高中數學總復習-數形結合解題專題

一、高中學生用“數形結合”解題的現狀

目前，從高中生數形結合解題能力調查可知，高中生數

形結合解題意識不強，這主要體現在數學解題中數與形

的分離上，即一個問題僅僅是從數的角度求解，或者是

僅僅從形的角度考慮。而且學生利用數形結合解題時容

易出現問題，不易找到數形結合解題的突破口。因此，

高中數學教學如果能有效地引導學生自覺強化運用數形

結合的解題意識，善于培養學生尋找數形結合解題突破

口的能力，將能大大提高學生解題準確率。

二、“數形結合”的思想及重要性

“數”與“形”，作為數學中最古老最重要的兩個方面，

一直就是一對矛盾體。正如矛和盾總是同時存在一樣，有

“數”必有“形”，有“形”必有“數”。華羅庚先生曾

說過：”數與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數缺形時

少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬

事休。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”

寥寥數語，把數形之妙說得淋漓盡致。可見，所謂數形結

合，指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把

抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系

結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象

思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問

題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。數形結合的思

想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，

關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問

題幾何化。“數形結合”作為數學中的一種重要思想，在

高中數學中占有極其重要的地位。近年高考數學試卷，就

是一個有力的明證。

在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第

一要徹底明白一些概念及其幾何意義以及曲線的代數特

征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何又分析其代

數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思

形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取

值范圍。

三、數形結合的具體應用及效果

在多年來的高考題中，數形結合應用廣泛，大多是“以

形助數”。在解方程和不等式、求函數的最值問題、求

復數和三角函數等問題中，如果巧妙運用“數形結合”

思想解題，可以化抽象為具體，效果事半功倍。數形結

合的思想方法是數學教學內容的主線之一，應用數形結

合的思想，可以解決以下問題：

（一）、解決集合問題：在集合運算中常常借助于數軸、

Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得

以簡化，使運算快捷明了。

應用1：設命題甲：0<x<3,命題乙：|x—11<4,則甲是

乙成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.不充分也不必要條件

將兩個命題用數軸表示，如圖：

從上圖可以看出，命題甲是命題乙的充分不必要條件.所

以選A.

乙

甲

-3035

應用2:設U是全集，則①QA"巴②四6=巴

③An（c/）=。，④（GMnB=°。

上面結論中不正確的是：

解：畫出適合條件的韋恩圖即知③不正確。

［點評］對于處理集合的問題，可以用數形結合的方法，

如果是含字母參數的，可以畫韋恩圖；如果是具體的數

集，則可以畫數軸，都可以使集合間的關系直觀化.

（二）、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方

程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問題；處理不等式

時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析

其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

應用：設aeR,關于x的一■兀二次方程7彳2_(。+13)彳+。2_。_2=0有

兩實根玉、々，且0<西<1<尤2<2,求a的取值范圍。

分析：此題告訴我們方程有兩個根，所以可考慮解出兩根

/赴,再把兩根帶入0<玉<1<々<2求解不等式即可。顯然這樣

的思路想來簡單，但求解卻是非常困難的事情,所以我尸不

得不考慮其他辦法。若我們令：\./x.

/(x)=7x2-(a+13)x+a2--2|\_y

那么問題就可以轉化為二次函數f(x)與X軸應有

兩個交點，而交點的位置一個在(0,1)內、一個在(1,2)內，由圖

可列出圖像應滿足的條件并求解：

7(o)>o

</(I)<0n-2<a<—1或3<a<4

J⑵>0

(三)、解決線性規劃問題：線性規劃問題是在約束條件

下求目標函數的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體

現了數形結合思想的應用。

應用：某電腦用戶計劃用不超過500元的資金購買單價

分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要，

軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共

有()

A5種B.6種C.7種D.8種

分析1:該題可用例舉法一一例舉出結果

分析2：利用線性規劃知識求解：

設需買軟片X片、買磁盤y盒，由題意知:

60x+70y<500

<x>3

”2

上述約束條件所表示的平面區域為如右圖所示的陰影三角

形上。整點(X,y)共有7個,即為(3,2)、(4,2)、(5,

2)、(6,2)、(3,3)、(4,3)、(3,4),共有7種不同的選

購方式故選C

［點評］顯然前一種方法雖然可以求解該題，但花費時間較長,

且容易漏解，第二種方法解該題卻顯得既準確又快捷。

(四)、解決三角函數問題：有關三角函數單調區間的確

定或比較三角函數值的大小等問題，一般借助于單位圓

或三角函數圖象來處理，數形結合思想是處理三角函數

問題的重要方法。

應用：若,記max(a,8)=,對于函數

b,(a<b)

/(%)=max(sinx,cosx)(xG/?),給出下列4個命題：

⑴該函數的值域是［-1,1］；⑵當且僅當x=2癡+至伏eZ)時,該

2

函數取得最大值1；⑶該函數是以乃為最小正周期的周期函

數；⑷當且僅當2版■+乃<%<2%乃+半(ZeZ)時，/(x)<0.上述命

題中正確的命題是解析：根據題意，可把已

知函數轉譯為/(幻二產叱而短儂幻，將其簡圖畫出(見圖

cosx,(sinx<cosx)

1),由此圖像可知，該函數值域是［一當」］;當x=2k兀+—(Z:GZ)

22

或x=2版■時，該函數取得最大值1；該函數是以2萬為最小正

周期的周期函數，所以命題⑴、⑵、⑶都不正確，而命題

⑷是正確的。

［點評］:本題的特點是給出的函數較為復雜，如果利用以

往學過的函數性質不便于解題。這時我們利用已知的正

弦，余弦函數圖像解題，則簡單，明了，準確。

(五)除以上應用之外，數形結合在解決解析幾何、立體

幾何等問題時，同樣可以起到使復雜的問題簡單化、直

觀化的效果。

從上面數形結合的解題實例中可以看出，充分抓住數與形

的內在聯系去探索問題，將會收到事半功倍的效果。

總而言之，問題是數學的心臟，提出并解決問題是推動數學

發展的動力。而數形結合就是高效解決數學問題的重要方法

之一。若我們的學生能恰當地利用數形結合思想提高解