,代入到目標函數,即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數為直線方程的斜截式,.由圖可知當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數轉化為的形式,在可行域內通過平移找到最優解,將最優解帶回到目標函數即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.12．B【解析】

計算求半徑為，再計算球體積和圓錐體積，計算得到答案.【詳解】如圖所示：設球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程，結合題意可求得正實數的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數，考查計算能力，屬于基礎題.14．【解析】

分類討論，時不合題意；時求導，求出函數的單調區間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉化為函數最小值，化簡得，構造放縮函數對自變量再研究，可解,【詳解】令；當時，，不合題意；當時，，令，得或，所以在區間和上單調遞減.因為，且在區間上單調遞增，所以在處取極小值，即最小值為.若，，則，即.當時，，當時，則.設，則.當時，；當時，，所以在上單調遞增；在上單調遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立問題.不等式恒成立問題的求解思路：已知不等式(為實參數)對任意的恒成立，求參數的取值范圍．利用導數解決此類問題可以運用分離參數法;如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數與判別式的方法(,或，)求解．15．【解析】

先根據三棱錐的幾何性質，求出外接球的半徑，結合向量的運算，將問題轉化為求球體表面一點到外心距離最大的問題，即可求得結果.【詳解】因為兩兩垂直且，故三棱錐的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對角線的中點，如下圖所示：容易知外接球半徑為.設線段的中點為，故可得，故當取得最大值時，取得最大值.而當在同一個大圓上，且，點與線段在球心的異側時，取得最大值，如圖所示：此時，故答案為：.【點睛】本題考查球體的幾何性質，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數量積運算，屬綜合性困難題.16．-1【解析】

由向量垂直得向量的數量積為0，根據數量積的坐標運算可得結論．【詳解】由已知，∵，∴，．故答案為：－1．【點睛】本題考查向量垂直的坐標運算．掌握向量垂直與數量積的關系是解題關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）或；（2）．【解析】

（1）通過討論的范圍，將絕對值符號去掉，轉化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）將函數零點問題轉化為曲線交點問題解決，數形結合得到結果.【詳解】（1）有題不等式可化為，當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，解得，不滿足，舍去；當時，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因為，所以若函數存在零點則可轉化為函數與的圖像存在交點，函數在上單調增，在上單調遞減，且.數形結合可知．【點睛】該題考查的是有關不等式的問題，涉及到的知識點有分類討論求絕對值不等式的解集，將零點問題轉化為曲線交點的問題來解決，數形結合思想的應用，屬于簡單題目.18．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)求導后分析導函數的正負再判斷單調性即可.(2),有零點等價于方程實數根,再換元將原方程轉化為,再求導分析的圖像數形結合求解即可.【詳解】（1）的定義域為,,當時,,所以在單調遞減；當時,,所以在單調遞增,所以的減區間為,增區間為.（2）,有零點等價于方程實數根,令則原方程轉化為,令,.令,,∴,,,,,當時,,當時,.如圖可知①當時,有唯一零點,即有唯一零點；②當時,有兩個零點,即有兩個零點；③當時,有唯一零點,即有唯一零點；④時,此時無零點,即此時無零點.【點睛】本題主要考查了利用導數分析函數的單調性的方法,同時也考查了利用導數分析函數零點的問題,屬于中檔題.19．（1）單調遞增區間是，單調遞減區間是和；（2）最大值是．【解析】

（1）求得，由題意可知和是函數的兩個零點，根據函數的符號變化可得出的符號變化，進而可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；（2）由（1）中的結論知，函數的極小值為，進而得出，解出、、的值，然后利用導數可求得函數在區間上的最大值.【詳解】（1），令，因為，所以的零點就是的零點，且與符號相同．又因為，所以當時，，即；當或時，，即.所以，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是和；（2）由（1）知，是的極小值點，所以有，解得，，，所以．因為函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是和.所以為函數的極大值，故在區間上的最大值取和中的最大者，而，所以函數在區間上的最大值是．【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區間與最值，考查計算能力，屬于中等題.20．（1）人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區為青海??；（2）；（3）分布列見詳解，數學期望為【解析】

（1）通過數據的觀察以及計算人工造林面積與造林總面積比值，可得結果.（2）通過數據的觀察以及計算新封山育林面積與造林總面積比值，得出比值超過的地區個數，然后可得結果.（3）計算退化林修復面積超過一萬公頃的地區中選兩個地區總數，退化林修復面積超過六萬公頃的地區的個數為，列出所有取值并計算相應概率，然后可得結果.【詳解】（1）人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區為青海省.（2）記事件A：在這十個地區中，任選一個地區，該地區新封山育林面積占總面積的比值超過根據數據可知：青海地區人工造林面積占總面積比超過，則（3）退化林修復面積超過一萬公頃有6個地區：內蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆，其中退化林修復面積超過六萬公頃有3個地區：內蒙、河北、重慶，所以X的取值為0，1，2所以，，隨機變量X的分布列如下：【點睛】本題考查數據的處理以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，審清題意，細心計算，屬基礎題.21．（1）不需調整（2）列聯表見解析；有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關（3）詳見解析【解析】

（1）可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2，推理得對應開設選修班的數目分別為15，1．推理知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整．（2）根據列聯表計算觀測值，根據臨界值表可得結論．（3）經統計，樣本