第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省部分學校2025屆高三“一起考”大聯考（模擬一）數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合A={1,2,3,4,5}，B={x∈Z∣3≤x≤6}，U=A∪B，則?UA∩B中元素的個數為(

)A.1 B.2 C.3 D.42.若z是復數，z?2i=1，則z的最大值為(

)A.4 B.3 C.2 D.13.在數列an中，a1=3，且an+1=A.3 B.?2 C.?13 4.已知函數f(x)=3sinωx+π6(ω>0)的最小正周期為π3A.π6 B.π4 C.π35.如圖，在下列四個正方體中，A，B，C，D分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，A，B，C，D四點共面的是(

)．A. B.

C. D.6.若函數fx=9?x2A.a≤?3 B.a≥3 C.?3≤a≤3 D.a≤?3或a≥37.二十名校國旗班成員站成一排參加訓練，教育計劃在20人中選9人進行第一項訓練，若這9人在原來隊列中互不相鄰、則教官的選擇方式一共有(

)A.220種 B.55種 C.210種 D.110種8.已知fx的定義域為[1,+∞)且fx+xf′xA.1?e2e3 B.1?ee2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知曲線Γ：x21?m+yA.Γ可能是等軸雙曲線

B.若Γ表示焦點在y軸上的橢圓，則?1<m<1

C.Γ可能是半徑為2的圓

D.若Γ表示焦點在x軸上的雙曲線，則10.小王經過調查獲得如下數據：x2471730y12345參考公式：相關系數r=ni=1(下列說法正確的有(

)A.該數據組的線性回歸方程(系數精確到0.01)為y=0.13x+1.44

B.該數據組的相關系數r≈0.94，r很接近1說明該數據組擬合效果很好

C.所有數據點中殘差絕對值最小的是2,1

D.去掉數據點4,211.下列說法不正確的有(

)A.正四面體的四個面所在平面可以將空間劃分為15個區塊

B.若直線l和平面α均垂直于平面β，則l//α

C.正八面體的八個面所在平面可以將空間劃分的區塊數是正四面體劃分區塊數的4倍

D.從空間內任意一點出發，最多可以引出5條射線使得他們兩兩之間的夾角均為鈍角三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知tanα=2，則tanα+π413.已知O為坐標原點，F是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點，P為C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.14.已知fx=x+c+4x，若fx=b在?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知a，b，c是互不相等的正實數．(1)若a，b，c成等差數列，求證：a+1，b+1，c+1不可能是等比數列；(2)設?ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若1a，1b，1c成等差數列，求證：16.(本小題15分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，AB=PA=2，E，F分別為PB，PD的中點．(1)證明：EF//平面ABCD；(2)求平面CEF與底面ABCD夾角的余弦值；(3)求平面CEF與四棱錐P?ABCD表面的交線圍成的圖形的周長．17.(本小題15分市教育局計劃舉辦某知識競賽，先在A，B，C，D四個賽區舉辦預賽，每位參賽選手先參加“賽區預賽”，預賽得分不低于100分就可以成功晉級決賽．賽區預賽的具體規則如下：每位選手可以在以下兩種答題方式中任意選擇一種答題．方式一：每輪必答2個問題，共回答6輪，每輪答題只要不是2題都錯，則該輪次中參賽選手得20分，否則得0分，各輪答題的得分之和即為預賽得分；方式二：每輪必答3個問題，共回答4輪，在每一輪答題中，若答對不少于2題，則該輪次中參賽選手得30分，如果僅答對1題，則得20分，否則得0分．各輪答題的得分之和即為預賽得分．記某選手每個問題答對的概率均為p0<p<1(1)若p=1(2)證明：該選手選擇兩種方式答題的得分期望相等．18.(本小題17分已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的任意一點到焦點的距離比到y(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線外一點P(m,n)作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線l:y=32x上，求三角形19.(本小題17分)已知函數fx(1)若b=0，且fx有2個不同的零點x(i)求a的取值范圍；(ii)求證：x1(2)記gx=fx，對于任意a,b∈R，總存在x0參考公式：若limx→afx與limx→ag參考答案1.C

