部編人教版九年級數學上冊全冊導學案+表格導學案

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

（學尊

1.了解一元二次方程的概念，應用一元二次方程概念解決一些簡單問題.

2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a#0）及有關概念.

3.會進行簡單的一元二次方程的試解；理解方程解的概念.

（重點舉總

重點：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索.

難點：由實際問題列出一元二次方程；準確認識一元二次方程的二次項和系數以及一次項

和系數及常數項.

（預，習號爭

一、自學指導.（10分鐘）

問題1：

如圖，有一塊矩形鐵皮，長100c0，寬50CR,在它的四角各切去一個同樣的正方形，然

后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600ent,

那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

分析：設切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為（100—2X）M,寬為（50—

2x）cm.列方程（100—2x）?（50—2x）=3600,化簡整理，得x?—75x+350=0.①

問題2：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據場地和時間

等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽?

分析：全部比賽的場數為4X7=28.

設應邀請x個隊參賽，每個隊要與其他（x—l）個隊各賽1場，所以全部比賽共

K一場。列方程工（'[1）=28,化簡整理，得X」x—56=0.②

乙乙

探究：

（1）方程①②中未知數的個數各是多少？1個.

（2）它們最高次數分別是幾次？2次.

歸納：方程①②的共同特點是：這些方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數（一

元），并且未知數的最高次數是2的方程.

1.一元二次方程的定義

等號兩邊都是整式,只含有—二—個未知數（一元），并且未知數的最高次數是

（二次）的方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：

ax°+bx+c=0（aWO）.

這種形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax?是二次項,a是二次項系數,

bx是一次項,b是一次項系數,c是常數項.

點撥精講：二次項系數、一次項系數、常數項都要包含它前面的符號.二次項系數aWO

是一個重要條件，不能漏掉.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.（6分鐘）

1.判斷下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）X3-2X2+5=0；（2）X2=1；

13

22

(3)5X-2X--=X-2X+-;

(4)2(X+1)2=3(X+1)；

(5)x2—2x=x2+1;(6)ax2+bx+c=O.

解:⑵⑶⑷.

點撥精講：有些含字母系數的方程，盡管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知數,

這樣的方程仍然是整式方程.

2.將方程3x(x—l)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、

一次項系數及常數項.

解：去括號，得3/—3x=5x+10.移項，合并同類項，得3x2—8x—10=0.其中二次項系

數是3,一次項系數是一8,常數項是一10.

點撥精講：將一元二次方程化成一般形式時，通常要將首項化負為正，化分為整.

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(8分鐘)

1.求證：關于x的方程(m°—8m+17)x2+2mx+l=0,無論m取何值，該方程都是一元二

次方程.

證明：m2—8m+17=(m—4)2+1,

(m—4尸20,

A(m-4)2+l>0,即(m—4)2+lW0.

...無論m取何值，該方程都是一元二次方程.

點撥精講：要證明無論□取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2—8m+17W0即

可.

2.下面哪些數是方程2(+10乂+12=0的根？

—4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4.

解：將上面的這些數代入后，只有一2和一3滿足等式，所以x=—2或x=—3是一元二

次方程2(+10乂+12=0的兩根.

點撥精講：要判定一個數是否是方程的根，只要把這個數代入等式，看等式兩邊是否相等

即可.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(9分鐘)

1.判斷下列方程是否為一元二次方程.

(l)l-x2=0;(2)2(x2-l)=3y；

12

(3)2X2-3X-1=0;(4)-一一=0；

xx

(5)(x+3)2=(x—3)"(6)9x2=5—4x.

解：(D是；(2)不是；(3)是；

(4)不是；(5)不是；(6)是.

2.若x=2是方程ax2+4x—5=0的一個根，求a的值.

解：?.?x=2是方程ax2+4x-5=0的一個根，

，4a+8—5=0,

3

解得a=--

3.根據下列問題，列出關于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：

(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長x；

(2)一個長方形的長比寬多2,面積是100,求長方形的長x.

解:⑴4x2=25,4x2—25=0；(2)x(x-2)=100,2xT00=0.

[學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

1.一元二次方程的概念以及怎樣利用概念判斷一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(aW0),特別強調aWO.

3.要會判斷一個數是否是一元二次方程的根.

學習至此，請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法⑴

k學'習，?彝：

1.使學生會用直接開平方法解一元二次方程.

