第五章二元一次方程組

本/章/整/體/說/課

'、教學(xué)目標(biāo)

修知識(shí)寫技能」

1.了解二元一次方程（組）的有關(guān)概念,會(huì)解簡(jiǎn)單的二元一次方程組

（數(shù)字系數(shù)）；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決簡(jiǎn)

單的實(shí)際問題,并能檢驗(yàn)解的合理性.

2.體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程、二元一次方程組的關(guān)系,會(huì)利用待

定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式.

*過程,舒青

經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程（組）的過程，體會(huì)方程的模型

思想,發(fā)展靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用

意識(shí).

了解解二元一次方程組和三元一次方程組的“消元思想”，從而初步

理解化未知為已知和化復(fù)雜問題為簡(jiǎn)單問題的化歸思想.

?教材分析

一、《標(biāo)準(zhǔn)》要求

1.探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,掌握用方程、函數(shù)進(jìn)行表

述的方法,體會(huì)模型的思想,建立符號(hào)意識(shí).

2.初步學(xué)會(huì)在具體的情境中能從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并

綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí),提高實(shí)

踐能力.

3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程,體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界

數(shù)量關(guān)系的有效模型.

4.掌握代入消元法和加減消元法,能解二元一次方程組.

5.能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組.

6.體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系.

7.會(huì)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式.

二、教材分析

具體地,第1節(jié)通過豐富的實(shí)例，建立二元一次方程和二元一次方程

組,讓學(xué)生觀察歸納出二元一次方程和二元一次方程組的有關(guān)概念,并從

中體會(huì)方程的模型思想.第2節(jié),順理成章地給出現(xiàn)實(shí)問題的解答,進(jìn)而通

過具體方程總結(jié)出求解二元一次方程組的兩種基本方法一一代入消元法、

加減消元法.第3~5節(jié)再次通過幾個(gè)問題情境,進(jìn)行列二元一次方程組解

決實(shí)際問題的訓(xùn)練.這樣,一方面,在列方程組的建模過程中，強(qiáng)化了方程

的模型思想,培養(yǎng)了學(xué)生列方程解決現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)和能力；另一方面,將

解方程組的技能訓(xùn)練與實(shí)際問題的解決融為一體，在實(shí)際問題的解決過程

中提高學(xué)生的解題技能.第6節(jié)通過對(duì)二元一次方程、二元一次方程組與

一次函數(shù)關(guān)系的討論,建立方程與函數(shù)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度看

待二元一次方程和二元一次方程組.第7節(jié)通過待定系數(shù)法,利用二元一

次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式.第8節(jié)作為選學(xué)內(nèi)容介紹三元一次方程

組的基本解法.

&教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

1.二元一次方程組的解法.

2.二元一次方程組在生活中的應(yīng)用.

【難點(diǎn)】一次函數(shù)與二元一次方程、二元一次方程組的關(guān)系.

?教學(xué)建議

1.教學(xué)要注意與一元一次方程的類比,讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)二元一次方程

組的必要性,結(jié)合自己已有的解一元一次方程的經(jīng)驗(yàn),探索二元一次方程

組的解法，體會(huì)消元、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

2.教學(xué)內(nèi)容的選取和呈現(xiàn)要關(guān)注現(xiàn)實(shí)意義和學(xué)生的興趣,充分利用學(xué)

生已有經(jīng)驗(yàn),盡量創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生自主探究的課堂氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生合作探

究,提倡用學(xué)生的智慧解決學(xué)生的問題.

3.關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能的理解和應(yīng)用.對(duì)知識(shí)與技能的評(píng)價(jià),應(yīng)重

視學(xué)生的理解和在新情境中的應(yīng)用，如考查學(xué)生能否根據(jù)實(shí)際問題正確地

建立模型,能否選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M,解方程組正確與否，能

否檢驗(yàn)求得結(jié)果的合理性.

