1.1等腰三角形

第1課時三角形的全等和等腰三角形的性質

=Z2,A。為公共邊，若AB=AC,不符合

粵劇1?全等三角形判定定理，不能判定

1.復習全等三角形的判定定理及相關△ABQ2△AC。；C.VZ1=Z2,AD為公

性質；共邊，若N8=/C,則

2.理解并掌握等腰三角形的性質定理△AB腥△ACO（AAS）;D.VZ1=Z2,AD

及推論，能夠運用其解決簡單的兒何問為公共邊，若ABAD=ZCAD,則

題.（重點，難點）△ABD^AACD（ASA）：故選B.

方法總結：判定兩個三角形全等的一般

方法有:$5$、$人$、人$人、人人$.要注意AAA,

一、情境導入SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三

探究：如圖所示，把一張長方形的紙按角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一

照圖中虛線對折并減去陰影部分，再把它展角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

開得到的△ABC有什么特點？［類型二］全等三角形的性質

畫?如圖，△ABC絲△CD4,并且AB

二、合作探究=CD,那么下列結論錯誤的是（）

探究點一：全等三角形的判定和性質A.Z1=Z2B.AC=C4

［類型一］全等三角形的判定C.ZD=ZBD.AC=BC

例1如圖，己知/1=/2,則不一定解析：^AABC^/^CDA,并且AB=

能使的條件是（）CD,AC和C4是公共邊，可知N1和N2,

N￡）和/2是對應角.全等三角形的對應角

相等，對應邊相等，因而前三個選項一定正

確.AC和BC不是對應邊，不一定相

等.「△ABC絲△CD4,AB=CD,：.Z1

和/2,N。和是對應角，Nl=/2,

ND=NB,；.AC和C4是對應邊，而不是

A.BD=CDBC,:.A、B、C正確，錯誤的結論是D.故

B.AB=AC選D.

C.NB=NC方法總結：本題主要考查了全等三角形

D.NBAD=NCAD的性質；根據已知條件正確確定對應邊、對

解析：利用全等三角形判定定理ASA,應角是解決本題的關鍵.

SAS,AAS對各個選項逐一分析即可得由答探究點二：等邊對等角

案.A.VZ1=Z2,AD為公共邊，若BD［類型—］運用"等邊對等角“求角

=CD,則△ABO畛△ACD（SAS）;B.VN1的度數

AA

D

BC/Dk\

如圖，AB=AC=AD,若/BADRE~C

=80°,則NBCC=()如圖，在△ABC中，已知4B=AC,

A.80°B.100°ABAC和NACB的平分線相交于點D,Z

C.140°D.160°4￡>C=125°.求N4CB和NBAC的度數.

解析：先根據已知和四邊形的內角和為解析：根據等腰三角膨三線合一的性質

360°,可求NB+/BCD+N。的度數，再可得AE_LBC,再求出/C￡>E,然后根據直

根據等腰三角形的性質可得NB=NACB,角三角形兩銳角互余求出NQCE,根據角平

NACD=ZD,從而得到NBCD的分線的定義求出/ACB,再根據等腰三角形

值.,.?/BA￡>=80°，;.NB+NBCD+ND兩底角相等列式進行計算即可求出ZBAC.

=280°."JAB^AC^AD,：.ZB=ZACB,解：；AB=AC,AE平分NR4C,：.AE

ZACD=ND,；.ZBCD=280°4-2=±BC.VZADC=\25°,：.ZCDE=55°,

140°,故選C..?./OCE=90°—/C￡>E=35°.又平

方法總結：求角的度數時，①在等腰三分NACB,：.ZACB=2ZDCE=70°.又

角形中，一定要考慮三角形內角和定理；②,：AB=AC,；./B=/AC3=70°,Z

有平行線時，要考慮平行線的性質：兩直線BAC=180-(ZB+ZACB)=40°.