2.滲透轉化思想，掌握一些轉化的技能.

k重'點邛,點、

重點：運用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程；領會降次一一轉化的數學思想.

難點：通過根據平方根的意義解形如x2=n(n20)的方程，知識遷移到根據平方根的意義

解形如(x+m)2=n(n20)的方程.

/頊步今生一

一、自學指導.(10分鐘)

問題1：一桶某種油漆可刷的面積為1500加，小李用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正

方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？

設正方體的棱長為x血，則一個正方體的表面積為6x2d面,根據一桶油漆可刷的面積

列出方程：

10X6X2=1500>

由此可得建=25,

根據平方根的意義，得乂=±5,

即Xi=5>x2=~5.

可以驗證5和一5都是方程的根,但棱長不能為負值，所以正方體的棱長為5dm.

探究：對照問題1解方程的過程，你認為應該怎樣解方程(2x—1尸=5及方程X2+6X+9

=4?

方程(2x—1)2=5左邊是一個整式的平方，右邊是一個非負數，根據平方根的意義，可將

方程變形為2x—1=土或，即將方程變為2x—1=、向和2x—l=一m兩個一元一次

_1二亞

方程，從而得到方程(2x—1y=5的兩個解為玉=—2'X2——2-

在解上述方程的過程中，實質上是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方

程，這樣問題就容易解決了.

方程x?+6x+9=4的左邊是完全平方式，這個方程可以化成(x+3—尸=4,進行降次,

得至【Jx+3=±2,方程的根為由=—1,x2=—5.

歸納：在解一元二次方程時通常通過“降次”把它轉化為兩個一元一次方程.如果方程能

化成x2=p(peo)或(mx+n尸=p(peo)的形式，那么可得x=±g或mx+n=士#.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(6分鐘)

解下列方程：

⑴2y2=8；(2)2(x—8尸=50；

(3)(2X-1)2+4=0;(4)4X2-4X+1=0.

解：(l)2y?=8,(2)2(x—8)2=50,

y?=4,(x—8尸=25,

y=±2,x-8=±5,

Ayi=2,y2=—2；x—8=5或x—8=-5,

.?X|-13>X2~3；

(3)(2X-1)2+4=0,(4)4X2-4X+1=0,

(2X-1)2=-4<0,(2x—1)2=0,

???原方程無解；2x—1=0,

1

.?.XI=X2=5.

點撥精講：觀察以上各個方程能否化成x2=p(p20)或(mx+n)2=p(p20)的形式，若能,

則可運用直接開平方法解.

卜合一:

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(8分鐘)

1.用直接開平方法解下列方程：

(1)(3X+1)2=7;(2)y2+2y+l=24；

(3)9n-24n+16=ll.

解：⑴;⑵一1±2m；⑶

”O巾0，士”

點撥精講：運用開平方法解形如(mx+n)2=p(p?0)的方程時，最容易出錯的是漏掉負根.

2.已知關于x的方程x'+E+Dx—3=0的一個根是1,求a的值.

解:±1.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(9分鐘)

用直接開平方法解下列方程：

(1)3(X-1)2-6=0;(2)x2-4x+4=5；

(3)9X2+6X+1=4;(4)36X2—1=0；

(5)4X2=81;(6)(X+5)2=25；

(7)X2+2X+1=4.

解：⑴x尸1+*,x2=l—\/2；

(2)xi=2+m，Xz=2一4；

/、1

(3)x,=-1,x2=~；

o

(5)xi=-,x2=--；

(6)X1=O,x2=-10；

(7)xt=1,x2=-3.

匕課'堂.小病,學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

1.用直接開平方法解一元二次方程.

2.理解“降次”思想.

3.理解x2=p(p?0)或(mx+n)2=p(p20)中，為什么p20?

國生班一學習至此，請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

21.2.1配方法⑵

上學'習閏彝,

1.會用配方法解數字系數的一元二次方程.

2.掌握配方法和推導過程，能使用配方法解一元二次方程.

點―，點、.

重點：掌握配方法解一元二次方程.

難點：把一元二次方程轉化為形如&一22=13的過程.

比塞21圣＞(2分鐘)

1.填空：

⑴X‘'-8x+16=(x—4)

(2)9x“+12x+4=(3x4~2)2：

(3)x2+px+(^)2=(x+_|__)2.

2.若4x'2—mx+9是一個完全平方式，那么m的值是±12.

