專題16.2二次根式的乘除【九大題型】

【人教版】

【題型1求字母的取值范圍】....................................................................1

【題型2二次根式乘除的運算】.................................................................2

【題型3二次根式的符號化簡】.................................................................3

【題型4最簡二次根式的判斷】.................................................................5

【題型5化為最簡二次根式】...................................................................6

【題型6己知最簡二次根式求參數】.............................................................7

【題型7分母有理化】..........................................................................8

【題型8比較二次根式的大小】................................................................10

【題型9分母有理化的應用】...................................................................11

”如聲三

【知識點1二次根式的乘除法則】

①二次根式的乘法法則：Vay/b=Va7b(a>0,b>0)；

②積的算術平方根：=Vb(a>0,b>0)；

③二次根式的除法法則：親=Jj(a>0tb>0)；

④商的算術平方根：^=1(a>0,b>0).

【題型1求字母的取值范圍】

【例I】(2022春?趙縣校級月考)若要使等式房=嗎成立，則x的取值范圍是x>8.

【分析】直接利用二次根式的性質進而得出關于X的不等式經求出答案.

【解答】解：:等式后=魯成立，

.產0

**(x-8>0，

則x的取值范圍是：x>8.

故答案為：￡>8.

【變式1-1】(2022秋?犍為縣校級月考)已知-3).(r-2)=?VFTL使等式成立的x的取

值范圍是-2W/W3.

【分析】根據二次根式的性質得出關于X的不等式組，進而求出答案.

[解答]解：??,?%—3）.—2）=后耳.VFFI,

.（3-x>0

，,tx+2>0，

解得：?2?.

故答案為：-2WxW3.

【變式1-2]（2022秋?南崗區期末）能使等式檸=等成立的x的取值范圍是（）

A.Q0B.x20C.x>2D.在2

【分析】根據二次根式和分式有意義的條件進行解答即可.

【解答】解：由題意得：

[%-2>0

U>0

解得：Q2,

故選：D.

【變式13X2022?寶山區校級月考）已知實數x滿足，2/一任』?、/1",則乙的取值范圍是0WxW2.

【分析】依據二次根式被開方數大于等于。和必（。20）列不等式組求解即可.

【解答】解：?.?原式=J（2-=x?V2-x,

且2-自）.

解得：0Wx<2.

故答案為：0?.

【題型2二次根式乘除的運算】

【例2】（2022?長寧區期中）計算：

⑴5品?攝3府;

⑵2.5cg

【分析】（1）利用二次根式的乘法法則計算即可.

（2）根據二次根式的混合運算法則計算即可.

【解答】解：（1）原式=5x稱x3x3后=竽.

（2）原式=2x，x導6x12=軍.

【變式2-1]（2022?長寧區期中）計算：2J京兄麻?倔滔.

【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則化簡求出答案.

【解答】解：原式=2X6伍x住x87n3

Y3m6m

=8V2m.

【變式2-2]（2022?青浦區校級月考）計算：:歷+（—京4）?（—*"?）（亡＞0）.

【分析】根據二次根式的乘除法運算法則進行計算.

【解答】解：OO,工尸20,

???盧0,

工原式=三Jxy3?（-yj|）?（-W%3y）

=-2y2*（-W%3y）

=（一次何）

二￡/y后.

【變式2-3]（2022?浦東新區校級月考）化簡：:標（一：再）+3J|"V0）.

【分析】直接利用二次根式的性質化簡進而得出答案.

【解答】解：:由二次根式的性質可得aVO,bVO,

J原式=1?（?0）y[ab*C-ay/ab）+3絆

b2-b

=-3a2。+3呼

=-3crbX（——、）

3Vab

=a2b2x華

ab

=aby[ab.

【題型3二次根式的符號化簡】

【例3】（2022?安達市校級月考）已知冷，＞0,將式子x根號外的因式x移到根號內的正確結果為（）

A.y[yB.C.-yfyD.-y/^y

*：a-b?）,

原式=-Cb-a）「士=_J（b-a）2?卜二=-J（/>-a）2?=-Vb-a.