4.關(guān)注學(xué)生列方程解決實(shí)際問題的意識(shí)、水平及在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn),

注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).例如,讓學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的形式分析一下

開放性的問題,并說出心得體會(huì),在學(xué)生的交流中對(duì)其進(jìn)行評(píng)價(jià);讓學(xué)生自

主地觀察生活實(shí)際,并據(jù)此編制有關(guān)應(yīng)用問題,從學(xué)生所編制的應(yīng)用問題

中評(píng)判其應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用水平.

a課時(shí)劃分

1課

1認(rèn)識(shí)二元一次方程組

時(shí)

2課

2求解二元一次方程組

時(shí)

3應(yīng)用二元一次方程組一1課

一雞兔同籠時(shí)

4應(yīng)用二元一次方程組一1課

一增收節(jié)支時(shí)

5應(yīng)用二元一次方程組一1課

一里程碑上的數(shù)時(shí)

6二元一次方程與一次函1課

數(shù)時(shí)

7用二元一次方程組確定1課

一次函數(shù)表達(dá)式時(shí)

1課

*8三元一次方程組

時(shí)

回顧與思考1課

時(shí)

課/時(shí)/教/學(xué)/詳/案

1認(rèn)識(shí)二元一次方程組

區(qū)L整體設(shè)寸

?教學(xué)目標(biāo)

”知識(shí)寫技能.

通過實(shí)例了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念,并會(huì)判

斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解.

嚙鶻法罷.

發(fā)展學(xué)生的歸納、觀察和概括的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解

決實(shí)際問題的能力.

激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)他們勇于探索的精神.

士教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】對(duì)二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關(guān)概念的理

解,并會(huì)判斷二元一次方程組的解.

【難點(diǎn)】對(duì)二元一次方程及二元一次方程組的解的個(gè)數(shù)的判斷.

教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】預(yù)設(shè)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的問題.

【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)一元一次方程的有關(guān)概念.

日教學(xué)過程

JT新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：

每塊餅干的質(zhì)量是X克,每顆糖果的質(zhì)量是y克,小明拿了一個(gè)等臂天

平,在左邊秤盤放兩塊餅干,右邊秤盤放三顆糖果,結(jié)果天平兩臂平衡，當(dāng)

在左邊秤盤里又放了三塊餅干,右邊秤盤里又放了四顆糖果時(shí)一，天平并沒

有平衡，只好在右邊秤盤里又加了1克的祛碼才使得天平平衡.上面的例

子中，可以得到兩個(gè)方程是2x=3y和5x=7y+l,怎樣看待這兩個(gè)方程呢?它

們的解有什么實(shí)際意義？

導(dǎo)入二：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程,你能舉一個(gè)一元一次方程的例子嗎？

生：（輕松回答）3x+4=5x,0.5x=3.

師:很好!那么什么是一元一次方程？

生:含有一個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫一元

一次方程.

師:非常準(zhǔn)確!從這節(jié)課開始我們將進(jìn)一步來學(xué)習(xí)有關(guān)方程的問題.我

們都知道牛和馬是人類最忠誠的幫手,在那個(gè)非機(jī)械化的年代,是它們?yōu)?/p>

我們馱運(yùn)貨物，幫助農(nóng)民耕地……活干多了，牢騷也來了.請(qǐng)同學(xué)們看下面

的故事，同時(shí)請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)來為它們配音.（多媒體出示）

（顯示對(duì)話,老牛與小馬，學(xué)生配音）

老牛喘著氣吃力地說：''累死我了.”小馬說：“你還累，這么大的個(gè),

才比我多馱了2個(gè).”老牛氣喘吁吁地說：“哼,我從你背上拿來1個(gè),我的

包裹數(shù)就是你的2倍！”小馬不相信地說：“真的？！”

生：（笑）……

師:兩位同學(xué)表演得很不錯(cuò)，請(qǐng)同學(xué)們想一想它們?cè)跔?zhēng)論什么呢？

生:它們?cè)跔?zhēng)論誰的包裹多.

師:對(duì),那么你能用數(shù)學(xué)知識(shí)幫助它們解決這個(gè)問題嗎？

讓每個(gè)學(xué)習(xí)小組討論（討論2分鐘,然后發(fā)言）.教師注意引導(dǎo)學(xué)生設(shè)

兩個(gè)未知數(shù),從而得出兩個(gè)二元一次方程.