平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角方法總結：利用等腰三角形“三線合

互補；③兩條相交直線中，對頂角相等，互一”的性質進行計算，有兩種類型：一是求

為鄰補角的兩角之和等于180°.邊長，求邊長時應利用等腰三角形的底邊上

［類型二］分類討論思想在等腰三角的中線與其他兩線互相重合；二是求角度的

形求角度中的運用大小，求角度時，應利用等腰三角形的頂角

顫I等腰三角形的一個角等于30°,的平分線或底邊上的高與其他兩線互相重

求它的頂角的度數.合.

解析：本題可根據等腰三角形的性質和［類型二］利用等腰三角形“三線合

三角形內角和定理求解，由于本題中沒有明一”進行證明

確30°角是頂角還是底角，因此要分類討

論.

解：①當底角是30°時，頂角的度數為

180°-2義30°=120°；

②頂角即為30°.

因此等腰三角形的頂角的度數為30。或@0如圖，Z\ABC中，AB^AC,。為

120°.AC上任意一點，延長BA到E使得AE=A￡>,

方法總結：已知的一個銳角可以是等腰連接。E,求證：DEYBC.

三角形的頂角，也可以是底角；一個鈍角只解析：AF//DE,交BC于點F.利用

能是等腰三角形的頂角.分類討論是正確解等邊對等角及平行線的性質證明NBAF=

答本題的關鍵./以C.在aABC中由“三線合一”得AF_L

探究點三：三線合一8c.再結合AF//DE可得出結論.

［類型—］利用等腰三角形“三線合證明：過點A作AF〃QE,交BC于點

一”進行計算F.

"：AE=AD,：.ZE=AADE.

'：AF//DE,:.NE=/BAF,AFAC=

ZADE.3.三線合一：在等腰三角形的底邊上

：.乙FAC.的高、中線、頂角的平分線中，只要知道其

又：AB=AC,J.AFLBC.中一個條件，就能得出另外的兩個結論.

'：AF//DE,：.DEA.BC.

教巡恩

方法總結：利用等腰三角形“三線合

一”得出結論時，先必須已知一個條件，這本節課由于采用了動手操作以及討論交流

個條件可以是等腰三角形底邊上的高，可以等教學方法，有效地增強了學生的感性認

是底邊上的中線，也可以是頂角的平分識，提高了學生對新知識的理解與感悟，因

線.解題時，一般要用到其中的兩條線互相而本節課的教學效果較好，學生對所學的新

重合.知識掌握較好，達到了教學的目的.不足之

三、板書設計處是少數學生對等腰三角形的“三線合

1.全等三角形的判定和性質一”性質理解不透徹，還需要在今后的教學

2.等腰三角形的性質：等邊對等角和作業中進一步鞏固和提高.

第2課時等邊三角形的性質

1.進一步學習等腰三角形的相關性質，

了解等腰三角形兩底角的角平分線（兩腰上

的高，中線）的性質；

2.學習等邊三角形的性質，并能夠運（3D如圖，在△ABC中，AB=AC,CD

用其解決問題.（重點、難點）1AB于點D,BE±AC于點E,求證：

DE//BC.

證明：因為AB=AC,所以NABC=

嬲嵋NAC8.又因為C￡）_LAB于點D,BE1AC于

點E,所以/AEB=N4DC=90°,所以

一、情境導入NABE=ZACD,所以ZABC-NABE=

我們欣賞下列兩個建筑物（如圖），圖中NACB—NACD,所以NEBC=NOC8.在

的三角形是什么樣的特殊三角形？這樣的

ZBEC=ZCDB,

三角形我們是怎樣定義的，有什么性質？

△BEC與△CDB中，＜ZEBC^ZDCB,所

BC=CB,

以△BEC絲△COB,所以BQ=CE,所以AB

-BD=AC-CE,即AD=AE,所以NAOE

天安門城樓西安半坡博物館=又因為NA是和△ABC的

二、合作探究頂角，所以所以。E〃3C.