L預'習導—:

一、自學指導.(10分鐘)

問題1：要使一塊矩形場地的長比寬多6處并且面積為16療，場地的長和寬分別是多少

米？

設場地的寬為xm,則長為(x+6)m,根據矩形面積為16iff,得到方程x(x+6)=

16,整理得到x?+6x—16=0.

探究：怎樣解方程X2+6X—16=0?

對比這個方程與前面討論過的方程X2+6X+9=4,可以發現方程X2+6X+9=4的左邊是

含有x的完全平方形式，右邊是非負數，可以直接降次解方程；而方程x?+6x—16=0不具有

上述形式，直接降次有困難，能設法把這個方程化為具有上述形式的方程嗎？

解:移項，得—+6x=16,

兩邊都加上9即(=)2,使左邊配成x2+bx+(,2的形式，得

---------2---2

x2+6x+9=16+9,

左邊寫成平方形式，得

一+3-=25,

開平方，得

x+3=±5,(降次)

即x+3=5或x+3=-5,

解一次方程，得小=2,x2=-8.

歸納：通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是為

了降次，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程.

問題2：解下列方程：

(1)3x2—1=5；(2)4(X-1)2-9=0；

(3)4x2+16x+16=9.

解：(l)x=±^2；(2)x,=-x2=1；

/、71

(3)xi=—],x2=-2-

歸納：利用配方法解方程時應該遵循的步驟：

(1)把方程化為一般形式ax2+bx+c=0；

(2)把方程的常數項通過移項移到方程的右邊；

(3)方程兩邊同時除以二次項系數a；

(4)方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；

(5)此時方程的左邊是一個完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個

一元一次方程來解.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(8分鐘)

1.填空：

(l)x"+6x+9=(x+3

11

=

=J\2

(2)xJ—x+4=((XZ

2-

一

(3)4x2+4x+1=(2x+1y.

2.解下列方程:

(1)x2+6x+5=0;(2)2xi+6x+2=0；

(3)(1+x)*+2(1+x)—4=0.

解:(1)移項，得x'+6x=-5,

配方得x'+6x+32=—5+3",(x+3),=4,

由此可得x+3=±2,即Xi=-1,x2=-5.

(2)移項，得2x?+6x=-2,

二次項系數化為1,得x?+3x=-l,

配方得x"+3x+(-)■=(x+-)2=-,

由此可得x+|=±乎，即Xi=^一|,

乘3

出=一2-2-

(3)去括號,整理得X2+4X—1=0,

移項得x?+4x=l,

配方得(X+2)2=5,

x+2=±y[5,即Xi=4—2,x2=~\/5—2.

點撥精講：解這些方程可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方式.

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(5分鐘)

如圖，在放ZXABC中，ZC=90°,AC=8m,CB=6m,點、P,Q同時由A,B兩點出發分

別沿AC,BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s,幾秒后APCQ的面積為/?tAABC

面積的一半？

B

CPA

解：設x秒后^PCQ的面積為放aABC面積的一半.根據題意可列方程：

1/、/、11

-(8—x)(6—x)=-X-X8X6,

乙乙乙

BPX2-14X+24=0,

(x—7)2=25,

x—7=±5,

.e.X]=12,X2=2,

XI=12,X2=2都是原方程的根，但不=12不合題意，舍去.

答：2秒后4PCQ的面積為欣ZXABC面積的一半.

點撥精講：設x秒后4PCQ的面積為位AABC面積的一半，^PCQ也是直角三角形.根據

已知條件列出等式.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(8分鐘)

1.用配方法解下列關于x的方程：

(1)2x"—4x—8=0；(2)x~—4x+2=0；

(3)X'—^x—1=0;(4)2x2+2=5.

解：(1)*|=1+或，x2=1-^/5；

(2)X|=2+，LX2=2一/；

⑷X尸斗，X尸一坐

2.如果(一4x+y?+6y+舊四+13=0,求(xy)”的值.

解：由已知方程得X?—4x+4+y2+6y+9+dr誦=0,即(x—2產+?+3)2+舊透=0,

.?.x=2,y=—3,z=-2.

z2

/.(Xy)=[2X(-3)r=^.

36

l般里少結一學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

1.用配方法解一元二次方程的步驟.

2.用配方法解一元二次方程的注意事項.

，當堂就續一學習至此，請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

21.2.2公式法

L學'習?麻

1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念.

2.會熟練應用公式法解一元二次方程.

，重點奉京

重點：求根公式的推導和公式法的應用.

難點：一元二次方程求根公式的推導.