師:題目中等量關(guān)系有幾個(gè)?你是如何得到的？

生：2個(gè)等量關(guān)系.

依據(jù)老牛的包裹數(shù)比小馬多2個(gè)得到:老牛馱的包裹數(shù)-小馬馱的包

裹數(shù)=2個(gè).依據(jù)老牛從小馬背上拿來1個(gè)包裹,這時(shí)老牛馱的包裹數(shù)是小

馬馱的2倍得到:老牛馱的包裹數(shù)+1=（小馬馱的包裹數(shù)-1）X2.

師:你能設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)列出相應(yīng)的方程嗎?請(qǐng)大家寫下來.

生：（板演）設(shè)老牛馱了x個(gè)包裹，小馬馱了y個(gè)包裹.根據(jù)題意得

x-y=2,x+l=2(y-1).

［設(shè)計(jì)意圖］以動(dòng)漫的形式引出方程問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,讓學(xué)

生再次經(jīng)歷建模的同時(shí)，以相對(duì)輕松的狀態(tài)進(jìn)入后面的學(xué)習(xí).通過自主探

究來認(rèn)識(shí)體會(huì)二元一次方程建模思想的過程,也是學(xué)生完成從一元到多元

的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化過程.

陷新知構(gòu)建

［過渡語］我們以前學(xué)過的方程都是含有一個(gè)未知數(shù)的，如果方程中

含有兩個(gè)未知數(shù),這樣的方程是怎樣的呢？

一、認(rèn)識(shí)二元一次方程

思路一

出示教材第103頁上半頁情境圖，師生交流.

①怎樣列一元一次方程解決這個(gè)問題呢？

生1：設(shè)老牛馱了x個(gè)包裹,則有2(x-3)=x+l.

生2:設(shè)小馬馱了x個(gè)包裹,則有2(x-l)=x+3.

②如果設(shè)兩個(gè)未知數(shù),怎樣解決這個(gè)問題呢？

設(shè)老牛馱了x個(gè)包裹，小馬馱了y個(gè)包裹.老牛馱的包裹數(shù)比小馬馱的

多了2個(gè)，由此你能得到怎樣的方程？

生：x-2=y.

若老牛從小馬背上拿來1個(gè)包裹,這時(shí)老牛的包裹數(shù)是小馬的2倍，

由此你又能得到怎樣的方程？

生：x+l=2(yT).

③怎樣列出教材第104頁引例中的方程？

生：x+y=8,5x+3y=34.

小結(jié):含有兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫

做二元一次方程.

思路二

大家觀察下面的5個(gè)方程,是我們學(xué)過的一元一次方程嗎？

360x+720y=17280;x-y=2;x+l=2（y-1）;x+y=8;5x+8y=34.

生:不是.

師:與一元一次方程的特征相比較我們可以給它們?nèi)∫粋€(gè)什么名稱

呢？

生:二元一次方程！

師:很好,請(qǐng)同學(xué)們找出二元一次方程有什么特征？

生1：含有兩個(gè)未知數(shù).

生2:未知數(shù)的次數(shù)是1.

生3:方程兩邊都是整式.

（多媒體同一頁顯示,便于學(xué)生逐條比較）

師:對(duì)于方程xy+8=5x,大家認(rèn)為是二元一次方程嗎？（學(xué)生認(rèn)識(shí)不統(tǒng)

一,有說是,有說不是）xy（多媒體用紅色圈出）這個(gè)項(xiàng)的次數(shù)是幾？（學(xué)生有

的說是2,有的說是1.此時(shí)老師加以糾正,單項(xiàng)式的次數(shù)是單項(xiàng)式中所有

字母的指數(shù)和，因此項(xiàng)xy次數(shù)為2,原方程不是二元一次方程）

師:我們應(yīng)將“未知數(shù)的次數(shù)是1”更正為什么？

生:含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1.

