集合與函數(shù)概念教案典型例題?一、教學目標1.深入理解集合的概念、表示方法及基本運算，能夠熟練運用集合知識解決相關問題。2.全面掌握函數(shù)的概念、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，能準確判斷函數(shù)的各類性質(zhì)并進行相關計算。3.通過典型例題的分析與講解，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、運算能力和運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。二、教學重難點1.重點集合的交、并、補運算。函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，如根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性進行函數(shù)值比較、求解不等式等。2.難點對抽象函數(shù)性質(zhì)的理解與運用。函數(shù)定義域的多種限制條件綜合求解，以及值域的求法，特別是一些復雜函數(shù)值域的確定。三、典型例題講解集合部分例1：集合的基本概念已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<5,x\inN\}\)，求\(A\)與\(B\)的關系。分析：先求解集合\(A\)中的方程\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。集合\(B=\{1,2,3,4\}\)。可以看出集合\(A\)的所有元素都在集合\(B\)中，所以\(A\)是\(B\)的子集，即\(A\subseteqB\)。解答：解方程\(x^23x+2=0\)得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。又\(B=\{1,2,3,4\}\)，故\(A\subseteqB\)。例2：集合的運算設全集\(U=\{x|x\leq9,x\inN^+\}\)，集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{3,4,5,6\}\)，求\(A\capB\)，\(A\cupB\)，\(plement_UA\)，\(plement_UB\)，\((plement_UA)\cap(plement_UB)\)，\((plement_UA)\cup(plement_UB)\)。分析：根據(jù)集合運算的定義來求解。\(A\capB\)是由既屬于\(A\)又屬于\(B\)的所有元素組成的集合。\(A\cupB\)是由屬于\(A\)或者屬于\(B\)的所有元素組成的集合。\(plement_UA\)是在全集\(U\)中不屬于\(A\)的元素組成的集合。\(plement_UB\)同理。\((plement_UA)\cap(plement_UB)=plement_U(A\cupB)\)，\((plement_UA)\cup(plement_UB)=plement_U(A\capB)\)。解答：已知\(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)。\(A\capB=\{3\}\)。\(A\cupB=\{1,2,3,4,5,6\}\)。\(plement_UA=\{4,5,6,7,8,9\}\)。\(plement_UB=\{1,2,7,8,9\}\)。\((plement_UA)\cap(plement_UB)=\{4,5,6,7,8,9\}\cap\{1,2,7,8,9\}=\{7,8,9\}\)。\((plement_UA)\cup(plement_UB)=\{4,5,6,7,8,9\}\cup\{1,2,7,8,9\}=\{1,2,4,5,6,7,8,9\}\)。例3：集合運算的應用某班有學生\(55\)人，其中體育愛好者\(43\)人，音樂愛好者\(34\)人，還有\(zhòng)(4\)人既不愛好體育也不愛好音樂，求該班既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)。分析：設既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為\(x\)人。那么只愛好體育的人數(shù)為\((43x)\)人，只愛好音樂的人數(shù)為\((34x)\)人。根據(jù)全班人數(shù)可列出方程求解。解答：設既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為\(x\)人。則只愛好體育的人數(shù)為\(43x\)，只愛好音樂的人數(shù)為\(34x\)。可列方程\((43x)+(34x)+x+4=55\)。化簡得\(81x=55\)，解得\(x=26\)。所以該班既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為\(26\)人。函數(shù)部分例1：函數(shù)的定義域求函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x2}}+\lg(5x)\)的定義域。分析：對于分式，分母不能為\(0\)；對于根式，根號下的數(shù)要大于\(0\)；對于對數(shù)函數(shù)，真數(shù)要大于\(0\)。綜合這些條件來確定函數(shù)的定義域。解答：要使函數(shù)有意義，則\(\begin{cases}x2>0\\5x>0\end{cases}\)。解不等式\(x2>0\)得\(x>2\)。解不等式\(5x>0\)得\(x<5\)。所以函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\((2,5)\)。例2：函數(shù)的解析式已知\(f(x+1)=x^23x+2\)，求\(f(x)\)的解析式。分析：令\(t=x+1\)，則\(x=t1\)，將其代入已知等式，得到關于\(t\)的表達式，即\(f(t)\)的解析式，進而得到\(f(x)\)的解析式。解答：令\(t=x+1\)，則\(x=t1\)。將\(x=t1\)代入\(f(x+1)=x^23x+2\)中，得\(f(t)=(t1)^23(t1)+2\)。展開\(f(t)=t^22t+13t+3+2=t^25t+6\)。所以\(f(x)=x^25x+6\)。例3：函數(shù)的值域求函數(shù)\(y=x^22x+3\)，\(x\in[1,2]\)的值域。