探究點一：等腰三角形兩底角的平分線方法總結：等腰三角形兩底角的平分線

（兩腰上的高、中線）的相關性質相等，兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等.

探究點二：等邊三角形的相關性質

［類型—］利用等邊三角形的性質求

角度

A

NDMB=/DME,

和△OME中，</DBM=NE,：.△

.DM=DM,

DMEq/XDMB.：.BM=EM.

是4c上一點，。是8C延長線上一點，連方法總結：證明線段相等可利用三角形

接BE,DE.若NABE=40°,BE=DE,求全等得到.還應明白等邊三角形是特殊的等

/CEO的度數.腰三角形，所以等腰三角形的性質完全適合

解析：因為△ABC三個內角為60°,等邊三角形.

N4BE=40°,求出/EBC的度數，因為［類型三］等邊三角形的性質與全等

BE=DE,所以得到NEBC=N。，求出/￡>三角形的綜合運用

的度數，利用外角性質即可求出/CEZ)的度

數.

解：ABC是等邊三角形，ABC

=ZACB=60Q,"：ZAB￡=40°，,ZEBC

=/ABC-/ABE=60°—40°=20°.：BE

=DE,：.ZD=ZEBC=20°,：.ZCED=@DAABC為正三角形，點M是邊BC

/AC3-NO=4(r.上任意一點，點N是邊C4上任意一點，且

方法總結：等邊三角形是特殊的三角BM=CN,BN與AM相交于Q點，求

形，它的三個內角都是60。，這個性質常常的度數.

應用在求三角形角度的問題上，所以必須熟解析：先根據已知條件利用SAS判定

練掌握.△ABMm2BCN,再根據全等三角形的性質

求得NAQN=NA8C=60°.

［類型二］利用等邊三角形的性質證解：?.?△ABC為正三角形，...NA8C=

明線段相等ZC=ZBAC=60°,A8=B。.在aAMB和

AB=BC,

△BNC中，V'ZABC=ZC,.?.△AMBg

BM=CN,

顫J如圖：已知等邊△ABC中，。是△BNC(SAS),

AC的中點，E是BC延長線上的一點，且:.NBAM=NCBN,：.NBQM=NABQ

CE=CD,DMA.BC,垂足為M,求證：BM+ZBAM=ZABQ+/CBN=ZABC=

=EM.60°.

解析：要證BM=EM,由題意證方法總結：等邊三角形與全等三角形的

△8DW會△￡￡)〃即可.綜合運用，一般是利用等邊三角形的性質探

證明：連接：在等邊△4BC中，究三角形全等.

。是AC的中點，AZDBC=^ZABC=^X三、板書設計

1.等腰三角形兩底角的平分線(兩腰上

60°=30°,ZACB=60°：：CE=CD,：.的高、中線)的相關性質

/CDE=NE.,:NACB=NCDE+NE,：.等腰三角形兩底角的平分線相等；

Z￡=30°,：.ZDBC=ZE=30°：：DMX.等腰三角形兩腰上的高相等；

BC,:.NDMB=NDME=90°,在ADMB等腰三角形兩腰上的中線相等.

2.等邊三角形的性質

等邊三角形的三個內角都相等，并且每

個角都等于60°.定義、性質.讓學生在探索圖形特征以及相

關結論的活動中，進一步培養空間觀念，鍛

煉思維能力.讓學生在學習活動中，進一步

本節課讓學生在認識等腰三角形的基礎上，產生對數學的好奇心，增強動手能力和創新

進一步認識等邊三角形.學習等邊三角形的意識.

第3課時等腰三角形的判定與反證法

i.掌握等腰三角形的判定定理并學會運用；（重點）

2.理解并掌握反證法的思想，能夠運用反證法進行證明.

