PAGE1-4.5增長速度的比較[A基礎達標]1．函數y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均改變率是()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2解析：選C.依題意，所求平均改變率為eq\f(（1＋Δx）2－12,Δx)＝2＋Δx，故選C.2．已知函數y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44解析：選B.Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝(2.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.故選B.3．小明騎車上學，起先時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事務吻合得最好的圖像是()解析：選C.小明勻速運動時，所得圖像為一條直線，且距離學校越來越近，故解除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故解除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故解除B.故選C.4．某學校開展探討性學習活動，某同學獲得一組試驗數據如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數據，現給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：選D.法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數值之差大約為2.5，3.5，4.5，6，基本上是漸漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個函數值的大小，可以采納特別值代入法．可取x＝4，經檢驗易知選D.5．某林區的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經過y年，則函數y＝f(x)的圖像大致是()解析：選D.設該林區的森林原有蓄積量為a，由題意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的圖像大致為D中圖像．6．函數y＝x2與函數y＝xlnx在區間(1，＋∞)上增長較快的一個是________．解析：當x變大時，x比lnx增長要快，所以x2要比xlnx增長得快．答案：y＝x27.在某種金屬材料的耐高溫試驗中，溫度y(℃)隨著時間t(min)改變的狀況由計算機記錄后顯示的圖像如圖所示．現給出下列說法：①前5min溫度增加的速度越來越快；②前5min溫度增加的速度越來越慢；③5min以后溫度保持勻速增加；④5min以后溫度保持不變．其中正確的說法是________．解析：因為溫度y關于時間t的圖像是先凸后平，所以前5min每當t增加一個單位，相應的增量Δy越來越小，而5min后y關于t的增量保持為0，則②④正確．答案：②④8．生活閱歷告知我們，當水注入容器(設單位時間內進水量相同)時，水的高度隨著時間的改變而改變，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖像，A對應________；B對應________；C對應________；D對應________．解析：A容器下粗上細，水高度的改變先慢后快，故與(4)對應；B容器為球形，水高度改變為快—慢—快，應與(1)對應；C，D容器都是柱形的，水高度的改變速度都應是直線型，但C容器細，D容器粗，故水高度的改變為C容器快，與(3)對應，D容器慢，與(2)對應．答案：(4)(1)(3)(2)9．同一坐標系中，畫出函數y＝x＋5和y＝2x的圖像，并比較x＋5與2x的大小．解：依據函數y＝x＋5與y＝2x的圖像增長差異得：當x＜3時，x＋5＞2x，當x＝3時，x＋5＝2x，當x＞5時，x＋5＜2x.10．某國2024年至2024年國內生產總值(單位：萬億元)如下表所示：年份2024202420242024x(年份代碼)0123生產總值y(萬億元)8.20678.94429.593310.2398(1)畫出函數圖像，猜想y與x之間的函數關系，近似地寫出一個函數關系式；(2)利用得出的關系式求生產總值，與表中實際生產總值比較；(3)利用關系式預料2033年該國的國內生產總值．解：(1)畫出函數圖像，如圖所示．從函數的圖像可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上，設所求的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)．把直線經過的兩點(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.所以函數關系式為y＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的函數關系式計算出2024年和2024年的國內生產總值分別為0．6777×1＋8.2067＝8.8844(萬億元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(萬億元)．與實際的生產總值相比，誤差不超過0.1萬億元．(3)2033年，即x＝17時，由(1)得y＝0.6777×17＋8.2067＝19.7276，即預料2033年該國的國內生產總值約為19.7276萬億元．[B實力提升]11．在固定電壓差(電壓為常數)的前提下，當電流通過圓柱形的電線時，其電流強度I與電線半徑r的三次方成正比，若已知電流通過半徑為4毫米的電線時，電流強度為320安，則電流通過半徑為3毫米的電線時，電流強度為()A．60安 B．240安C．75安 D．135安解析：選D.由已知，設比例常數為k，則I＝k·r3.由題意，當r＝4時，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝eq\f(320,64)＝5，所以I＝5r3.故當r＝3時，I＝5×33＝135(安)．故選D.12．某地區植被被破壞，土地沙化越來越嚴峻，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數y(萬公頃)關于年數x(年)的函數關系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：選C.將x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分別代入驗算．13．某品牌汽車的月產能y(萬輛)與月份x(3＜x≤12且x∈N)滿意關系式y＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋b.現已知該品牌汽車今年4月、5月的產能分別為1萬輛和1.5萬輛，求該品牌汽車7月的產能為多少萬輛．解：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b＝1，,\f(1,4)a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))則y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－4)＋2，當x＝7時，y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋2＝1.875.故該品牌汽車7月的產能為1.875萬輛．[C拓展探究]14．某鞋廠從今年1月份起先投產，并且前四個月的產量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產品質量好，款式受歡迎，前幾個月的產品銷售狀況良好．為了使推銷員在推銷產品時，接受訂單不至于過多或過少，須要估測以后幾個月的產量．以這四個月的產品數據為依據，用一個函數模擬產品的月產量y與月份x的關系，模擬函數有三個備選：①一次函數f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函數g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)，③指數型函數m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數，a≠0，b＞0，b≠1)．廠里分析，產量的增加是由于工人生產嫻熟和理順了生產流程．廠里也短暫不打算增加設備和工人，假如你是廠長，將會采納什么方法估計以后幾個月的產量？解：將已知前四個月的月產量y與月份x的關系記為A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)．①對于一次函數f(x)＝kx＋b(k≠0)，將B，C兩點的坐標代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.所以f(1)＝1.1，與實際誤差為0.1，f(4)＝1.4，與實際誤差為0.03.②對于二次函數g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)，將A，B，C三點的坐標代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，))故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，與實際誤差為0.07.③對于指數型函數m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數，a≠0，b＞0，b≠1)，將A，B，C三點的坐標代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4.))故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35