(學前暹&j(2分鐘)

用配方法解方程：

(1)X2+3X+2=0；(2)2X2-3X+5=0.

解：(l)xi=—2,x2=—1；(2)無解.

/預'習?&?一,

一、自學指導.(8分鐘)

問題：如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(aW0),你能否用上面配方法的

步驟求出它們的兩根？

問題：已知ax：'+bx+c=O(aWO),試推導它的兩個根Xi=-殳土乎_也￡,X2=

2a

-b—~Jb。-4ac

2a

分析：因為前面具體數字已做得很多，現在不妨把a,b,c也當成一個具體數字，根據上

面的解題步驟就可以一直推下去.

探究：一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根由方程的系數a,b,c而定，因此：

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當b2-4ac^0時，

將a,b,c代入式子x=一6士'b'—4ac就得到方程的根,當b?—4ac<0時，方程沒有實數根.

za

(2”=3邛匕^叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有_幺個實數根，也可能有1個實根或者沒

有實根.

(5)一般地，式子l7—4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判別式，通常用希臘字母

△表示，即△=b2—4ac.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(5分鐘)

用公式法解下列方程，根據方程根的情況你有什么結論？

(1)2X2-3X=0；(2)3X2-2^3X+1=0；

(3)4X2+X+1=0.

3

解：(1)XI=O,x2=-；有兩個不相等的實數根；

(2”|=&=個；有兩個相等的實數根；

O

(3)無實數根.

點撥精講：△>0時，有兩個不相等的實數根；△=()時，有兩個相等的實數根；△<()

時，沒有實數根.

卜合一:

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(8分鐘)

1.方程(一4x+4=0的根的情況是(B)

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.有一個實數根

D.沒有實數根

2.當m為何值時，方程(m+Dx?—(2m—3)x+m+l=0,

(1)有兩個不相等的實數根？

(2)有兩個相等的實數根？

(3)沒有實數根？

解：(l)m<|；(2)m=-；(3)m>；.

3.已知x2+2x=m—l沒有實數根，求證：x2+mx=l—2m必有兩個不相等的實數根.

證明：???x2+2x—m+l=0沒有實數根，

:?4—4(1—m)<0,/.m<0.

對于方程x"+mx=1—2電，即x"+mx+2m—1=0,

A=nT—8m+4,Vm<0,/.△>0,

???x2+mx=l—2m必有兩個不相等的實數根.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(10分鐘)

1.利用判別式判定下列方程的根的情況：

3

(1)2X2-3X-2=0;(2)16X2-24X+9=0；

(3)X2-4^2X+9=0;(4)3X2+10X=2X2+8X.

解：(1)有兩個不相等的實數根；

(2)有兩個相等的實數根；

(3)無實數根；

(4)有兩個不相等的實數根.

2.用公式法解下列方程：

(1)xL+x—12=0;(2)X'—^2x—^=0；

(3)X2+4X+8=2X+11;(4)X(X-4)=2-8X；

(5)x2+2x=0;(6)x2+2"\/5x+10=0.

解：(l)xi=3,x2=-4；

sl;

(2)x1=-―丁一，X2=i-2~

(3)Xi=1,X2=-3；

(4)xi=-2+m，x2=—2—^/6；

(5)x,=0,x2=—2;(6)無實數根.

點撥精講：(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根是由一元二次方程的系數a,b,c

確定的；

(2)在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然后在b2—4ac20的前提下，把a,

b,c的值代入x=-13-RA,ac(b2—4ac20)中,可求得方程的兩個根；

2a

(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個實數根.

I般里小些一學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

1.求根公式的推導過程.

2.用公式法解一元二次方程的一般步驟：先確牢a,b,c的值，再算出b「4ac的值、

最后代入求根公式求解.

3.用判別式判定一元二次方程根的情況.

上當‘"同麻＞學習至此,請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

21.2.3因式分解法

?學'習閏彝＞

1.會用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些簡單的數字系數的一元二次方程.

2.能根據具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣

性.

Hr點庫」，

重點：用因式分解法解一元二次方程.

難點：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.

