2025屆武漢市武昌區(qū)高考考前模擬考試數(shù)學試題理試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．2．已知命題：使成立．則為（）A．均成立 B．均成立C．使成立 D．使成立3．等差數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前項和中最小的是（）A．或 B． C． D．4．已知函數(shù)滿足：當時，，且對任意，都有，則（）A．0 B．1 C．-1 D．5．設點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（）A． B． C． D．6．已知正項數(shù)列滿足：，設，當最小時，的值為()A． B． C． D．7．已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是（）A． B． C． D．8．某工廠利用隨機數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）A．324 B．522 C．535 D．5789．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．1411．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．12．已知整數(shù)滿足，記點的坐標為，則點滿足的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域為，其圖象如圖所示．函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，且當時，．給出下列三個結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個零點；③不等式的解集為．其中，正確結(jié)論的序號是________．14．已知，，且，則最小值為__________．15．若函數(shù)(R，)滿足，且的最小值等于，則ω的值為___________.16．設為銳角，若，則的值為____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是中點，且，.求證：平面；求點到平面的距離.18．（12分）已知，點分別為橢圓的左、右頂點，直線交于另一點為等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于兩點，總使得為銳角，求直線斜率的取值范圍.19．（12分）對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù)，設是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）設其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側(cè)面為等邊三角形，且平面平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的大小；（2）若，且直線與平面所成角為，求的值.22．（10分）已知（1）若，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，且存在滿足，令函數(shù)，試判斷零點的個數(shù)并證明．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位于，結(jié)合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得．2、A【解析】試題分析：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即．考點：全稱命題.3、C【解析】

設公差為，則由題意可得，解得，可得.令

，可得

當時，，當時，，由此可得數(shù)列前項和中最小的.【詳解】解：等差數(shù)列中，已知，且，設公差為，

則，解得

，.

令

，可得，故當時，，當時，，

故數(shù)列前項和中最小的是.故選：C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于中檔題.4、C【解析】

由題意可知，代入函數(shù)表達式即可得解.【詳解】由可知函數(shù)是周期為4的函數(shù)，.故選：C.【點睛】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)周期的應用，屬于基礎題.5、C【解析】

設，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導數(shù)知識求的最小值．【詳解】設，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點睛】本題考查導數(shù)的應用，考查用導數(shù)求最值．解題時對和的關系的處理是解題關鍵．6、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當且僅當時取得最小值，此時.故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應用，基本不等式求最值，考查了學生的運算求解能力.7、D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù)，運用圖象判斷根的個數(shù)．【詳解】畫出函數(shù)令有兩解，則分別有3個，2個解，故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選：D【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用，分類思想的運用，數(shù)學結(jié)合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題．8、D【解析】

因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:，因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.9、D【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)，設出直線方程，代入拋物線方程，求得k的值，設出雙曲線方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用雙曲線的離心率公式求得e．【詳解】直線F2A的直線方程為：y＝kx，F(xiàn)1（0，），F(xiàn)2（0，），代入拋物線C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），設雙曲線方程為：1，丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，2c＝p，∴離心率e1，故選：D．【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于中檔題．10、A【解析】

設等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎題.11、A【解析】

設為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標系，設，，，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離，，，，轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離，，.故選：A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.12、D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點共有37個，滿足條件的有7個，相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù)，所以所有滿足條件的點是位于圓（含邊界）內(nèi)的整數(shù)點，滿足條件的整數(shù)點有共37個，滿足的整數(shù)點有7個，則所求概率為.故選：.【點睛】本題考查了古典概率的計算，意在考查學生的應用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③【解析】

利用奇函數(shù)和，得出函數(shù)的周期為，由圖可直接判斷①；利用賦值法求得，結(jié)合，進而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)，可判斷②的正誤；采用換元法，結(jié)合圖象即可得解，可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，又，所以，即，所以，函數(shù)的周期為.對于①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，，故①正確；對于②，，令，可得，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的零點為和.因為函數(shù)的周期為，所以函數(shù)在內(nèi)有個零點，分別是、、、、，故②錯誤；對于③，令，則需求的解集，由圖象可知，，所以，故③正確.故答案為：①③.【點睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及奇偶性、周期性和零點等知識點，考查學生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中等題．14、【解析】

首先整理所給的代數(shù)式，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【詳解】，結(jié)合可知原式，且，當且僅當時等號成立.即最小值為.【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．15、1【解析】

利用輔助角公式化簡可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,進而求解即可.【詳解】由題,,因為,,且的最小值等于,即相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的對稱性的應用,考查三角函數(shù)的化簡.16、【解析】

∵為銳角，，∴，∴，，故.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；（2）取中點為,則,證得平面,利用等體積法求解即可.【詳解】（1）因為，，，是的中點，，為直三棱柱，所以平面，因為為中點，所以平面，，又,平面（2），又分別是中點，.由（1）知，,又平面,取中點為,連接如圖,則，平面，設點到平面的距離為，由，得，即，解得，點到平面的距離為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等體積法求點到面的距離；考查邏輯推理能力和運算求解能力；熟練掌握線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是求解本題的關鍵；屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由題意可知：由，求得點坐標，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設直線，代入橢圓方程，由韋達定理，由，由為銳角，則，由向量數(shù)量積的坐標公式，即可求得直線斜率的取值范圍．【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意是等腰直角三角形，，設由得則代入橢圓方程得橢圓的方程為（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率存在，可設方程為設由得由直線與橢圓有兩個不同的交點則即得又為銳角則即②由①②得或故直線斜率可取值范圍是【點睛】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，韋達定理，考查計算能力，屬于中檔題．19、(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，；(Ⅲ)證明見解析，，【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當為偶數(shù)時，最大為，當為奇數(shù)時，最大為，得到答案.(Ⅲ)討論當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故，當為偶數(shù)時，根據(jù)對應關系得到，再計算，，得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.(Ⅱ)當為偶數(shù)時，時，最大為；當為奇數(shù)時，時，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時，最大為.(Ⅲ)當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故；當為偶數(shù)時，設是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【點睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（I）零點分段法，分，，討論即可；（II），分，，三種情況討論.【詳解】原不等式即.當時，化簡得.解得；當時，化簡得.此時無解；當時，化簡得.解得.綜上，原不等式的解集為由題意，設方程兩根為.當時，方程等價于方程.易知當，方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.此時方程在上無解.滿足條件.當時，方程等價于方程，此時方程在上顯然沒有兩個不相等的實數(shù)根.當時，易知當，方程在上有且只有一個實數(shù)根.此時方程在上也有一個實數(shù)根.滿足條件.綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查解絕對值不等式以及方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍，考查學生的運算能力，是一道中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）分別取的中點為，易得兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，易得為平面的法向量，只需求出平面的法向量為，再利用計算即可；（2）求出，利用計算即可.【詳解】（1）分別取的中點為，連結(jié).因為∥，所以∥.因為，所以.因為側(cè)