投卷嵋

一、情境導入

某地質專家為估測一條東西流向河流的寬度，選擇河流北岸上一棵樹（A點）為目標，然

后在這棵樹的正南方南岸B點插一小旗作標志，沿南偏東60度方向走一段距離到C處時，

測得為30度，這時，地質專家測得8c的長度是50米，就可知河流寬度是50米.

同學們，你們想知道這樣估測河流寬度的根據是什么嗎？他是怎么知道BC的長度是等

于河流寬度的呢？今天我們就要學習等腰三角形的判定.

二、合作探究

探究點一：等腰三角形的判定（等角對等邊）

［類型一］確定等腰三角形的個數

畫EI如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=36°,BD、CE分別是NABC、NBC。的角

平分線，則圖中的等腰三角形有（）

A.5個B.4個

C.3個D.2個

解析：共有5個.（1）；4B=AC,...△ABC是等腰三角形；（2）；BD、CE分別是NABC、

N5C。的角平分線，NEBC=；NABC,是等腰三角形，，N

EBC=ZECB,...△8CE是等腰三角形；（3）：N4=36°,AB=AC,：.^ABC=ZACB=^

(180°-36°)=72°.又是NA8C的角平分線，：.ZABD=^ABC=36°=AA,：./\ABD

是等腰三角形；同理可證△?￡>￡和△BCQ也是等腰三角形.故選A.

方法總結:確定等腰三角形的個數要先找出相等的邊和相等的角，然后確定等腰三角形，

再按順序不重不漏地數出等腰三角形的個數.

［類型二］判定一個三角形是等腰三角形

面?如圖，在△ABC中，24c8=90°,C￡>是AB邊上的高，AE是254C的角平分

線，AE與CO交于點F,求證：4CE尸是等腰三角形.

解析：根據直角三角形兩銳角互余求得/ABE=N4C￡),然后根據三角形外角的性質求

得NCEF=NCFE,根據等角對等邊求得CE=CF,從而求得△(；￡1尸是等腰三角形.

解：：在△ABC中，ZACB=90°,二NB+/BAC=90°CO是AB邊上的高，

ZACD+ZBAC=90°,；.NB=NACD是NBAC的角平分線，AZBAE=ZEAC,

：.ZB+ZBAE^ZAEC,ZACD+ZEAC^ZCFE,即NCEF=NCFE,：.CE=CF,.*.△

CE尸是等腰三角形.

方法總結：”等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據，是先有角相等再有邊相等，

只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結論不一定成立.

［類型三］等腰三角形性質和判定的綜合運用

A

碰J如圖，在△ABC中，48=4C,點。、E、尸分別在AB、BC、AC邊上，且BE=

CF,BD=CE.

(1)求證：△。歷是等腰三角形；

(2)當/A=50°時，求NOEF的度數.

解析：(1)根據等邊對等角可得NB=/C,利用“邊角邊”證明△8OE和△CEF全等，

根據全等三角形對應邊相等可得。E=EF,再根據等腰三角形的定義證明即可；(2)根據全等

三角形對應角相等可得NBOE=NCE￡然后求出/BM+NCEF=NBEZ)+/BOE,再利

用三角形的內角和定理和平角的定義求出NDEF.

BD=CE,

(1)證明："：AB=AC,，NB=NC.在△BDE和△<?￡；/中，ZB=ZC,:.ABDE”

、BE=CF,

ACEF(SAS),：.DE=EF,△OEF是等腰三角形；

⑵解：:ABDE/ACEF,：.ZBDE=ZCEF,：.ZBED+ZCEF=ABED+

/BDE.?:NB+NBDE=ZDEF+NCEF,：.ZB^ZDEF.'：ZA==50°,AB=AC,ZB

=1x(180°-50°)=65°,:.NDEF=65：

方法總結：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是

證明線段相等、角相等的重要手段.

