2025年全國初中數(shù)學競賽預賽試題及參考答案（完整版）（競賽時間：3月2日上午9:00--11:00）一、選擇題（共6小題，每小題6分，共36分）以下每小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號字母填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．若是最大的負整數(shù)，是絕對值最小的有理數(shù)，是倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)，則的值為【】（A）2013（B）2014（C）2015（D）0【答】D．解：最大的負整數(shù)是－1，∴=－1；絕對值最小的有理數(shù)是0，∴=0；倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)是1，∴=1.∴==0.2.已知實數(shù)滿足則代數(shù)式的值是【】（A）（B）3（C）（D）7【答】A．解：兩式相減得3．如圖，將表面展開圖（圖1）還原為正方體，按圖2所示擺放，那么，圖1中的線段MN在圖2中的對應線段是【】（A）（B）（C）（D）（第3題圖）（第3題圖）【答】C．解：將圖1中的平面圖折成正方體，MN和線段c重合.不妨設圖1中完整的正方形為完整面，△AMN和△ABM所在的面為組合面，則△AMN和△ABM所在的面為兩個相鄰的組合面，比較圖2，首先確定B點，所以線段d與AM重合，MN與線段c重合.4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列7個代數(shù)式，，，，，，中，其值為正的式子的個數(shù)為【】（第4題圖）（第5題圖）（A）2個（B）3個（C）4個（D）4（第4題圖）（第5題圖）【答】C．解：由圖象可得：，，，∴，，.拋物線與軸有兩個交點，∴.當=1時，，即.當=時，，即.從圖象可得，拋物線對稱軸在直線=1的左邊，即，∴.因此7個代數(shù)式中，其值為正的式子的個數(shù)為4個.5.如圖，Rt△OAB的頂點O與坐標原點重合，∠AOB=90°，AO=2BO，當A點在反比例函數(shù)（x>0）的圖象上移動時，B點坐標滿足的函數(shù)解析式為【】（A）（x<0）（B）（x<0）（C）（x<0）（D）（x<0）【答】B．解：如圖，分別過點分別做軸的垂線，那么∽，則，故.6．如圖，四邊形ABHK是邊長為6的正方形，點C、D在邊AB上，且AC=DB=1，點P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分別為MN、QR的中點，連接EF，設EF的中點為G，則當點P從點C運動到點D時，點G移動的路徑長為【】（A）1（B）2（C）3（D）6【答】B．解：設KH中點為S，連接PE、ES、SF、PF、PS，可證明四邊形PESF為平行四邊形，∴G為PS的中點,即在點P運動過程中，G始終為PS的中點，所以G的運行軌跡為△CSD的中位線,∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴點G移動的路徑長為=2.二、填空題（共6小題，每小題6分，共36分）7．已知，化簡得.【答】．解：∵，∴，，原式=.8.一個不透明的袋子中有除顏色外其余都相同的紅、黃、藍色玻璃球若干個，其中紅色玻璃球有6個，黃色玻璃球有9個，已知從袋子中隨機摸出一個藍色玻璃球的概率為，那么，隨機摸出一個為紅色玻璃球的概率為.【答】．解：設口袋中藍色玻璃球有個，依題意，得，即=10，所以P（摸出一個紅色玻璃球）=.9.若，則=.【答】8．解：∵，∴.則，即.∴10．如圖，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，將Rt△OAB繞O點順時針旋轉90°得到Rt△OCD，則AB掃過的面積為.（第10題圖）（第10題圖）【答】．解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，∴AO=CO=，BO=DO=4，∴陰影部分面積====.11．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是AD上一個動點，把△BAE沿BE向矩形內部折疊，當點A的對應點A1恰落在∠BCD的平分線上時，CA1=.【答】．解：過A1作A1M⊥BC，垂足為M，設CM=A1M=x，則BM=4－x，在Rt△A1BM中，，∴=，∴x=A1M=，∴在等腰Rt△A1CM中，CA1=.12．已知a、b、c、d是四個不同的整數(shù)，且滿足a+b+c+d=5，若m是關于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一個整數(shù)根，則m的值為.【答】20．解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四個不同的整數(shù)，由于m是大于a、b、c、d的一個整數(shù)根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四個不同的正整數(shù).∵2014=1×2×19×53，∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.又∵a+b+c+d=5，∴m=20.三、解答題（第13題14分，第14題16分，第15題18分，共48分）13.某學校為九年級數(shù)學競賽獲獎選手購買以下三種獎品，其中小筆記本每本5元，大筆記本每本7元，鋼筆每支10元，購買的大筆記本的數(shù)量是鋼筆數(shù)量的2倍，共花費346元，若使購買的獎品總數(shù)最多，則這三種獎品的購買數(shù)量各為多少？解：設購買小筆記本x本，大筆記本y本，鋼筆z支，則有，.易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34,……4分∴，，即.∵x，y，z均為正整數(shù)，≥0，即0＜z≤14∴z只能取14，9和4.…………………8分①當z為14時，=2，=28..②當z為9時，=26，=18..③當z為4時，=50，=8..綜上所述，若使購買的獎品總數(shù)最多，應購買小筆記本50本，大筆記本8本，鋼筆4支.……………………14分如圖，在矩形ABCD中，AD=8，直線DE交直線AB于點E，交直線BC于F，AE=6.（1）若點P是邊AD上的一個動點（不與點A、D重合），設DP為x,四邊形AEHP的面積為y,試求y與x的函數(shù)解析式；（2）若AE=2EB.=1\*GB3①求圓心在直線BC上，且與直線DE、AB都相切的⊙O的半徑長；=2\*GB3②圓心在直線BC上，且與直線DE及矩形ABCD的某一邊所在直線都相切的圓共有多少個？（直接寫出滿足條件的圓的個數(shù)即可.）14、解：（1）在Rt中，…………5分（2）=1\*GB3①∽.………7分若⊙與直線DE、AB都相切，且圓心在AB的左側，過點作于，則可設.解得…10分若⊙與直線DE、AB都相切，且圓心在AB的右側，過點作于，則可設解得即滿足條件的圓的半徑為或6.…………13分=2\*GB3②6個.………………………16分15.如圖1，等腰梯形OABC的底邊OC在x軸上，AB∥OC，O為坐標原點，OA=AB=BC，∠AOC=60°，連接OB，點P為線段OB上一個動點，點E為邊OC中點.（1）連接PA、PE，求證：PA=PE；（2）連接PC，若PC+PE=，試求AB的最大值；（3）在（2）在條件下，當AB取最大值時，如圖2，點M坐標為（0，－1），點D為線段OC上一個動點，當D點從O點向C點移動時，直線MD與梯形另一邊交點為N，設D點橫坐標為m，當△MNC為鈍角三角形時，求m的范圍.解：（1）證明：如圖1，連接AE.…………5分(2)∵PC+PE=，∴PC+PA=.顯然有OB=AC≤PC+PA=.……………7分在Rt△BOC中,設AB=OA=BC=x，則OC=2x，OB=，∴≤，∴≤2.即AB的最大值為2.…………10分(3)當AB取最大值時，AB=OA=BC=2，OC=4.分三種情況討論：①當N點在OA上時，如圖2，若CN⊥MN時，此時線段OA上N點下方的點（不包括N、O）均滿足△MNC為鈍角三角形.過N作NF⊥x軸，垂足為F，∵A點坐標為（1，），∴ 可設N點坐標為（，），則DF=a－m，NF=，F(xiàn)C=4－