2025屆湛江市重點中學高三數學試題理下學期綜合練習注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，，若對，且，使得，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．2．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．某醫院擬派2名內科醫生、3名外科醫生和3名護士共8人組成兩個醫療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內科醫生、外科醫生和護士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種4．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．5．已知函數，要得到函數的圖象，只需將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度6．設點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數t的值為（）A． B． C． D．7．關于函數在區間的單調性，下列敘述正確的是（）A．單調遞增 B．單調遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減8．如圖，在中，點，分別為，的中點，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．9．已知數列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（）A． B． C． D．10．已知F是雙曲線（k為常數）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．211．下圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．12．根據黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農業經濟部門派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的漸近線上存在點滿足，則的最大值為________．14．（5分）在平面直角坐標系中，過點作傾斜角為的直線，已知直線與圓相交于兩點，則弦的長等于____________．15．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數的單調增區間是____；最大值為____.16．能說明“在數列中，若對于任意的，，則為遞增數列”為假命題的一個等差數列是______.（寫出數列的通項公式）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓（）的離心率為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于不同的兩點，，試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關于軸對稱？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.18．（12分）已知關于的不等式有解.（1）求實數的最大值；（2）若，，均為正實數，且滿足.證明：.19．（12分）已知函數（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，，證明：．20．（12分）已知，求的最小值.21．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）證明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直線AD與平面APC所成角的正弦值．22．（10分）某貧困地區幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區邊界曲線為，設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.（1）當為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先求出的值域，再利用導數討論函數在區間上的單調性，結合函數值域，由方程有兩個根求參數范圍即可.【詳解】因為，故，當時，，故在區間上單調遞減；當時，，故在區間上單調遞增；當時，令，解得，故在區間單調遞減，在區間上單調遞增.又，且當趨近于零時，趨近于正無窮；對函數，當時，；根據題意，對，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用導數研究由方程根的個數求參數范圍的問題，涉及利用導數研究函數單調性以及函數值域的問題，屬綜合困難題.2、C【解析】

由余弦函數的單調性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數在區間上單調遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數的單調性、大角對大邊以及正弦定理的應用，考查推理能力，屬于中等題.3、B【解析】

根據條件2名內科醫生，每個村一名，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，根據排列組合進行計算即可．【詳解】2名內科醫生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.【點睛】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于?？碱}型.4、C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內的點到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標原點的距離最大，即．故選：．【點睛】本題考查線性規劃問題，考查數形結合的數學思想以及運算求解能力，屬于基礎題．5、A【解析】

根據函數圖像平移原則，即可容易求得結果.【詳解】因為，故要得到，只需將向左平移個單位長度.故選：A.【點睛】本題考查函數圖像平移前后解析式的變化，屬基礎題.6、C【解析】

設，求，作為的函數，其最小值是6，利用導數知識求的最小值．【詳解】設，則，記，，易知是增函數，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點睛】本題考查導數的應用，考查用導數求最值．解題時對和的關系的處理是解題關鍵．7、C【解析】

先用誘導公式得,再根據函數圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點睛】本題考查三角函數的平移與單調性的求解.屬于基礎題.8、D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進行運算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查向量的數量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明確，易于操作．9、D【解析】

利用數列的遞推關系式判斷求解數列的通項公式，然后求解數列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】當時，．所以數列從第2項起為等差數列，，所以，，．，，．故選：．【點睛】本題考查數列的遞推關系式的應用、數列求和以及數列的通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．10、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程；當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.11、D【解析】

根據以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查二倍角公式，屬于基礎題.12、A【解析】

每個縣區至少派一位專家，基本事件總數，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位專家基本事件總數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設，由可得，整理得，即點在以為圓心，為半徑的圓上．又點到雙曲線的漸近線的距離為，所以當雙曲線的漸近線與圓相切時，取得最大值，此時，解得．14、【解析】

方法一：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡得，解得或，從而得或，則．方法二：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡得，設，則，故.方法三：將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離，則.15、(或寫成)【解析】試題分析：設，取中點則,因此,所以，因為在單調遞增，最大值為所以單調增區間是，最大值為考點：函數最值，函數單調區間16、答案不唯一，如【解析】

根據等差數列的性質可得到滿足條件的數列.【詳解】由題意知，不妨設，則，很明顯為遞減數列，說明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【點睛】本題考查對等差數列的概念和性質的理解，關鍵是假設出一個遞減的數列，還需檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解析】

（1）由題得a,b,c的方程組求解即可（2）直線與直線恰關于軸對稱，等價于的斜率互為相反數，即，整理.設直線的方程為，與橢圓聯立，將韋達定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得，，又，解得，.所以，橢圓的方程為(2)存在定點，滿足直線與直線恰關于軸對稱.設直線的方程為，與橢圓聯立，整理得，.設，，定點.(依題意則由韋達定理可得，，.直線與直線恰關于軸對稱，等價于的斜率互為相反數.所以，，即得.又，，所以，，整理得，.從而可得，，即，所以，當，即時，直線與直線恰關于軸對稱成立.特別地，當直線為軸時，也符合題意.綜上所述，存在軸上的定點，滿足直線與直線恰關于軸對稱.【點睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關系，熟記橢圓方程簡單性質，熟練轉化題目條件，準確計算是關鍵，是中檔題.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）由題意，只需找到的最大值即可；（2），構造并利用基本不等式可得，即.【詳解】（1），∴的最大值為4.關于的不等式有解等價于，（?。┊敃r，上述不等式轉化為，解得，（ⅱ）當時，上述不等式轉化為，解得，綜上所述，實數的取值范圍為，則實數的最大值為3，即.（2）證明：根據（1）求解知，所以，又∵，，，，，當且僅當時，等號成立，即，∴，所以，.【點睛】本題考查絕對值不等式中的能成立問題以及綜合法證明不等式問題，是一道中檔題.19、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將原不等式轉化為，構造函數，求得的最大值即可；

（2）首先通過求導判斷的單調區間，考查兩根的取值范圍，再構造函數，將問題轉化為證明，探究在區間內的最大值即可得證．【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，，令，得，在上單調遞增，在上單調遞減，，的取值范圍是；（2）證明：不妨設，當時，單調遞增，當時，單調遞減，，當時，，，要證，即證，由在上單調遞增，只需證明，由，只需證明，令，，只需證明，易知，由，故，，從而在上單調遞增，由，故當時，，故，證畢．【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性，最值等，關鍵是要對問題進行轉化，比如把恒成立問題轉化為最值問題，把根的個數問題轉化為圖像的交點個數，進而轉化為證明不等式的問題，屬難題．20、【解析】

討論和的情況，然后再分對稱軸和區間之間的關系，最后求出最小值【詳解】當時，，它在上是減函數故函數的最小值為當時，函數的圖象思維對稱軸方程為當時，，函數的最小值為當時，，函數的最小值為當時，，函數的最小值為綜上，【點睛】本題主要考查了二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題。21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．【解析】

(I)取的中點,連接,通過證明平面得出;(II)以為原點建立坐標系，求出平面的法向量，通過計算與的夾角得出與平面所成角．【詳解】（I）證明：取AC的中點M，連接PM，BM，∵AB＝BC，PA＝PC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，∴AC⊥平面PBM，∵BP?平面PBM，∴AC⊥BP．（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，∴∠ABC＝120°，∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，又AC⊥BM，∴BM∥CD．∵PA＝PC，CM，∴PM，∵PB，∴cos∠BMP，∴∠PMB＝120°，以M為原點，以MB，MC的方向為x軸，y軸的正方向，以平