第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025年河北省高考數(shù)學(xué)全過(guò)程縱向評(píng)價(jià)試卷（四）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|?1<x<3}，集合B={x∈N|x2?5x?6<0}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為A.2 B.4 C.8 D.162.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(1?3i)z=3+4i，則|z|=(

)A.1 B.2 C.1023.已知向量a=(1,2)，向量b=(λ,3)，若a與b的夾角為45°，則自然數(shù)λ=(

)A.1 B.3 C.5 D.94.數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=3n?2,A.37 B.12 C.475.函數(shù)f(x)=tan2x與g(x)=(12)|x|的圖象在x∈(?2,5)A.2 B.3 C.4 D.56.已知函數(shù)y=f(x?4)在R上單調(diào)遞增，y=f(ln(mx?3))在(?∞,?1)上單調(diào)遞減，則m的取值范圍為(

)A.(?∞,?3) B.(?∞,?3] C.[?3,0) D.(?3,0)7.已知球O的體積為323π，在球O的內(nèi)部放置一個(gè)圓錐，則能放下的圓錐的最大體積是(

)A.25681π B.83π C.8.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+3,x≤023lnx+4A.(22,3)∪(3,23] B.(0,2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某市高三年級(jí)學(xué)生聯(lián)考，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(110,25)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.該市高三年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差是5

B.從本次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)調(diào)查1名學(xué)生的成績(jī)，分?jǐn)?shù)大于120的概率比分?jǐn)?shù)低于105的概率小

C.P(X>110)>12

D.從本次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)調(diào)查3名學(xué)生的成績(jī)，至少有1個(gè)成績(jī)低于11010.以下選項(xiàng)正確的是(

)A.若等比數(shù)列{an}的公比為q，則“q>0”是“{an}是遞增數(shù)列”的必要條件

B.函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的圖像關(guān)于x=?π12對(duì)稱，則ab=3?1

C.函數(shù)11.已知橢圓T：x24+y23=1，過(guò)平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線分別交橢圓T于點(diǎn)A、CA.四邊形ABCD一定有內(nèi)切圓 B.四邊形ABCD一定有外接圓

C.四邊形ABCD面積的最小值為487 D.四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.雙曲線C：y2a2?x213.曲線y=exx+1在x=0處的切線與直線ax+3y?4=0垂直，則a=14.在三棱錐P?ABC中，△ABC為直角三角形，∠ABC=90°且PA⊥平面ABC，小明和小亮兩名同學(xué)做游戲，第一次每人從三棱錐P?ABC的表面中任取一個(gè)平面，取哪個(gè)平面相互獨(dú)立，取出的兩個(gè)平面若垂直，則游戲結(jié)束，否則游戲繼續(xù)；第二次每人從三棱錐P?ABC的棱中任取一條棱，取哪條棱相互獨(dú)立，取出的兩條棱若共面，則游戲結(jié)束，否則繼續(xù)第一次的游戲操作；如此反復(fù)直到游戲結(jié)束，則游戲在第三次結(jié)束的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，3bsinC?c(2sinC?cosB)=0，且C=23π．

(1)求A的大小；

(2)若AC邊上的中線16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC⊥CD，AD//BC，BC=CD=2，AD=4，PB<AB，E是棱PC的中點(diǎn)，若側(cè)棱PB⊥底面ABCD，且直線PA與平面PCD所成角的正弦值為63．

(1)求PB的值；

(2)求平面PAB與平面PCD17.(本小題15分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(1,0)，過(guò)F作互相垂直的兩條直線l1，l2，這兩條直線與拋物線C分別交于A，B和D，E兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A，D在第一象限．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求四邊形ADBE面積的最小值；

(3)證明：直線AD18.(本小題17分)

已知函數(shù)m(x)=(x+1)lnx，n(x)=a(x?1)．

(1)求m′(x)的最小值；

(2)若函數(shù)f(x)=m(x)?n(x)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1<x2<x3，

19.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}是無(wú)窮數(shù)列，且an∈N?，an+1的值為an在a1，a2，a3，?，an中所出現(xiàn)的次數(shù)，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

(1)若a1參考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.D

6.B

7.A

8.D

9.BD

10.ACD

11.AC

12.y=±13.6

14.512815.解：(1)因?yàn)?bsinC?c(2sinC?cosB)=0，且C=23π，

由正弦定理可得：3sinBsinC?sinC(2sinC?cosB)=0

又sinC≠0，所以3sinB?2sinC+cosB=0，

即sin(B+π6)=sinC=32，

又因?yàn)锽∈(0,π3)，B+π6∈(π6,π2)，

所以B+π6=π3，即B=π6，

可得A=π6；

(2)由(1)得B=A=π6，則△ABC是以C為頂角的等腰三角形，

設(shè)CD=x>0，則AC=BC=2x，

在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2?2BC?CD?cosC=4x2+x2+2x2=28，