探究點二：反證法

【類型一】假設

頤1用反證法證明命題"三角形中必有一個內角小于或等于60°”時，首先應假設這

個三角形中（）

A.有一個內角大于60。

B.有一個內角小于60°

C.每一個內角都大于60。

D.每一個內角都小于60。

解析：用反證法證明命題時，應先假設結論不成立，所以可先假設三角形中每一個內角

都不小于或等于60。，即都大于60。.故選C.

方法總結：在假設結論不成立時，要注意考慮結論的反面所有可能的情況，必須把它全

部否定.

［類型二］用反證法證明一個命題

硝求證：△ABC中不能有兩個鈍角.

解析：用反證法證明，假設△ABC中能有兩個鈍角，得出的結論與三角形的內角和定

理相矛盾，所以原命題正確.

證明：假設aABC中能有兩個鈍角，即NA<90°,ZB>90°,ZC>90°,

所以/4+/8+NC>180°,與三角形的內角和為180°矛盾，所以假設不成立，因

此原命題正確，即aABC中不能有兩個鈍角.

方法總結：本題結合三角形內角和定理考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及

步驟.反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾；（3）假設不成立，則

結論成立.在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況.如果只有一種，那

么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

三、板書設計

1.等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）.

2.反證法

（1）假設結論不成立；

（2）從假設出發推出矛盾；

（3）假設不成立，則結論成立.

歙魏恩

解決幾何證明題時，應結合圖形，聯想我們已學過的定義、公理、定理等知識，尋找結論成

立所需要的條件.要特別注意的是，不要遺漏題目中的已知條件.解題時學會分析，可以采

用執果索因（從結論出發，探尋結論成立所需的條件）的方法.

第4課時等邊三角形的判定及含30°角的直角三角形的性

質

1.學習并掌握等邊三角形的判定方法，能夠運用等邊三角形的性質和判定解決問題；（重

點、難點）

2.理解并掌握含30°角直角三角形的性質，能靈活運用其解決有關問題.（難點）

一、情境導入

觀察下面圖形:

師：等腰三角形中有一種特殊的三角形，你知道是什么三角形嗎？

生：等邊三角形.

師：對，等邊三角形具有和諧的對稱美.今天我們來學習等邊三角形，引出課題.

二、合作探究

探究點一：等邊三角形的判定

［類型一］三邊都相等的三角形是等邊三角形

@D已知a,6,c是△ABC的三邊，且滿足關系式J+c2=2浦+2a一2層,試說明AABC

是等邊三角形.

解析：把已知的關系式化為兩個完全平方的和等于0的形式求解.

解：移項得a2+c2—2ab—2〃c+2/=0,

/+/—2ab+c?—2bc+『=0,

：.（a-h）2+（b~c）2=0,

...a-b=0且b—c=0,即4=6且6=0,

??c.

故△ABC是等邊三角形.

方法總結：（1）幾個非負數的和為零，那么每一個非負數都等于零；（2）有兩邊相等的三

角形是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

［類型二］三個角都是60。的三角形是等邊三角形

畫?如圖，在等邊△ABC中，/ABC與NACB的平分線相交于點O,iLOD//AB,OE

〃/1C試判定△OCE的形狀，并說明你的理由.

解析：根據平行線的性質及等邊三角形的性質可得/OQ￡=NOEQ=60°,再根據三

角形內角和定理得/OOE=60°,從而可得△OOE是等邊三角形.

解：△ODE是等邊三角形，

理由如下：:△ABC是等邊三角形，...NABC=NACB=60°.

\'OD//AB,OE//AC,：.ZODE=ZABC=60°,ZOED=ZACB=60°.

AZDOE=180°一/OOE—NOE。=180°—60°—60°=60°.

:.NDOE=NODE=NOED=60；

二△ODE是等邊三角形.

方法總結：證明一個三角形是等邊三角形時，如果較易求出角的度數，那么就可以分別

求出這個三角形的三個角都等于60°,從而判定這個三角形是等邊三角形.