故答案為

【知識點2最簡二次根式】

我們把滿足①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

【題型4最簡二次根式的判斷】

【例4】（2022秋?浦東新區校級月考）在4、?、誠、7^=1、越中，最簡二次根式是_嚷_舊=1_.

【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同

時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

【解答】解：叵、是最簡一次根式.

a

故答案為：—a>y/^1.

【變式4-1］（2022春?曲靖期末）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）

A.A/48B.V14C.D.V4a+4

【分析】根據最簡二次根式的定義：被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，被開方數中不含分母，

即可解答.

【解答】解：4、V48=4A/3,故A不符合題意：

B、E是最簡二次根式，故8符合題意；

C、R=哈故C不符合題意；

D、V4a+4=2VOTT,故。不符合題意；

【分析】根據最簡二次根式的被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式，可得答案.

【解答】解：②衍TT③亨是最簡二次根式，

故答案為：②③.

【變式4-3］（2022春?建昌縣期末）在二次根式/、g、同、vm,V40^2,J/+y2中,是最簡二

次根式的共有二個.

【分析】結合選項根據最簡二次根式的概念求解即可.

【解答】解：二次根式g、V12,同、V7T2,V40^,42+y沖,是最簡二次根式的是頌、V7+2,

+y2,

故答案為：3

【題型5化為最簡二次根式】

【例5】（2022春?安陽期末）下列二次根式化成最簡二次根式后，被開方數與另外三個不同的是（）

A.V2B.5x/8C.V28D.R

【分析】先把8、C、。化成最簡二次根式，再找被開方數不同的項.

【解答】解：???遮是最簡二次根式，

5V8=10V2,V28=2V7,=y.

???化成最簡二次根式后，被開方數相同的是A、B、D.

故選：C.

【變式5-1］（2022春?番禺區期末）把下列二次根式化成最簡二次根式

（1）叵

100

（2）V32

⑶

【分析】（1）直接利用二次根式的除法運算法則性質化簡得出答案；

（2）直接利用二次根式的性質化簡得出答案；

（3）直接利用二次根式的除法運算法則性質化簡得出答案.

【解答】解：⑴舟祭

(2)V32=472：

/r、3XXX

(3)#4X=2^4F=2—V3X

【變式5-2］（2022秋?合浦縣月考）把下列各式化成最簡二次根式:

二1s.

【分析】本題需先將二次根式分母有理化，分子的被開方數中，能開方的也要移到根號外.

【解答】解：⑴原式=今*|=1乂"J|=9《=3①

（2）當/?,c同為正數時，原式=一等x專x二—竟

當〃，c同為負數時，原式=一半x（-右）x2bc.

當c=0時，原式=0.

【變式5-3］（2022秋?安岳縣期末）卜三化成最簡二次根式是±叵國.

7xy-y--------y—

【分析】對被開方數的分母進行因式分解，然后約分；最后將二次根式的被開方數的分母有理化，化簡

求解.

【解答】解:原式=檸：

①當）00時，上式=吟包

②當yVO時，上式=一旦三2

?y

故答案是：土返亞.

y

【題型6已知最簡二次根式求參數】

【例6】（2022春?浙河區校級期末）若二次根式衍萌是最簡二次根式，則最小的正整數F為2.

【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同

時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

【解答】解：若二次根式麻E是最簡二次根式，則最小的正整數〃為2,

故答案為：2.

【變式6-1］（2022春?武江區校級期末）若正是最簡二次根式，則。的值可能是（）

A.-4B.|C,2D.8

【分析】根據二次根式有意義的條件判斷A選項：根據最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母:

（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式判斷SC,。選項.

【解答】解：人選項，二次根式的被開方數不能是負數，故該選項不符合題意；

B選項，故該選項不符合題意；

C選項，魚是最簡二次根式，故該選項符合題意；

D選項，V8=2V2,故該選項不符合題意；

故選：C.

【變式6-2*2022秋?崇川區校級期末）若勘吁"-2和/3口-皿/都是最洵二次根式，則1,〃=2.

【分析】利用最簡二次根式定義列出方程組，求出方程組的解即可得到小與〃的值.

【解答】解：?.?若?R和《33m-2n+2都是最簡二次根式,

,（m+n—2=1

f'（3m-2n+2=1'

解得：〃?=1,〃=2,

故答案為：1;2.

