貴州省遵義市重點中學2025屆高中畢業生第二次復習統一檢測試題數學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正項等比數列的前項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．3．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．已知復數，滿足，則（）A．1 B． C． D．55．設全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．6．學業水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級．某班共有名學生且全部選考物理、化學兩科，這兩科的學業水平測試成績如圖所示．該班學生中，這兩科等級均為的學生有人，這兩科中僅有一科等級為的學生，其另外一科等級為，則該班（）A．物理化學等級都是的學生至多有人B．物理化學等級都是的學生至少有人C．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至多有人D．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至少有人7．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a8．已知，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．69．一物體作變速直線運動，其曲線如圖所示，則該物體在間的運動路程為（）m．A．1 B． C． D．210．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．11．已知向量，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件12．已知圓：，圓：，點、分別是圓、圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為，則實數a的值為_____．14．若關于的不等式在上恒成立，則的最大值為__________．15．如圖，機器人亮亮沿著單位網格，從地移動到地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從移動到最近的走法共有____種．16．以，為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，，且滿足，則點的軌跡方程為_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正實數滿足.（1）求的最小值.（2）證明：18．（12分）在平面直角坐標系中，直線與拋物線：交于，兩點，且當時，.（1）求的值；（2）設線段的中點為，拋物線在點處的切線與的準線交于點，證明：軸.19．（12分）已知函數是自然對數的底數.（1）若，討論的單調性；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明:.20．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.21．（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于、兩點，與相交于、兩點，且與同向，設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）為上的動點，、為長軸的兩個端點，過點作的平行線交橢圓于點，過點作的平行線交橢圓于點，請問的面積是否為定值，并說明理由.22．（10分）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由，可求出等比數列的通項公式，進而可知當時，；當時，，從而可知的最小值為，求解即可.【詳解】設等比數列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當時，；當時，，則的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等比數列的通項公式的求法，考查等比數列的性質，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.2．D【解析】

根據幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.3．D【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標，四個頂點構成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標為，四個焦點的坐標為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當取得最大值時有，，離心率，故選：D.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.4．A【解析】

首先根據復數代數形式的除法運算求出，求出的模即可．【詳解】解：，，故選：A【點睛】本題考查了復數求模問題，考查復數的除法運算，屬于基礎題．5．A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補集的定義進行計算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數不等式和二次不等式的解法，屬于基礎題．6．D【解析】

根據題意分別計算出物理等級為，化學等級為的學生人數以及物理等級為，化學等級為的學生人數，結合表格中的數據進行分析，可得出合適的選項.【詳解】根據題意可知，名學生減去名全和一科為另一科為的學生人（其中物理化學的有人，物理化學的有人），表格變為：物理化學對于A選項，物理化學等級都是的學生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當物理和，化學都是時，或化學和，物理都是時，物理、化學都是的人數最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學都是的學生，剩下的都是一科為且最高等級為的學生，因為都是的學生最少人，所以一科為且最高等級為的學生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學生最少（人），D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.7．C【解析】

兩復數相等，實部與虛部對應相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【點睛】本題考查復數的概念，屬于基礎題.8．C【解析】

先求出，再由，利用向量數量積等于0，從而求得.【詳解】由題可知，因為，所以有，得，故選：C.【點睛】該題考查的是有關向量的問題，涉及到的知識點有向量的減法坐標運算公式，向量垂直的坐標表示，屬于基礎題目.9．C【解析】

由圖像用分段函數表示，該物體在間的運動路程可用定積分表示，計算即得解【詳解】由題中圖像可得，由變速直線運動的路程公式，可得．所以物體在間的運動路程是．故選：C【點睛】本題考查了定積分的實際應用，考查了學生轉化劃歸，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.10．C【解析】

直線恒過定點，由此推導出，由此能求出點的坐標，從而能求出的值．【詳解】設拋物線的準線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標為，∴點B的坐標為，把代入直線，解得，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數的求法，考查拋物線的性質，是中檔題，解題時要注意等價轉化思想的合理運用，屬于中檔題.11．A【解析】