［類型三］有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形

碰J如圖，在△E8O中，EB=ED,點、C在BD上,CE=CD,BELCE,A是CE延長

線上一點，AB=8C.試判斷△ABC的形狀，并證明你的結論.

解析：由于EB=ED,CE=CD,根據等邊對等角及三角形外角性質，可求得

NECB.再由8E_LCE,根據三角形內角和定理，可求得NECB=60°.又從而得

出△A8C是等邊三角形.

解：△ABC是等邊三角形.

理由如下：,:CE=CD,:./CED=ND.

又,//ECB=/CED+ZD.：.NECB=2ND.

'：BE=DE,：.NCBE=ND.：.NECB=2NCBE.：.NCBE=?ECB.

\'BE1CE,.,.NCEB=90°.

又,.,/ECB+NCBE+/CEB=180°,AZECB+|z￡C￡?+90°=180°,AZECB=

60°.

又?.?AB=8C,.'△ABC是等邊三角形.

方法總結：(1)已知一個三角形中兩邊相等，要證明這個三角形是等邊三角形，有兩種

思考方法：①證明另一邊也與這兩邊相等；②證明這個三角形中有一個角等于60。.(2)已知一

個三角形中有一個角等于60。，要證明這個三角形是等邊三角形，有兩種思考方法：①證明

另外兩個角也等于60。；②證明這個三角形中有兩邊相等.

探究點二：含30°角的直角三角形的性質

［類型—］利用含30°角的直角三角形的性質求線段長

40B

頤J如圖，在Rt/LABC中，ZACB=90°,NB=30°,CQ是斜邊A8上的高，AD

=3cm,則AB的長度是（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

解析：在RtZ\ABC中，：C￡>是斜邊AB上的高，；.NAOC=90°,AZACD=ZB=

30°.在RtAACD中,AC=2AD=6cm,在RtZXABC中，A8=2AC=12cm.AAB的長度是12cm.

故選D.

方法總結：運用含30。角的直角三角形的性質求線段長時，要分清線段所在的直角三

角形.

［類型二］與角平分線有關的綜合運用

H0如圖，NAOB=30°,OP平分/AOB,PC〃。/1交OB于C,PO1.OA于。，若

PC=3,則PQ等于()

A.3B.2

C.1.5D.1

DA

解析：如圖，過點P作PEA.OB于E,'：PC//OA,：.ZAOP=ZCPO,：.NPCE=NBOP

+NCPO=NBOP+/AOP=30°.又；PC=3,.*.PE=￡PC=TX3=15；NA0P=NB0P,

OP=OP,ZOEP=ZODP,：./\OPE^/\ODP,；.PQ=PE=1.5.故選C.

方法總結：含30°角的直角三角形與角平分線的綜合運用時，關鍵是尋找或作輔助線

構造含30°角的直角三角形.

［類型三］利用含30°角的直角三角形解決實際問題

某市在“舊城改造”中計劃在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以

美化環境，已知4c=50m,AB=40m,N8AC=150°,這種草皮每平方米的售價是a元，

求購買這種草皮至少需要多少元？

解析：作BZ)_LCA交CA的延長線于點。.在RtZXABQ中，利用30°角所對的直角邊是

斜邊的一半求B。，即△ABC的高.運用三角形面積公式計算面積求解.

解：如圖所示，過點B作BC_LCA交CA的延長線于點D；/8AC=150°,

2

=30°.；AB=40m,：.BD=^AB^2Qm,：.S&ABC^X50X20=500(m).?這種草皮每平

方米a元，.?.一共需要5004元.

方法總結：解此題的關鍵在于作出CA邊上的高，根據相關的性質求8。的長，正確的

計算出aABC的面積.