【變式6-3］（2022春?寧都縣期中）已知：最簡二次根式與"儂的被開方數相同，則8.

【分析】已知兩個最簡二次根式的被開方數相同，因此它們是同類二次根式，即：它們的杈指數和被開

方數相同，列出方程組求解即可.

【解答】解：由題意，得：《一?12解得：=5

（4。+b=233=3

/?。+〃=8.

【知識點3分母有理化】

①分母有理化是指把分母中的根號化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母

組成平方差公式；

②兩個含二次根式的代數式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數式成互為有理化因式.一個

二次根式的有理化因式不止一個.

【題型7分母有理化】

【例7】（2022秋?曲陽縣期末）把襦化去分母中的根號后得（）

\J12ab

A.4bB.2VbC.-y/bD.—

22b

【分析】根據二次根式的乘除法運算法則進行計算即可.

【解答］解：V?>0,ab>0,即。>0,b>0；

?\/3a_y/3-\a_1_\b

..y/12ab~2yf3\fa-4b~2\［b~2b"

故選：D.

【變式7-1］（2022?沂源縣校級開學）分母有理化：

（i）4=-；⑵3=-；⑶半=立.

3\叵——6——>/12——6——2V5——2——

【分析】根據分母有理化的一股步驟計算即可.

【解答】解：（1）2=4^=當，

3V23x^2xv26

（2）3=用=立，

V12712x736

（C逗_再x娟_V2

①樂二2后一T

故答案為：￡鼻T-

66Z

【變式7?2】（2022春?海淀區校級期末）下列各式互為有理化因式的是（）

A.\!a+b和Va-bB.-仿和歷

C.V5-&和-V5+夜D.小用+yx歷和不6+yVF

【分析】根據有理化因式定義：如果兩個含有二次根式的非零代數式相乘，它們的積不含有二次根式，

就說這兩個非零代數式互為有理化因式，結合各個選項中兩個代數式特征作出判斷即可.

【解答】解：ANa+b7a-b=J（a+b）（a—b）,因此/z+b和，a—b不是有理化因式,故選項4不

符合題意：

R.—\/a*yJa=—ci,所以和是有理化因式，因此選項B符合題意：

C.（V5-V2）（-V5+V2）=-（V5-V2）2,所以通一或和一遍+企）不是有理化因式，因此選

項C不符合題意；

D.（xVa+jV^）,（xy/a+yy/b）=CxVa+yVb）2,因此大6和人西+.WF不是有理化因式，所

以選項。不符合題意；

故選：B.

【變式7-3］（2022?寶山區校級月考）分母有理化：臂黯

v2+v3+v5

【分析】根據二次根式的性質以及運算法則即可求出答案.

(在+明-、③2

【解答】解:原式=

(V2+V5+>/3XV2+V5-V3)

_(正+、'虧S)2

一(V2+V5)2-3

_J1O-J15+5

VIU+2

_（、詞rGr石+5）（、須—2）

（xfi0+2）（710-2）

_3V而-3、石

6

_>/10-V6

2

【題型8比較二次根式的大小】

【例8】（2022春?海淀區校級期末）設a=2心一3,b=則a、b大小關系是（）

a

A.a=bB.a>bC.a<bD.a>-b

【分析】本題考查二次根式，先求出〃的值，再與。比較得出結果.

【解答】解：?.7=2企一3

b=-==—（2^2+3）

a2V22-3

,所以a>b.

故選：B.

【變式8-1]（2022春?金鄉縣期中）已知。=七，人=2+西，則。，人的關系是（）

A.相等B.互為相反數

C.互為倒數D.互為有理化因式

【分析】求出〃與〃的值即可求出答案.

【解答】解：???〃=￡=?+2,6=2+遮，

V5-2

??Cl—bf

故選：A.

【變式8-2]（2022春?長興縣期中）二次根式J,喜，9的大小關系是（）

A.pV壬〈匹B.多VpV涯C.比V口弓D.

SJ5yfS5\f5y]555yj5Vs35V2\^5Vpyj5

【分析】本題可先將各式分母有理化，然后再比較它們的大小.

【解答】解：將三個二次根式化成同分母分數比較：

..（2V102275V20V2

>/55V5555，

的<E<4.