向量，，，則，即，或者-1，判斷出即可．【詳解】解：向量，，，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：A．【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標表示，屬于基礎題.12．B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關于軸的對稱點，，故的最大值為，故選B．考點：圓與圓的位置關系及其判定．【思路點睛】先根據兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對稱性，求出所求式子的最大值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．3【解析】

設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0），聯立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【詳解】設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標（0，1），∴B的坐標為（，k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S.∵t2，∴S△ABC.當且僅當，即t時，△ABC的面積S有最大值為.解之得a＝3或a.∵a時，t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.【點睛】本題考查了橢圓內三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.14．【解析】

分類討論，時不合題意；時求導，求出函數的單調區間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉化為函數最小值，化簡得，構造放縮函數對自變量再研究，可解,【詳解】令；當時，，不合題意；當時，，令，得或，所以在區間和上單調遞減.因為，且在區間上單調遞增，所以在處取極小值，即最小值為.若，，則，即.當時，，當時，則.設，則.當時，；當時，，所以在上單調遞增；在上單調遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立問題.不等式恒成立問題的求解思路：已知不等式(為實參數)對任意的恒成立，求參數的取值范圍．利用導數解決此類問題可以運用分離參數法;如果無法分離參數，可以考慮對參數或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數與判別式的方法(,或，)求解．15．【解析】

分三步來考查，先從到，再從到，最后從到，分別計算出三個步驟中對應的走法種數，然后利用分步乘法計數原理可得出結果.【詳解】分三步來考查：①從到，則亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個單位，一步是向上移動一個單位，此時有種走法；②從到，則亮亮要移動六步，其中三步是向右移動一個單位，三步是向上移動一個單位，此時有種走法；③從到，由①可知有種走法.由分步乘法計數原理可知，共有種不同的走法.故答案為：.【點睛】本題考查格點問題的處理，考查分步乘法計數原理和組合計數原理的應用，屬于中等題.16．【解析】

根據圓的性質可知在線段的垂直平分線上，由此得到，同理可得，由對數運算法則可知，從而化簡得到，由此確定軌跡方程.【詳解】，，和的中點坐標為，且在線段的垂直平分線上，，即，同理可得：，，，點的軌跡方程為．故答案為：．【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠利用圓的性質和對數運算法則構造出滿足的方程，由此得到結果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結合基本不等式求得結果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因為，所以因為，所以（當且僅當，即時等號成立），所以（2）證明：因為，所以故（當且僅當時，等號成立）【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.18．（1）1；（2）見解析【解析】

（1）設，，聯立直線和拋物線方程，得，寫出韋達定理，根據弦長公式，即可求出；（2）由，得，根據導數的幾何意義，求出拋物線在點點處切線方程，進而求出，即可證出軸.【詳解】解：（1）設，，將直線代入中整理得：，∴，，∴，解得：.（2）同（1）假設，，由，得，從而拋物線在點點處的切線方程為，即，令，得，由（1）知，從而，這表明軸.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，涉及聯立方程組、韋達定理、弦長公式以及利用導數求切線方程，考查轉化思想和計算能力.19．（1）減區間是，增區間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）當時，求得函數的導函數以及二階導函數，由此求得的單調區間.（2）令求得，構造函數，利用導數求得的單調區間、極值和最值，結合有兩個極值點，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），，又，所以在單增，從而當時，遞減，當時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當時，所以當時，有一個極值點，當時，有兩個極值點，當時，沒有極值點，綜上因為是的兩個極值點，所以不妨設，得，因為在遞減，且，所以又所以【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區間，考查利用導數研究函數的極值點，考查利用導數證明不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.20．（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生的計算能力.21．（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【解析】

（1）根據兩個曲線的焦點相同，得到，再根據與的公共弦長為得出，可求出和的值，進而可得出曲線的方程；（2）設點，根據導數的幾何意義得到曲線在點處的切線方程，求出點的坐標，利用向量的數量積得出，則問題得以證明；（3）設直線，直線，、、，推導出以及，求出和，通過化簡計算可得出為定值，進而可得出結論.【詳解】（1）由知其焦點的坐標為，