2.B

3.A

4.A

5.D

6.A

7.A

8.B

9.BCD

10.ACD

11.BCD

12.?3

13.1314.12

15.(1)假設a+1，b+1，c+1成等比數列，所以b+12=a+1因為a，b，c成等差數列，所以b=a+c2，由①②可得a=c，與已知a，b，c是互不相等的正實數矛盾，故假設不成立，原命題成立．(2)因為1a，1b，1c成等差數列，所以2b由余弦定理和基本不等式可得cosB=當且僅當a=c時，等號成立，

因為a，b，c為?ABC的三邊，所以a+c>b，所以1?ba+c>0，所以cos

16.(1)如圖，連接BD，因為E，F分別為PB，PD的中點，所以EF//BD，又BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF//平面ABCD．(2)因為PA⊥底面ABCD，又AB、AD?平面ABCD，所以PA⊥AB,PA⊥AD，又底面ABCD為正方形，則AB⊥AD，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為AB=PA=2，E，F分別為PB，PD的中點．則C2,2,0，E1,0,1，所以CE=?1,?2,1，設平面CEF的一個法向量為n=所以CE令x=1，則y=1，z=3，所以n=因為平面ABCD的一個法向量為m=0,0,1所以cos?所以平面CEF與底面ABCD夾角的余弦值為3(3)平面CEF與棱PA交于一點，由(2)，設交點Q0,0,t，則QE=1,0,1?t又QE?n=1+3?3t=0則QE=QF=又CE=?1,?2,1，則CE=CF=所以平面CEF與四棱錐P?ABCD表面的交線圍成的圖形的周長為2

17.(1)該選手選擇方式二答題，記每輪得分為X，則X可取值為0，20，30，且PX=0=18記預賽得分為Y，P=∴該選手所以選擇方式二答題晉級的概率為59128(2)該選手選擇方式一答題：設每輪得分為ξ，則ξ可取值為0，20，且Pξ=0=∴Eξ設預賽得分為Y1，則YEY該選手選擇方式二答題：設每輪得分為ζ，則ζ可取值為0，20，30，且Pζ=0Pζ=20Pζ=30∴Eζ設預賽得分為Y2，則EY因為EY

18.解：(1)由題意知p2=12，p=1，拋物線C的方程為y2=2x．

(2)設動點P(m,n)，切點A(y122,y1)，B(y222,y2).

設過A的切線PA方程為x?y122=t(y?y1)，與拋物線方程聯立x?y122=t(y?y1),y2=2x

消去x整理得y2?2ty+(2ty1?y12)=0，△=4t2?8ty1+4y12=0，所以t=y1，

所以切線PA方程為y1y=x+19.(1)(i)由f(x)=0,b=0得ex=ax，顯然x=0不是方程當x≠0時，分離參數得a=e由題意得關于x的方程a=e令?(x)=exx當x<0時，?′(x)<0，?(x)在?∞,0上單調遞減，且?(x)<0；當0<x<1時，?′(x)<0，?(x)在0,1上單調遞減，且?(x)>0；當x>1時，?′(x)>0，?(x)在1,+∞上單調遞增，且?(x)>0；當x→?∞,?(x)→0；當x→0當x→0+,?(x)→+∞如圖作出?(x)=e

于是要使a=exx故a的取值范圍為e,+∞．(ii)證明：結合題意及(i)有ex所以x1?x令x1x2=t∈(0,1)，將則x1x2要證(x1+令k(t)=t(t+1)(則k′(t)==ln令φ(t)=3t2?1則φ′(t)=5t?1令m(t)=5t?1t?4?2則m′(t)=5+1令n(t)=3+1t2則n′(t)=?2t則n(t)在(0,1)單調遞減，所以n(t)>n(1)=0，即m′(t)>0，則m(t)在(0,1)單調遞增，所以m(t)<m(1)=0，即φ′(t)<0，則φ(t)在(0,1)單調遞減，所以φ(t)>φ(1)=0，故k′(t)>0，則k(t)在(0,1)單調遞增，且k(t)>0，又limx→1故k(t)<limx→1k(t)=2(2)g(x)=fx=ex總存在x0∈0,1，使得g不妨設g(x)max=A(a,b)對于任意a,b∈R，m≤A(a,b)恒成立，則m≤min由x∈0,1，可知g(x)max