三、板書設計

1.等邊三角形的判定

三邊都相等的三角形是等邊三角形；

三個角都是60°的三角形是等邊三角形；

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

2.含30°角的直角三角形的性質

在直角三角形中，如果一個銳角是30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

本節課借助于教學活動的展開，有效地激發了學生的探究熱情和學習興趣，從而引導學生通

過自主探究以及合作交流等活動探究并歸納出本節課所學的新知識，有助于學生思維能力的

提高.不足之處是部分學生綜合運用知識解決問題的能力還有待于在今后的教學和作業中進

一步的訓練得以提高.

1.2直角三角形

第1課時直角三角形的性質與判定

中均為直角三角形，D選項中/A=/8=

3NC,即7ZC=180",三個角沒有90°

1.復習直角三角形的相關知識，歸納角，故不是直角三角形.故選D.

并掌握直角三角形的性質和判定；方法總結：在判定一個三角形是否為直

2.學習并掌握勾股定理及其逆定理，角三角形時要注意直角三角形中有一個內

能夠運用其解決問題.（重點，難點）角為90°.

［類型二］直角三角形的性質的應用

（3B如圖①，/\ABC中，ADVBC于

D,CE_L4B于E.

一、情境導入

古埃及人曾經用下面的方法畫直角：將

一根長繩打上等距離的13個結，然后按如

圖所示的方法用樁釘釘成一個三角形，他們

認為其中一個角便是直角.你知道這是什么

道理嗎？（1）猜測N1與N2的關系，并說明理由.

（2）如果NA是鈍角，如圖②，（1）中的結

論是否還成立？

解析：（1）根據垂直的定義可得

和△BCE都是直角三角形，再根據直角三角

形兩銳角互余可得/l+/B=90°,N2+

NB=90°,從而得解；（2）根據垂直的定義

二、合作探究可得ND=NE=90°,然后求出N1+N4

探究點一：直角三角形的性質與判定=90°,N2+N3=90°,再根據N3、Z4

［類型一］判定三角形是否為直角三是對頂角解答即可.

角形解：⑴N1=/2.；AOJ_8C,CE1.AB,

?B具備下列條件的aABC中，不是...△A8O和△8CE都是直角三角形，.INI

直角三角形的是（）+NB=90°,Z2+ZB=90°,Z1=

A.NA+NB=/CZ2；

B.Z4-ZB=ZC（2）結論仍然成立.理由如下：

C.ZA：ZB：NC=1：2：3'：BD±AC,CE±AB,：.ZD^ZE=90°,

D.ZA=ZB=3ZC.,.Zl+Z4=90°,N2+N3=90°,VZ

解析：由直角三角形內角和為180°求3=/4（對頂角相等），；./1=/2.

得三角形的每一個角的度數，再判斷其形方法總結：本題考查了直角三角形的性

狀.A中即2NC=180°,質，主要利用了直角三角形兩銳角互余，同

ZC=90°,為直角三角形，同理，B,C角或等角的余角相等的性質，熟記性質是解

題的關鍵.解：此題應分兩種情況進行討論:

探究點二：勾股定理A

［類型—］直接運用勾股定理

(1)⑵

(1)當△ABC為銳角三角形時，在RtA

??己知：如圖，在△A8C中，ZACB48。中，BD=7AB，-AD?=715)—12?=9,

=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD，AB在Rt△ACD中，CD=yjAC2-AD2=

于。求：^/132-122=5,ABC=BD+CD=5+9=

(1)AC的長；14,.,.△ABC的周長為15+13+14=42；

(2)SAABC；(2)當AABC為鈍角三角形時，在RtA

(3)C。的長.ABQ中，BD=^/AB2-AD2=^/152-122=9.

解析：(1)由于在△ABC中，ZACB=在Rl△ACD中，CD=y/ACf-AD2=

90°,AB=13cm,BC=5cm,根據勾股定^/132-122=5,；.BC=9-5=4,.;△ABC

理即可求出AC的長；(2)直接利用三角形的的周長為15+13+4=32.