匣翦空查^>(2分鐘)

將下列各題因式分解：

⑴am+bm+cm=(a+b+c)m；

(2)a'—b2=(a+b)(a—b)；

(3)a±2ab+b2=(a±b尸.

k預'習--:

一、自學指導.(8分鐘)

問題：根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10勿/s的速度豎直上拋，那么經過xs

物體離地的高度(單位：ni)為10x—4.9x2.你能根據上述規律求出物體經過多少秒落回地面嗎？

(精確到0.01s)

設物體經過xs落回地面，這時它離地面的高度為0,即10x—4.9x：'=0,①

思考：除配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法解方程①？

分析：方程①的右邊為0,左邊可以因式分解得：

x(10-4.9x)=0,

于是得x=0或10—4.9x=0,②

.*.Xi=0,X2=2.04.

上述解中，X2弋2.04表示物體約在2.04s時落回地面，而x)=0表示物體被上拋離開地

面的時刻，即0s時物體被拋出，此刻物體的高度是0m.

點撥精講：(1)對于一元二次方程，先將方程右邊化為0,然后對方程左邊進行因式分解，

使方程化為兩個一次式的乘積的形式，再使這兩個一次因式分別等于零，從而實現降次，這種

解法叫做因式分解法.

(2)如果a?b=O,那么a=0或b=0,這是因式分解法的根據.如：如果(x+l)(x—l)

=0,那么x+l=0或x—l=0,BPx=—1—或x=l.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(5分鐘)

1.說出下列方程的根：

(l)x(x-8)=0；(2)(3x+l)(2x-5)=0.

15

解：(1)X|=O,X2=8；(2)X1=-x2=-

o乙

2.用因式分解法解下列方程：

(1)X2-4X=0;(2)4x?—49=0；

(3)5X2-20X+20=0.

77

解：(1)X1=O,X2=4;(2)xi=-,x2=—~；

乙乙

(3)xi=x2=2.

卜合作潺先.

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(8分鐘)

1.用因式分解法解下列方程：

(1)5x'—4x=0；(2)3x(2x+l)=4x+2；

(3)(X+5)2=3X+15.

4

解：(Dxi=0,x=~；

25

小、21

(2)X(=-,x2=--；

=

(3)X1=-5,x2-2.

點撥精講：用因式分解法解一元二次方程的要點是方程的一邊是0,另一邊可以分解因式.

2.用因式分解法解下列方程:

(l)4x2-144=0；

(2)(2X-1)2=(3-X)2；

13

(3)5x2—2x—~=x2-2x+~；

(4)3x—12x=112.

解：(l)xi=6,x2=—6；

(2)xi=1,x=-2；

o2

,.11

(3)xt=i,x2=-2；

(4)X(=X2=2.

點撥精講：注意本例中的方程可以試用多種方法.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(10分鐘)

1.用因式分解法解下列方程：

(l)x"+x=0;⑵x。—2，5X=O；

(3)3X2-6X=-3;(4)4x2-121=0；

(5)(x—4)z=(5—2x)3

解：(Dxi=0,x2=—1；

(2)X1=O,X2=2^3；

(3)X|=X2=1；

(5)x,=3,x2=l.

點撥精講：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

(1)將方程右邊化為

(2)將方程左邊分解成兩個一次式的乘積；

(3)令每個因式分別為0,得到兩個一元一次方程；

(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

2.把小圓形場地的半徑增加5加得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地

的半徑.

解：設小圓形場地的半徑為xR.

則可列方程2"x?="(x+5))

解得出=5+5小，X2=5—5小(舍去).

答：小圓形場地的半徑為(5+5鏡)m.

'課堂小箍一學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

1.用因式分解法解方程的根據由ab=O得a=0或b=0,即“二次降為一次”.

2.正確的因式分解是解題的關鍵.

上當'堂冽卷.學習至此,請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

21.2.4一元二次方程的根與系數的關系

?學'習閨彝I

bc

1.理解并掌握根與系數的關系：Xi+x?=-―，XiX=-

a2a

2.會用根的判別式及根與系數的關系解題.

重點卒凡

重點：一元二次方程的根與系數的關系及運用.

難點：一元二次方程的根與系數的關系及運用.

一、自學指導.（10分鐘）

自學1:完成下表：

XX1

方程XiX[X2

2+x2

X2-5x+6

2356

=0

x2+3x—

2-10

10=053

問題：你發現什么規律？

①用語言敘述你發現的規律；

答：兩根之和為一次項系數的相反數；兩根之積為常數項.

②x?+px+q=0的兩根x“X2用式子表示你發現的規律.

答：Xj+x2=-p,X]X2=q.