Sy]5衣

故選：C.

【變式8-3](2022秋?雨城區校級期中)利用作商法比較大小

比較窖與窖的大小.

Va+2y/a+3

【分析】根據作商比較法，看最后的比值與1的大小關系，從而可以解答本題.

【解答】而=叵出X也生=a+3+4」

[解口I腳.叵^+2X^+2Q+4+4?I'

,0+3

?Va+11傘+2

??f—?

、年+2詬+3

【題型9分母有理化的應用】

【例9】(2022春?大連月考)閱讀材料：

黑白雙雄、縱橫江湖：雙劍合璧、天下無敵.這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一-起，

取長補短,威力無比.在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”.如：(2+V3)(2-V3)=l,(V54-V2)

(V5-V2)=3,它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式;互為有理化因式，其中一個是另一個的有

理化因式.于是，二次根式除法可以這樣理解：如+=第=4，篝=第架嚕=7+475.像這

v373X\}332-?3(2-V3)(2+v3)

樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化.

解決問題：

(1)4+夕的有理化因式可以是_4一g_,蠢分母有理化得—乎

(2)計算：

----------1---------------1---------------U...4-]——

1+042+43怖+G\r1999+72000,

②已知：x=名，)，=祟，求f+)2的值.

【分析】(1)找出各式的分母有理化因式即可；

(2)①原式各項分母有理化，合并即可得到結果；

②將K與y分母有理化后代入原式計算即可得到結果.

【解答】解：(1)4+夕的有理化因式可以是4-夕，蠢分母有理化得：乎；

故答案為：4—V7；4

(2)①原式=/-1+百-&+???+而而-=麗-1=20遮-1；

②??"=需=2-百，產碧=2+百，

.,.?+/=7-4>/3+7+4V3=14.

【變式9/】（2。22?潮南區模擬）“分母有理化”是根式運算的一種化簡方法,如:箋=黑嚕=7+4代；

除此之外，還可以用先平方再開方的方法化簡一些有特點的無理數，如要化簡」4+小一口一位,可以

先設x=V4+>/7—V4—A/7?再兩邊平方得『=（，4+VT—弋4—V7）2=

4+V7+4-V7-2J（44-77）（4-V7）=2,又因為^4+夕2,4—故x>0,解得x=VL+小一

J4二>萬=或，根據以上方法，化簡整+）8146一/8二46的結果是（）

V6+V3

A.3-2^2B.3+2、攵C.4夜D.3

【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性質、完全平方公式分別化簡得出答案.

【解答】解：設戶J8+4V5-?-4存

兩邊平方得f=“8+46-78-4V3）2=8+473+8-473-2J（8+4b）（8-45/3）=8,

*/V8+4V3>《8-46,

：，x>0,

原式=嚕1嚕+2加

76+73

=，一一，匹二皎_+2迎

（乃+75）（、用一、③

=四+2或

3

=3-2V2+2加

=3.

故選：D.

【變式9-2]（2022?普定縣模擬）閱讀以下材料：將分母中的根號化去，叫做分母有理化.分母有理化的

方法，一般是把分子分母都乘以同一個適當的代數式，使分母不含根號.例如：%=明=焉=%

V27272（M2），2

（1）將高分母有理化可得V2-1―：

V2+1

⑵關于X的方程3-：品+募+康+…+￡演的解是一奪一

【分析】（1）根據材料進行分母有理化即可；

（2）先分母有理化，再根據式子的規律即可求解.

?/2-1

=A/2-1

【解答】解：（1）V2+1-(x^+l)(x^-l)

故答案為：V2-1；

1

（2）3「=訴+反病+而麗+…+歷+回，

1

3?X~~2=V—3—+—1十+-西-+--V-54十--夕---+通4十-???4十--回---+]河,

(V34^(V3-1)+(V5+V西5)一(百vi-V3)+(V7+V?5)一(V西7-V5)V99-T97

3A:--=+…+（鬧+質）（聞一歷），

3x-^=1(V3-1+x/5-V3+V7-V5+???+V99-V97)，

6x-1=-1+V99,

6X=3?L

故答案為：手

【變式9-3】.（202