師:很好,現(xiàn)在大家知道什么叫二元一次方程了嗎？

生:含有兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做

二元一次方程.

（多媒體顯示二元一次方程的概念,并讓學(xué)生加以鞏固）

［設(shè)計(jì)意圖］為了讓學(xué)生盡快理解新知識(shí),教學(xué)通過類比的方法，引

導(dǎo)學(xué)生與一元一次方程相比較,逐步理解二元一次方程的概念，同時(shí)培養(yǎng)

學(xué)生歸納概括能力.

師:兩人一組,分別寫出幾個(gè)方程,讓另一位同學(xué)判斷是不是二元一次

方程.

（學(xué)生迅速出題,然后互相判斷，很多小組出現(xiàn)爭(zhēng)執(zhí),場(chǎng)面非常活躍,教

師巡視,對(duì)出現(xiàn)的爭(zhēng)執(zhí)及時(shí)給予評(píng)判）

［知識(shí)拓展］1.二元一次方程還可以定義為:在方程中有兩個(gè)未知數(shù),

未知數(shù)與未知數(shù)之間沒有乘法、除法運(yùn)算,并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,像這

樣的方程叫做二元一次方程.

2.本節(jié)課常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是對(duì)二元一次方程的概念理解不準(zhǔn)確,其表現(xiàn)

形式有兩種:一種是把“含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1”理解為“每個(gè)未知

數(shù)的次數(shù)都是1"，誤認(rèn)為xy+2=0也是二元一次方程，另一種是遇到含有

字母系數(shù)的方程時(shí)，容易忽略“未知數(shù)的系數(shù)不等于零”這個(gè)隱含條件，

如二元一次方程ax+y=6中aWO這個(gè)條件.

（含有兩個(gè)未知數(shù)，

3.二元一次方程滿足的條件1含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1,

（整式方程.

二、認(rèn)識(shí)二元一次方程組

問題1

在前面的實(shí)際問題中，這兩個(gè)方程中x的含義相同嗎?分別是什么含

義?y呢？

問題2

若X,y同時(shí)滿足這兩個(gè)方程,用什么方式把這兩個(gè)方程聯(lián)立起來，即

寫成什么形式呢？

問題3

如果兩個(gè)方程中相同字母所代表的含義相同，把它們聯(lián)立起來,就組

成了二元一次方程組，你能歸納出二元一次方程組的概念嗎？

問題4

根據(jù)二元一次方程組的概念回答問題：

①二元一次方程組中每個(gè)方程都必須是二元一次方程嗎？

②一次方程指的是“含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1”還是“各個(gè)未知數(shù)的

次數(shù)是1”？

③二元一次方程組中一定只能含有兩個(gè)一次方程嗎？

［處理方式］學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論交流，小組代表發(fā)言.教師適

時(shí),逐步總結(jié)出二元一次方程組的定義（含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程

所組成的一組方程叫做二元一次方程組）.強(qiáng)調(diào)定義中的兩個(gè)未知數(shù)是指

兩個(gè)方程共含兩個(gè)未知數(shù),一次方程可以是一元一次方程,也可以是二元

一次方程.性語言例如:成為二元一次方程組應(yīng)滿足幾個(gè)條件？

根據(jù)上面的定義分別判斷這樣的兩個(gè)方程

組：⑴1一。二乙Q⑵嗎?：白是不是二元一次方程組?讓學(xué)生對(duì)

二元一次方程組的定義進(jìn)行再認(rèn)識(shí).

［設(shè)計(jì)意圖］將方程返回實(shí)際問題中理解研究,體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活實(shí)際

的聯(lián)系.通過一個(gè)個(gè)問題的設(shè)計(jì)，將二元一次方程組的概念進(jìn)行解剖，幫助

學(xué)生理解概念.