面積公式即可求出SAMC；(3)根據CDAB=,當△ABC為銳角三角形時，△A8C

8cAe即可求出CD.的周長為42；當△ABC為鈍角三角形時，

解：(1);?在△ABC中，ZACB=90°,△ABC的周長為32.

AB=13cm,8c=5cm,.,.AC^A^-BC2^方法總結：在題目未給出具體圖形時，

12cm；應考慮三角形是銳角三角形還是鈍角三角

12形，凡符合題設的情況都要考慮，體現了分

(2)SZ2SA8C=1C3,AC=30cm-；

類討論思想，這是解無圖幾何問題的常用方

(3)：SAA8C=；AC-BC=^CD-AB,：.法.

探究點三：勾股定理的逆定理

［類型一］判斷三角形的形狀

如圖，正方形網格中有△ABC,

方法總結：解答此類問題，一般是先利若小方格邊長為1,則AABC的形狀為

用勾股定理求出第三邊，利用兩種方法表示)

出同一個直角三角形的面積，然后根據面積

相等得出一個方程，再解這個方程即可.

［類型二］分類討論思想在勾股定理

中的應用

?D在△A8C中，AB=\5,AC=13,

BC邊上的高AO=12,試求△ABC周長.A.直角三角形

解析：本題應分兩種情況進行討論：(1)B.銳角三角形

當ZXABC為銳角三角形時，在RtAABD和C.鈍角三角形

RtAACD中，運用勾股定理可將8。和CDD.以上答案都不對

的長求出，兩者相加即為BC的長，從而可解析：?.?正方形小方格邊長為1,：.BC

將△ABC的周長求出：(2)當△4BC為鈍角=A/42+62=2VT3,AC=yj22+3>i=y［u,AB

三角形時，在RtAABZ)和RtAACD中，運=、1+82=癰.在△ABC中,-：BC2+AC2

用勾股定理可將8。和C￡>的長求出，兩者=52+13=65,AB2=65,：.BC2+ACi=

相減即為BC的長，從而可將△ABC的周長AB2,.'.△ABC是直角三角形.故選A.

求出.方法總結：要判斷一個角是不是直角，

先要構造出三角形，然后知道三條邊的大NACZ)=90。,.'S四邊舷4BCD=SZXABC+SAACD

小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的=1x6X8+|x10X24=144.

平方比較，如果相等，則三角形為直角三角

形；否則不是.方法總結：此題將求四邊形面積的問題

［類型二］利用勾股定理的逆定理證轉化為求兩個直角三角形面積和的問題，既

明垂直關系考查了對勾股定理逆定理的掌握情況，又體

畫13如圖，在正方形A8C。中，AE=現了轉化思想在解題時的應用.

EB,AF=^AD,求證：CEVEF.探究點四：互逆命題與互逆定理

M寫出下列各命題的逆命題，并判

斷其逆命題是真命題還是假命題.

(1)兩直線平行，同旁內角互補；

(2)垂直于同一條直線的兩直線平行；

(3)相等的角是內錯角；

證明：連接CF,設正方形的邊長為4.(4)有一個角是60°的三角形是等邊三

,??四邊形ABC。為正方形，."8=BC=C￡>角形.

=D4=4.;點E為AB中點，AF=^AD,解析：分別找出各命題的題設和結論將

其互換即可.

AE=BE=2,AF=\,。尸=3.由勾股定理得解：(1)同旁內角互補，兩直線平行.真

￡^=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2=命題；

42+32=25.V￡F2+￡C2：=FC2,:.ACFE是(2)如果兩條直線平行，那么這兩條直線

直角三角形，：.ZFEC=90°,即EF_LCE.垂直于同一條直線(在同一平面內).真命題；

方法總結：利用勾股定理的逆定理可以(3)內錯角相等.假命題；

判斷一個三角形是否為直角三角形，所以此(4)等邊三角形有一個角是60°.真命

定理也是判定垂直關系的一個主要方法.題.

［類型三］運用勾股