高中數(shù)學(xué)直線、平面平行的判定與性質(zhì)專項(xiàng)練習(xí)

1.給定下列四個(gè)命題：

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；

②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.

其中，為真命題的是

A.①和②B.②和③

C.③和④D.②和④

2.設(shè)m,n是平面a內(nèi)的兩條不同直線，4,4是平面夕內(nèi)的兩條相交直線，則。〃B

的一個(gè)充分而不必要條件是

A.m///?且1〃a

B.m//1且n〃1

C.m〃，且n〃/?

D.m〃，且n〃1

3.已知a,B表示兩個(gè)不同的平面，m為平面a內(nèi)的一條直線，則“a_L￡”是“加，尸”的

)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.如圖，在直三棱柱ABC-4BC1中，E,尸分別是A由，AC的中

點(diǎn)，點(diǎn)。在上，4O1BC.

求證：(1)EF”平面ABC;

(2)平面A尸DL平面BB\C\C.

B

5.已知加、〃是兩條不同直線，a、｝/是三個(gè)不同平面.下列命題中正確的是

()

A.若mHa,nila、則相〃幾

B.若a_L/,/?_L7,則a〃夕

C.若mHa,mHB,則a〃/?

D.若相_L_La,則加〃〃

6.已知兩條直線〃z、ny兩個(gè)平面a、/?.給出下面四個(gè)命題：

@m//n,mLa-=>nVa；

②aHB、mua,nu/=>機(jī)〃〃；

③〃2〃n,mHa=nila\

@all/3,mlln,mA-a^>nX.13.

其中正確命題的序號(hào)是()

A.①③B.②④

C.①④D.②③

7.設(shè)〃、。為兩條直線，a、尸為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是

()

A.若小人與。所成的角相等，則〃加

B.若"a,b〃/,則4必

C.若aua,bu0,a//b,則a〃夕

D.若aLb,bL0,a工0,則〃_LZ?

8.已知m、n為兩條不同直線，。、/為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

()

A.mua,nua,mll/3,nH°=aHB

B.aHB，mua,nu°nmHn

C.m±1?=>nila

D.n//m,n1.a=>m.La

9.如圖5,矩形ABC。和梯形所在平面互相垂直，BE//CF,/BCF=

NCEF=90°,AD=?EF=2.

(1)求證：AE〃平面DCF;

(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角4—E尸一C的大小為60。？

10.如圖6,在四棱錐O—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，

JI

ZABC=—,OAJ■底面ABC。，OA=2,M為。4的中點(diǎn)，N為BC的

4

中點(diǎn).

(1)證明：直線MN//平面。CD;

(2)求異面直線AB與M。所成角的大小；

(3)求點(diǎn)B到平面OCD的距離.

H.平面a〃平面￡的一個(gè)充分條件是()

A.存在一條直線a,alla,all[3

B.存在一條直線a,aua,a〃夕

C.存在兩條平行直線ua,/?u民

all(3,blla

D.存在兩條異面直線a、b,aua,bu0,

aIIP，blla

答案與解析

【考點(diǎn)11】直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1.答案：D

【解析】命題①中的兩條直線為兩相交直線，則兩平面平行，命題③垂直于同一條直線的兩

條直線的位置關(guān)系為可以平行、相交或異面，正確的命題為②和④，故應(yīng)選D.

2.答案：B

【解析】若加/〃機(jī)?〃ua，44u￡,則可得a〃尸.若a〃夕則存在

3.答案：B；

【解析】由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面a內(nèi)的一條直線,機(jī)J.△，則a_L/,

反過來則不一定.所以“a"!?夕”是“m1￡”的必要不充分條件.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了立體幾何中垂直關(guān)系的判定和充分必要條件的概念.

4.【解析】(1)由邑F分別是AC的中點(diǎn)知ER7BC,

因?yàn)镋&X平面ABC,BCu平面ABC,所以EF//平面ABC;

(2)由三棱柱4BC-43G為直三棱柱知CC」面AHG,

又A[Z)u平面,；?CC|_LA|Z).

又因?yàn)锳iZXLSC,CCiAB,C=C,BCu平面8B|CC,故因DL平面BBCC.

又AQu平面A]FD,所以平面4FDL平面BB\C\C.

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象

能力、推理論證能力.

5.答案：D

【解析】舉反例：如圖:

排除A:

排除C;

D是線面垂直的一個(gè)性質(zhì)，故選D.

6.答案：C

【解析】由a〃/?，加uu/?=>/〃〃〃或m、n異面，

，②錯(cuò)；由相〃=>〃〃a或〃ua,③錯(cuò)，故選C.