自學2：完成下表:

Xi

方程X1X

XiX22

+X2

2x2-3x—3

21-1

2=02

2

3x2—4x+141

1

1=0333

問題：上面發現的結論在這里成立嗎？(不成立)

請完善規律：

①用語言敘述發現的規律；

答：兩根之和為一次項系數與二次項系數之比的相反數，兩根之積為常數項與二次項系數

之比.

②ax2+bx+c=0的兩根xi，X2用式子表示你發現的規律.

bc

答：x+x=—,XiX=-

l2a2a

自學3：利用求根公式推導根與系數的關系.(韋達定理)

-b+Vb2-4ac—b-^/b2—4ac

ax2+bx+c=0的兩根Xi=

2a2a

Xi十X2=一一，X1X=~.

a2a

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(5分鐘)

根據一元二次方程的根與系數的關系，求下列方程的兩根之和與兩根之積.

(1)X2-3X-1=0；(2)2X2+3X-5=0；

(3)；x?—2x=0.

解：(l)xi+x2=3,x,x2=-1；

/\?35

(2)xi+x2=-Xix2=--；

(3)XI+X2=6,X|X2=0.

卜合"TT賽—>

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(io分鐘)

1.不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積.

(1)X2-6X-15=0;(2)3X2+7X-9=0；

(3)5x-l=4x2.

解：(l)xi+xz=6,X|X2=—15；

7

(2)xi+x=-X|X=-3；

2o2

..,51

(3)X1+X2=-,XIX2=-

點撥精講：先將方程化為一般形式，找對a,b,c.

2.已知方程2x?+kx—9=0的一個根是一3,求另一根及k的值.

3

解：另一根為萬，k=3.

點撥精講：本題有兩種解法，一種是根據根的定義，將x=-3代入方程先求k,再求另

一個根；一種是利用根與系數的關系解答.

3.已知a,B是方程x2—3x—5=0的兩根，不解方程，求下列代數式的值.

⑴十十春；(2)a2+p2；(3)a—B.

解：(1)--；(2)19；⑶摩或一曬

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(8分鐘)

1.不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積:

(1)X2-3X=15;(2)5X2-1=4X2；

(3)X2-3X+2=10;(4)4x2-144=0.

解：(l)xi+xz=3,X|X2=—15；

(2)Xi+x2=0,X|X2=—1；

(3)XI+X2=3,X|X2=-8；

(4)Xi+x2=0,X|X2=-36.

2.兩根均為負數的一元二次方程是(C)

A.7x2-12x+5=0B.6X2-13X-5=0

C.4xJ+21x+5=0D.x2+15x—8=0

點撥精講：兩根均為負數的一元二次方程根與系數的關系滿足兩根之和為負數，兩根之積

為正數.

，課堂小箍一學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

不解方程，根據一元二次方程根與系數的關系和已知條件結合，可求得一些代數式的值;

求得方程的另一根和方程中的待定系數的值.

1.先化成一般形式，再確定a,b,c.

2.當且僅當b2—4ac20時，才能應用根與系數的關系.

bc

3.要注意比的符號：xi+x2=-—(比前面有負號)，x*2=-(比前面沒有負號).

aa

上當'堂前麻》學習至此,請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

21.3實際問題與一元二次方程(1)

(學尊

1.會根據具體問題(按一定傳播速度傳播的問題、數字問題等)中的數量關系列一元二次

方程并求解.

2.能根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理.

3.進一步掌握列方程解應用題的步驟和關鍵.

，重點萃，蒞

重點：列一元二次方程解決實際問題.

難點：找出實際問題中的等量關系.

/四1習于令

一、自學指導.(12分鐘)

問題1：有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人

傳染了幾個人？

分析：

①設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么患流感的這一個人在第一輪中傳染了

X人,第一輪后共有(x+1)人患了流感:

②第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了X人,第二輪后共有染+l)(x+l)

人患了流感.

則列方程：

(X+1)2,21,

解得x=10或x=-12(舍),

即平均一個人傳染了10個人.

再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？

問題2：一個兩位數，它的兩個數字之和為6,把這兩個數字交換位置后所得的兩位數與

原兩位數的積是1008,求原來的兩位數.