解得x=2，

即AC=BC=4，

由正弦定理可得ABsinC=ACsinB，即AB32=412，

可得AB=43，

所以C△ABC=4+4+43=8+43．

16.解：(1)連接BD，

由直角梯形ABCD滿足BC⊥CD，AD//BC，BC=CD=2，AD=4，

可得，BD2=BC2+CD2，

所以可得BD=22，

取AD的中點(diǎn)F，連接BF，

計(jì)算可得BF=2，AF=2，所以AB=22，

所以AB2+BD2=AD2，

所以AB⊥BD，以直線BD為x軸，直線BA為y軸，直線BP為z軸建立坐標(biāo)系，

令P(0,0,t)，

A(0,22,0)，B(0,0,0)，C(2,?2,0)，D(22,0,0)，

所以PA=(0,22,?t)，

PC=(2,?2,?t)，DC=(?2,?2,0)，

令平面PCD的法向量為n1=(x,y,z)，

則n1⊥PCn1⊥DC，則n1?PC=0n1?17.解：(1)因?yàn)閽佄锞€C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(1,0)，

即p2=1?p=2，

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=4x；

(2)當(dāng)直線l1的斜率為0時(shí)，不符合題意，

當(dāng)直線l1的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l1：x=my+1，

聯(lián)立y2=4xx=my+1，

可得y2?4my?4=0，

Δ=16m2+16>0恒成立，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則y1+y2=4m，y1y2=?4，

所以|AB|=1+m2(y1+y2)2?4y1y2=4(m2+1)，

同理|ED|=4(1m2+1)，

則四邊形ADBE的面積為S=12|AB||ED|=8(2+m2+1m2)≥32，

當(dāng)且僅當(dāng)m218.解：(1)函數(shù)m(x)=(x+1)lnx，定義域?yàn)?0,+∞)，

m′(x)=lnx+1+1x，

令v(x)=m′(x)=lnx+1+1x，

v′(x)=1x?1x2=x?1x2，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，v′(x)<0，∴m′(x)在x∈(0,1)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，v′(x)>0，∴m′(x)在x∈(1,+∞)單調(diào)遞增，

∴m′(x)min=m′(1)=2，

(2)①：f(x)=(x+1)lnx?ax+a=0的三個(gè)根分別為x1，x2，x3，

則a(x?1)=(x+1)lnx，

當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=0，∴x=1是方程(x+1)lnx?ax+a=0的一個(gè)根，

當(dāng)x≠1時(shí)，由a(x?1)=(x+1)lnx，得a=(x+1)lnxx?1，

設(shè)g(x)=(x+1)lnxx?1，

則g′(x)=(lnx+1+1x)(x?1)?(x+1)lnx(x?1)2=x?2lnx?1x(x?1)2，

設(shè)?(x)=x?2lnx?1x，則?′(x)=1?2x+1x2=(x?1)2x2≥0恒成立，

∴?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

∵?(1)=0，∴x∈(0,1)，?′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；

x∈(1,+∞)，?′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

∵x→1lim(x+1)lnxx?1=x→1limlnx+1+1x1=2，

∵lnx≤x?1，

下證明：構(gòu)造s(x)=lnx?x+1，求導(dǎo)可得s′(x)=1x?1=1?xx，

易得x∈(0,1)，s′(x)>0，x∈(1,+∞)時(shí)，s′(x)<0，

∴s(x)=lnx?x+1在x∈(0,1)單調(diào)遞增，在x∈(1,+∞)單調(diào)遞減，

s(x)max=s(1)=0，

∴l(xiāng)nx≤x?1，

∴l(xiāng)n1x≤1x?1，即lnx≥1?1x，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，(x+1)lnxx?1≥(x+1)(1?1x)x?1=1+1x，

對(duì)?a>2,?x0<1a?1，使得g(x0)>a，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，(x+1)lnxx?1≥lnx，

對(duì)?a>2,?x0>ea，使得g(x0)>a，

∴a的取值范圍是(2,+∞)．

②f′(x1)?f′(x3)>0，證明如下：

由①可知，x1<1<x3，其中x2=1．

g(1x)=1x+11x?1ln1x=1+x1?xln1x=x+1x?1lnx=g(x)，

∴x1=1x3，即x1x2x3=1，

∵f′(x)=l