［知識(shí)拓展］1.二元一次方程組的概念也不是嚴(yán)格的定義.例如:①

K=7;2,②圖力y=6;③窗：6.這三個(gè)方程組都是二元一次

方程組，其中方程組②中的第一個(gè)方程只有一個(gè)未知數(shù);方程組③中的兩

個(gè)方程也都分別只有一個(gè)未知數(shù),但它們?nèi)匀欢际嵌淮畏匠探M.為了

更好地識(shí)別一個(gè)方程組是不是二元一次方程組,我們可以這樣敘述:在一

個(gè)方程組中,共有2個(gè)未知數(shù),并且每個(gè)方程都是一次方程,這樣的方程組

就是二元一次方程組.

2.事實(shí)上,共含有兩個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)二元一次方程組成的方程組都是

二元一次方程組,而我們最常見的是兩個(gè)二元一次方程組成的方程組.

三、二元一次方程和二元一次方程組的解

思路一

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的

一個(gè)解.如x=6,y=2是方程x+y=8的一個(gè)解，記作［二同樣二也是

方程x+y=8的一個(gè)解.

二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的

解.

例如::3就是二元一次方程組1：；3插234的解.

思路二

(l)x=6,y=2適合方程x+y=8嗎？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你還能找出

適合方程x+y=8的x,y的值嗎？

(2)x=5,y=3適合5x+3y=34嗎?x=2,y=8呢？

(3)你能找到一組x,y的值，同時(shí)適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎？

生1:x=6,y=2適合二元一次方程x+y=8;x=5,y=3;x=4,y=4都適合，還

有x=0,y=8;x=-l,y=9...

生2:x=5,y=3適合二元一次方程5x+3y=34;x=2,y=8也適合.

(多媒體出示)適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二

元一次方程的一個(gè)解.

師:x=6,y=2是二元一次方程x+y=8的一個(gè)解，記作二::同時(shí)

產(chǎn)=?也是二元一次方程x+y=8的一個(gè)解.大家說二元一次方程有多少個(gè)

(y=3

解呢?

生1:很多個(gè).

生2:無數(shù)個(gè)！

（師強(qiáng)調(diào):二元一次方程的一個(gè)解不是一個(gè)值,而是一對(duì)值;一般地,二

元一次方程有無數(shù)個(gè)解）

師:剛才我們找出二元一次方程的解,那么有沒有一組x,y的值同時(shí)

適合這兩個(gè)方程呢？

生:產(chǎn)=?’同時(shí)適合這兩個(gè)方程.

（y=3

（多媒體出示概念）二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二

元一次方程組的解.（給兩分鐘時(shí)間鞏固理解概念）

［知識(shí)拓展］1.二元一次方程組的解是一對(duì)數(shù),要將這對(duì)數(shù)代入方程

組中的每一個(gè)方程進(jìn)行檢驗(yàn),這對(duì)數(shù)只有滿足方程組中的每一個(gè)方程,這

對(duì)數(shù)才能是這個(gè)方程組的解.

2.一般情況下,二元一次方程的解有無數(shù)個(gè),而二元一次方程組的解

是唯一的.但當(dāng)對(duì)二元一次方程的解加以限制時(shí)也可能變?yōu)橛邢迋€(gè)了，如

x+y=2的正整數(shù)解只有［二

■課堂小結(jié)

：

認(rèn)注意

方

一次

二元

式；

是整

數(shù)式

的代

號(hào)兩邊

識(shí)(1)等

一

二元

程和

；

知數(shù)

個(gè)未

有兩

二(2)含

程組

次方

1

數(shù)是

的次

的項(xiàng)

知數(shù)

含未

元(3)所

一

次

方

一次

二元

，一個(gè)

般地

方(1)一

方

一次

二元

；

個(gè)解

無數(shù)

程程有

二

解和

組程的

一定

的解

程組

次方

元一

(2)二

程

次方

元一

方程

一個(gè)

任何

中的

程組

是方

解

組的

不成立

；反之

的解

測(cè)反饋

巨檢

)

是(

程的

次方

元一

，是二

項(xiàng)中

列選

1.下

xy=9

B.

3y=2

A.7x+

=2

.-

11D

2y2=

C.x+

2x-y

最高

項(xiàng)的

2,C選

數(shù)為

的次

選項(xiàng)

義,B

的定