分析：先將函數(shù)配方，得到函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)對稱軸與給定區(qū)間的位置關系，確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值，從而得到值域。解答：\(y=x^22x+3=(x1)^2+2\)，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為\(x=1\)。當\(x=1\)時，\(y\)取得最小值\(y_{min}=2\)。當\(x=1\)時，\(y=(1)^22\times(1)+3=6\)。當\(x=2\)時，\(y=2^22\times2+3=3\)。所以函數(shù)的值域為\([2,6]\)。例4：函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{x+1}{x1}\)在\((1,+\infty)\)上的單調(diào)性，并證明。分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義來判斷，設\(1<x_1<x_2\)，計算\(f(x_1)f(x_2)\)，判斷其正負，若\(f(x_1)f(x_2)>0\)，則函數(shù)單調(diào)遞減；若\(f(x_1)f(x_2)<0\)，則函數(shù)單調(diào)遞增。解答：設\(1<x_1<x_2\)，則\(f(x_1)f(x_2)=\frac{x_1+1}{x_11}\frac{x_2+1}{x_21}\)。通分得到\(f(x_1)f(x_2)=\frac{(x_1+1)(x_21)(x_2+1)(x_11)}{(x_11)(x_21)}\)。展開分子得\(f(x_1)f(x_2)=\frac{x_1x_2x_1+x_21(x_1x_2x_2+x_11)}{(x_11)(x_21)}\)。化簡得\(f(x_1)f(x_2)=\frac{2(x_2x_1)}{(x_11)(x_21)}\)。因為\(1<x_1<x_2\)，所以\(x_2x_1>0\)，\(x_11>0\)，\(x_21>0\)。則\(f(x_1)f(x_2)>0\)，即\(f(x_1)>f(x_2)\)。所以函數(shù)\(f(x)=\frac{x+1}{x1}\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。例5：函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)\(f(x)=x^3+\frac{1}{x}\)的奇偶性。分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷\(f(x)\)與\(f(x)\)的關系。若\(f(x)=f(x)\)，則函數(shù)為偶函數(shù)；若\(f(x)=f(x)\)，則函數(shù)為奇函數(shù)。解答：函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\((\infty,0)\cup(0,+\infty)\)關于原點對稱。\(f(x)=(x)^3+\frac{1}{x}=x^3\frac{1}{x}=(x^3+\frac{1}{x})=f(x)\)。所以函數(shù)\(f(x)=x^3+\frac{1}{x}\)是奇函數(shù)。例6：函數(shù)性質(zhì)的綜合應用已知函數(shù)\(f(x)\)是奇函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，\(f(2)=0\)，求不等式\(xf(x)<0\)的解集。分析：因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(2)=f(2)=0\)。再根據(jù)函數(shù)在\((0,+\infty)\)和\((\infty,0)\)上的單調(diào)性，分\(x>0\)和\(x<0\)兩種情況討論不等式\(xf(x)<0\)的解集。解答：因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(f(2)=0\)，所以\(f(2)=0\)。當\(x>0\)時，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，由\(xf(x)<0\)得\(f(x)<0\)，即\(0<x<2\)。當\(x<0\)時，\(f(x)\)在\((\infty,0)\)上也單調(diào)遞增，由\(xf(x)<0\)得\(f(x)>0\)，即\(2<x<0\)。所以不等式\(xf(x)<0\)的解集為\((2,0)\cup(0,2)\)。四、課堂小結(jié)1.集合部分集合的概念、表示方法要清晰準確，注意區(qū)分列舉法和描述法的適用情況。集合的運算，尤其是交、并、補運算，要熟練掌握其定義和性質(zhì)，通過文氏圖等工具輔助理解。對于集合相關的實際問題，要學會分析題目中的條件，建立集合模型來求解。2.函數(shù)部分函數(shù)的定義域是函數(shù)的基礎，要牢記各種函數(shù)形式對定義域的限制條件，準確求解。求函數(shù)解析式的方法多樣，如換元法、待定系數(shù)法等，要根據(jù)具體題目靈活運用。函數(shù)值域的求法有多種，如配方法、分離常數(shù)法、利用函數(shù)單調(diào)性等，需針對不同函數(shù)類型選擇合適方法。函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，要掌握其定義、判斷方法及相關結(jié)論，并能運用這些性質(zhì)解決函數(shù)值比較、不等式求解等問題。五、課后作業(yè)1.已知集合\(A=\{x|x^24x+3=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，\(C=\{x|x^2mx+1=0\}\)，且\(A\cupB=A\)，\(A\capC=C\)，求\(a\)，\(m\)的值。2.求函數(shù)\(y=\sqrt{1x}+\sqrt{x+3}1\)的定義域和值域。3.已知函數(shù)\(f(x)\)是偶函數(shù)，且在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，\(f(2)=0\)，求不等式\(f(x1)>0\)的解集。4.設函數(shù)\(f