7.答案：D

【解析】對(duì)選項(xiàng)A,如直線a、b///3,a//j3,則a、b平行，相交或異面；對(duì)選項(xiàng)B,如

alla,bll/3,aH(3,則a、6平行，相交或異面；對(duì)選項(xiàng)C,若aua,bu/7,a〃b則

。、〃平行或相交；對(duì)選項(xiàng)D,由兩個(gè)平面互相垂直，則其法向量垂直可得證，故選

D.

8.D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)初〃“時(shí)，不一定有a〃力,a與/?可能相交；對(duì)于選項(xiàng)B,

aH。，mua,nu0K,m、n可能異面;對(duì)于選項(xiàng)C,m1a,m1n時(shí),可能有〃ua.

故選D.

9.【解析】：解法一：(1)證明：過點(diǎn)E作交CF于G,連結(jié)。G,

可得四邊形8CGE為矩形，所以

AD//EG,從而四邊形AOGE為平行

四邊形，椒陽(yáng)/DG.

因?yàn)锳Ea平面DCF,

OGu平面。CF,所以4E//平面。CF.

(2)過點(diǎn)B作BHLEF交FE的延長(zhǎng)線于H,連結(jié)AH.由平面ABCDA.平面BEFC,

AB1BC,得AB1平面BEFC,從而AH，EF,所以NAHB為二面角A-EF-C的

平面角.在RfAEFG中,

因?yàn)镋G=AD=V3,EF=2,

所以NCFE=60°,

FG=1.又因?yàn)椤Ｆ?EF,所以CF=4.從BE=CG=3.

9

于是BH=BE.sinNBEH=二—,因?yàn)锳B=8atan/AHB,所以當(dāng)AB為一時(shí)，二面角

22

A—EF—C的大小為60°.

解法二：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CF和CD分別作為x軸、y軸和z軸建立

空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

設(shè)AB=a,BE=b,

CF=c,

則c(0,0,0),

A(百,0,a),

8(73,0,0),E(V3,Z?,0),F(0,c,0).

(1)證明：A.E=(0,b,-d),CB=(V3,0,0)

BE=(0,6,0),所以CB.AE=0,CB-BE=0,從而C8±AE,CB±BE,所以CB1

平面ABE.因?yàn)镃B_L平面DCCF,所以平面ABE//平面DCF.

(2)因?yàn)镴ET7=(一6,c一瓦0),

CE=(y[3,bff),所以而?無=0,

\EF\=2,

[-3+b(c-b)=0,

從而[師二鏟=2,

解得b=3,c=4.所以E(V3,3,O),F(0,4,0).

設(shè)〃=(1,y,z)與平面AEF垂直，則

n?AE=EF-0

解得77=(1,J5,二)

又因?yàn)?A，平面BEFC,BA=(0,0,a),

所以

Icos/rt,|=P句=——=g,得至！Ia=g.所以當(dāng)AB為g時(shí)，二面角

'/\BA\-\n\aV4o7+27222

A—EF—C的大小為60°.

10?【解析】：解法一(綜合法):

0

(1)取OB中點(diǎn)E,連結(jié)ME、NE.A

/.MN〃平面OCD.

⑵

OC//AB,:.NMDC

為異面直線AB與所成

的角(或其補(bǔ)角).作

42，8于點(diǎn)P，連結(jié)MP.

,/OA_L平面ABCD,

CD1MP.

匹

ZADP=DPMD=

42

4MA)+AD'=V2,cosNMDP=-=ZMDC=NMDP=-,

MD23

IT

：.48與MQ所成角的大小為y.

(3)?.?AB〃平面OCD,

?.點(diǎn)B和點(diǎn)A到平面OCD的距離相等，連結(jié)OP,過點(diǎn)A作AQ_L。尸于點(diǎn)Q

AP±CD,OA±CD,:.CD1,平面OAP,

AQ±CD.

又AQ±OP,：.A。_L平面OCD,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離.

OP=ylOD*32-DP2=ylOA2+AD2-DP2

2.也

OAAP2

AQ=2

OP3723

2

2

???點(diǎn)B到平面OCD的距離為

解法二（向量法）：作AP_LCO于點(diǎn)P.如圖,

分別輕AB、AP、AO所在

直線為x、y、z軸建立空間

直角坐標(biāo)系.

A(0,0,0)B(1,0,0),

P(0,-^-,0),Z)(-,0),0(0,0,2)

222

.Jl2

M(0,0,1),N(1..-,—,0),

44

----^2,y/^2,

(1)w=(l--,—,-1)

44

而=（0,字-2）,而=（一拳拳一2）.

設(shè)平面OCD的法向量”(x,y,z)

則n-OP=0,n-OD=0.

°

——y-2z=0n,

即I2LL

V2V2on

[22■

取z=J^，解得〃=(0,4,痣).

___/y