主講教師：張麗清第6講導數在研究函數上應用1/44函數性質（已學）函數單調性函數奇偶性函數周期性函數有界性2/44提要函數單調性函數極值與最值函數凹凸性函數漸近線函數單調性3/444.3函數極值與最值4.3.1

函數單調性4.3.2

函數極值4.3.3

函數最值及應用4.3.4函數凹凸與拐點4.3.5曲線漸近線4/44定理1設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，則：(1)若在(a,b)內(2)若在(a,b)內4.3.1

單調性判定則f(x)在區間[a,b]上單調增加.則f(x)在區間[a,b]上單調降低.倘若f(x)在端點處不連續，則只需把結論[a,b]改為（a,b）即可.5/44在[x1,x2]上用拉格朗日中值定理得：最少存在依據遞增定義f(x)在[a,b]

單調遞增.abab6/44例2

確定函數單調性.解:該函數定義域是R,7/44說明:單調區間分界點除駐點外,也可是導數不存在點.比如,2)駐點不一定是函數單調區間分界點.比如,8/44求函數單調區間步驟：(1)確定函數定義域；(2)求導，并求出駐點、不可導點；(3)列表（依據分界點把定義域分成對應區間；判斷一階導符號）(4)下結論。9/44例3

確定函數單調區間.解:令得故單調增加區間為單調降低區間為該函數定義域是R,10/44提要函數單調性函數極值與最值函數凹凸性函數漸近線函數極值與最值11/444.3.2

極值定義設函數y=f(x)

在x0

一個鄰域內有定義，若對于該鄰域內異于

x0

x恒有(1)f(x0)>f(x)，則稱f(x0)

為函數f(x)

極大值，x0稱為f(x)

極大值點；(2)f(x0)<f(x)，則稱f(x0)

為函數f(x)

極小值，x0稱為f(x)

極小值點；函數極大值、極小值統稱為函數極值，極大值點、極小值點統稱為極值點.12/44顯然，在圖中，x1，x4為f(x)極大值點，

x2，x5為f(x)極小值點.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5從圖形上能夠看出:(1)極大值不一定大于每一個極小值；極小值也不一定小于每個極大值.(2)極值點若可導，則導數必定是0.13/44定理

2(極值必要條件)若f

(x)

在x0處可導，且x0為極值點，則f

(x0)=0.簡單地說，可導極值點一定是駐點.或者不可導點.極值點一定是駐點反之則未必成立.14/44也就是說，駐點或不可導點未必就是極值點.15/44且在空心鄰域內有導數,x0駐點或不可導點。(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,定理3(極值第一充分條件)P97(3)“左右同號”,16/44例1

求函數極值.解:(1)該函數定義域為R.(2)令得駐點另外，(3)列表判別17/44定理4(極值第二充分條件)P98則在點取極大值;則在點取極小值.則需要用第一充分條件判別.18/44例2

求函數極值.解

(1)求導數(2)求駐點:令得駐點(3)判別:因故為極小值;又故需用第一判別法判別.19/444.3.3

最大值與最小值問題

對于閉區間[a,b]上連續函數f(x),由最值存在定理知一定存在著最大值和最小值．值和最小值只能在區間(a,b)內極值點和區間端點處到達．

顯然，函數在閉區間[a,b]上最大20/44求函數最值方法:(1)求在內駐點和不可導點(2)

求這些點對應函數值（3）比較大小，得函數在[a,b]上最值.函數f(x)最值只會在端點以及內部駐點和不可導點處產生.以及端點函數值：21/44例3

試求函數f(x)=3x4-16x3+30x2–24x+4在區間[0,3]上最大值和最小值.解

f

(x)=12x3-48x2+60x–24

令f

(x)=0，得駐點x=1，x=2，又因為=12(x-1)2(x-2)，f(0)=4，f(1)=-3，f(2)=-4，f(3)=13，將它們加以比較可知在區間[0,3]上f(x)最大值最小值為f(2)=-4.為f(3)=13，22/44尤其:

當在內只有一個極值可疑點時,若在此點取極大值,則也是最大值.(小)(小)

若求在開區間（a,b）內值域，則端點處函數值用極限代替.23/44

當在上單調時,最值必在端點處到達.

對應用問題,有時可依據實際意義判別求出可疑點是否為最大值點或最小值點.24/44例4

鐵路上AB段距離為100km,工廠C距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應怎樣選取?20物從B運到工廠C運費最省,問Km,公路,解

設則總運費為y,鐵路每公里運費為3k,25/44令得又所以為唯一極小點,故AD=15km時運費最省。從而為最小點,26/44例5

欲做一個底為正方形，容積為a立方米長方體開口容器，當底和高分別是多少時用料最省。解設底邊邊長為x，高為h，表面積為y，則由得（唯一）由實際情況可知當底為高為時用料最省。27/44小結

2537x8y00.5928/44提要函數單調性函數極值與最值函數凹凸性函數漸近線函數凹凸性29/444.3.4

曲線凹凸性4.3函數極值與最值4.3.5

曲線漸近線30/44OyABCDx4.3.4

曲線凹凸性與拐點xyOABDC(a)(b)定義1

若在某區間（a,b）內(1)若曲線段總位于其上任一點處切線下方，則稱該曲線段（a,b）內是凸，并稱（a,b）為函數凸區間.(2)曲線段總位于其上任意一點處切線上方，則稱曲線段在（a,b）內是凹，并稱（a,b）為函數凹區間；31/44

定理

1

設函數

y=f(x)在區間

I

內二階導數

f

(x)>0，則曲線

y=f(x)在區間

I

內是凹；若

f

(x)<0，則在此區間

I內曲線

y=f(x)是凸.xyOABDCx1x3x4x232/44定義2

曲線y=f(x)凹凸分界點叫做曲線拐點.所以，拐點是一個點坐標（x0,f(x0)），而不是一個值x=x0.且在x0處有二階導，那么必定有點（x0,f(x0)是曲線y=f(x)拐點假如(x0,y0)是拐點，33/44(2)求(3)列表格，用上述各點按照從小到大依次將分成小區間,再在每個小區間上考查符號.(1)確定函數y=f(x)定義域；綜合上面分析，求凹凸區間（或凹凸性）和拐點能夠按照以下步驟進行：不存在點；找出在定義域內使點和(4)下結論.34/44例

1

討論曲線f(x)=x3-6x2

+9x+1凹凸區間與拐點．解定義域為(,

).因為f

(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

-12

=6(x

-2

)，令

f(x)=0，可得x=2.x(,2)2(2,+

)f(x)

0+f(x)拐點(2,3)所以

(2,3)是該曲線拐點.35/44例

2討論曲線

y=ln(1+

x2)凹凸區間與拐點.解定義域為(,).因為令y

=0得x=-1，x=1.所以曲線凸區間是（-∞，-1）和（1，+∞）,凹區間是（-1，1）；點(-1,ln2)

和(1,ln2)為拐點.36/44提要函數單調性函數極值與最值函數凹凸性函數漸近線函數漸近線37/444.3.5

曲線漸近線

定義3

若曲線

y=f(x)上動點

M(x,y)沿著曲線無限遠離坐標原點時，它與某直線l

距離趨則稱

l為該曲lM(x,y)y=f(x)yxO向于零，線漸近線.38/44(1)

垂直漸近線

則稱直線x=c為曲線y=f(x)垂直漸近線.比如，∴直線x=0為y=lnx曲線垂直漸近線.yxOy=lnx對于曲線y=lnx

來說，39/441yxO40/44比如，對于曲線來說，(2)

水平漸近線則稱直線y=