分析：設原來的兩位數的個位數字為x,則十位數字為(6—x),則原兩位數為

10(6—x)+x,新兩位數為—10x+(6—x).依題意可列方程：[10(6—x)+x][10x+位一

x)]=1008,

解得X尸2,X2=4,...原來的兩位數為24或42.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(5分鐘)

某初中畢業班的每一個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送

了2550張相片，如果全班有x名學生，根據題意，列出方程為()

A.x(x+l)=2550

B.x(x-l)=2550

C.2x(x+1)=2550

D.x(x-l)=2550X2

分析：由題意，每一個同學都將向全班其他同學各送一張相片，則每人送出(x—1)張相片，

全班共送出x(x—l)張相片，可列方程為*(*—1)=2550.故選B.

卜合'作」—,

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(8分鐘)

1.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支

干和小分支的總數是91,求每個支干長出多少小分支？

解：設每個支干長出x個小分支，則有l+x+/=91,

即f+x—90=0,

解得由=9,%=-10(舍去)，

故每個支干長出9個小分支.

點撥精講：本例與傳染問題的區別.

2.一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4,且個位數字與十位數字的平方和比

這個兩位數小4,設個位數字為x,則列方程為：f+(x+4)2=10(x+4)+x—4.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(7分鐘)

1.兩個正數的差是2,它們的平方和是52,則這兩個數是(C)

A.2和4B.6和8C.4和6D.8和10

2.教材Pzi第2題、第3題

/課堂小結》學生總結本堂課的收獲與困惑.(3分鐘)

1.列一元二次方程解應用題的一般步驟：

(1)“審”：即審題，讀懂題意弄清題中的已知量和未知量；

(2)“設”：即設未知數，設未知數的方法有直接設和間接設未知數兩種;

(3)“列”：即根據題中等量關系列方程:

(4)“解”：即求出所列方程的

(5)“檢驗”：即驗證根是否符合題意；

(6)“答”：即回答題目中要解決的問題.

2.對于數字問題應注意數字的位置.

僮里旭一學習至此，請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

21.3實際問題與一元二次方程(2)

1.會根據具體問題(增長率、降低率問題和利潤率問題)中的數量關系列一元二次方程并

求解.

2.能根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理.

3.進一步掌握列方程解應用題的步驟和關鍵.

/重'點電點、

重點：如何解決增長率與降低率問題.

難點：理解增長率與降低率問題的公式a(l±x)"=b,其中a是原有量，x為增長(或降低)

率，n為增長（或降低）的次數，b為增長（或降低）后的量.

（預’習號爭:

一、自學指導.（10分鐘）

自學：兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元，生產1噸乙種藥品的成本是6000元,

隨著生產技術的進步，現在生產1噸甲種藥品的成本是3000元，生產1噸乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？（精確到0.01）

絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000—3000）+2=1000（元），乙種藥品成本的

年平均下降額為（6000—3600）+2=1200（元），顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大.

相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢？也就是能否說明乙種藥品成本

的年平均下降率大呢？下面我們通過計算來說明這個問題.

分析：

①設甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000（l—x）元,兩

年后甲種藥品成本為5000（1—X）2元.

依題意，得5000（1—x）2=3000

解得Xi-0.23,X2^1.77

根據實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為0.23.

②設乙種藥品成本的年平均下降率為y.則，

列方程：6000（l—y）2=3600.

解得弘一0.23,丫2。1.77（舍）.

答：兩種藥品成本的年平均下降率相同.

點撥精講：經過計算，成本下降額較大的藥品，它的成本下降率不一定較大，應比較降前

及降后的價格.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.（8分鐘）

某商店10月份的營業額為5000元，12月份上升到7200元，平均每月增長百分率是多少？

【分析】如果設平均每月增長的百分率為X,則

11月份的營業額為5000(l+x)元,

12月份的營業額為5000(l+x)(1+x)元,即5000(1+x)2元.

由此就可列方程：5000(1+X)2=7200.

點撥精講：此例是增長率問題，如題目無特別說明，一般都指平均增長率，增長率是增長

數與基準數的比.

增長率=增長數：基準數

設基準數為a,增長率為x,

則一月(或一年)后產量為a(l+x)；

二月(或二年)后產量為a(l+x)*

n月(或n年)后產量為a(l+x)”；

如果已知n月(n年)后產量為M,則有下面等式：M=a(l+x)".

解這類問題一般多采用上面的等量關系列方程.

k臺"rr盤—,

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(8分鐘)

某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000

元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，

求這種存款方式的年利率.(利息稅2096)

分析：設這種存款方式的年利率為x,第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是

1000+2000x-80%；第二次存,本金就變為1000+2000x?80%,其他依此類推.

解：設這種存款方式的年利率為x,

則1000+2