2024-2025學(xué)年度九年級第一次模擬學(xué)情監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題3分，共30分）1.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a，b，則下列各數(shù)中，最大的是（）A. B. C. D.2.為了節(jié)能減排，國家積極倡導(dǎo)使用新能源汽車，新能源汽車發(fā)展也取得了巨大成就．下列新能源汽車的車標(biāo)既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A B. C. D.3.2024年6月25日嫦娥六號順利返回地球，帶回大約的月背樣本，實(shí)現(xiàn)世界首次月背采樣返回，標(biāo)志著我國對月球背面的研究又進(jìn)入一個新的高度．已知月球到地球的平均距離約為384000千米，數(shù)據(jù)384000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的主要方法有切截、展開、從不同方向看．下列方法得到的平面圖形是長方形的是（）A. B. C. D.5.下列計算正確的是（）A.x2+x＝x3 B.（﹣3x）2＝6x2C.8x4÷2x2＝4x2 D.（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y26.方程的解為（）A. B. C.或 D.無解7.1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？意思是：矩形面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步？設(shè)長為步，可列方程為（）A B.C. D.8.如圖，在中，，通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，的度數(shù)是（）A. B. C. D.9.如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至使得，，共線，則邊掃過的部分（即陰影部分）面積為（）A. B. C. D.10.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……，按照這一規(guī)律，第20種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是（）A.40 B.42 C.44 D.46二、填空題（每題3分，共15分）11.把多項式分解因式結(jié)果是______．12.已知a和b是方程的兩個解，則的值為________．13.甲從地前往地，乙從地前往地，同時出發(fā)，勻速行駛．甲、乙兩人之間的距離（單位：）與甲行走時間（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則________．14.如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點(diǎn)為的直徑，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，為軸上一點(diǎn)，的面積為6，則的值為________．15.如圖，已知，點(diǎn)D是的平分線上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線和射線上，且．下列結(jié)論：①是等邊三角形；②四邊形的面積是一個定值；③當(dāng)時，的周長最小；④當(dāng)時，也平行于．其中正確的結(jié)論有______．（只填序號）三、解答題（共8小題，共75分）16.（1）計算：；（2）解不等式組：，并寫出它的所有正整數(shù)解．17.新新商場第1次用39萬元購進(jìn)A，B兩種商品．銷售完后獲得利潤6萬元（總利潤＝單件利潤×銷售量），它們的進(jìn)價和售價如表：商品價格AB進(jìn)價（元/件）12001000售價（元/件）13501200（1）該商場第1次購進(jìn)A，B兩種商品各多少件？（2）商場第2次以原價購進(jìn)A，B兩種商品，購進(jìn)A商品件數(shù)不變，而購進(jìn)B商品的件數(shù)是第1次的2倍，A商品按原價銷售，而B商品打折銷售，若兩種商品銷售完畢，要使得第2次經(jīng)營活動獲得的利潤等于36000元，則B種商品是打幾折銷售的？18.太陽能路燈是直接將光能轉(zhuǎn)化為電能的一種新型環(huán)保路燈．如圖，某種型號太陽能路燈的支架CD與燈柱AB的夾角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同學(xué)在距燈柱10米的E處，用測角儀測得路燈D的仰角為48°，已知測角儀EF的高度為1.2米，求路燈D距地面AE的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）19.某學(xué)校舉行了數(shù)學(xué)文化知識競賽活動，初一年級全體同學(xué)參加了知識競賽，收集數(shù)據(jù)：現(xiàn)隨機(jī)抽取了初一年級20名同學(xué)的“數(shù)學(xué)知識競賽”成績，分?jǐn)?shù)如下（單位：分）：7165689281849593878978888175868296738986整理分析數(shù)據(jù)：成績x（單位：分）頻數(shù)/人數(shù)2ab4（1）統(tǒng)計表中______，______；并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果估計該校初一年級1800人中，約有多少人的成績在80分及以上；（3）這20名同學(xué)中，得分在90分及以上的是兩名男生和兩名女生，現(xiàn)要在這4人中隨機(jī)抽出兩人作為優(yōu)秀參賽者在年級學(xué)生大會上發(fā)言，利用樹狀圖或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率．20.如圖，在中，是的直徑，，過的中點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)和，是上一動點(diǎn)．連接，，，．（1）求的長度；（2）延長到點(diǎn)，連接，使得．求證：是的切線．21.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求與的值；（2）連接并延長，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上，若以O(shè)、C、D為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．22.如圖①是實(shí)驗室中的一種擺動裝置，在地面上，支架是底邊為的等腰直角三角形，擺動臂可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，擺動臂可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，．（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，①當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時，的長為；②當(dāng)，，三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時，求的長；（2）若擺動臂順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的位置由外的點(diǎn)，轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)處，即滿足，連接，如圖②，此時，求的長．23.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時，我們稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q互為“等和點(diǎn)”．例如：點(diǎn)與點(diǎn)互為“等和點(diǎn)”．（1）點(diǎn)與點(diǎn)互為“等和點(diǎn)”，求b的值；（2）點(diǎn)與點(diǎn)都在直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)D互為“等和點(diǎn)”，求k的值；（3）直線在第一象限的部分記為圖象，拋物線在的部分記為圖象，點(diǎn)E在圖象上，點(diǎn)F在圖象上．①若，點(diǎn)E與點(diǎn)F互為“等和點(diǎn)”且點(diǎn)E橫坐標(biāo)比點(diǎn)F的橫坐標(biāo)大1，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②若在圖象上總存在點(diǎn)F，使得E、F兩點(diǎn)互為“等和點(diǎn)”，求m的取值范圍．

2024-2025學(xué)年度九年級第一次模擬學(xué)情監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題3分，共30分）1.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a，b，則下列各數(shù)中，最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由數(shù)軸可以看出，，，．根據(jù)有理數(shù)的乘除法，加減法進(jìn)行計算，然后比較大小．【詳解】解：由數(shù)軸可以看出，，，∴，．又∵．∴，．∴最大．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，有理數(shù)的加減法運(yùn)算，有理數(shù)的乘除法運(yùn)算，掌握數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大是解題的關(guān)鍵．2.為了節(jié)能減排，國家積極倡導(dǎo)使用新能源汽車，新能源汽車發(fā)展也取得了巨大成就．下列新能源汽車的車標(biāo)既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中心對稱與軸對稱的定義進(jìn)行判斷即可．本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的識別．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A．中圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．中圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C．中圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D．中圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：B．3.2024年6月25日嫦娥六號順利返回地球，帶回大約的月背樣本，實(shí)現(xiàn)世界首次月背采樣返回，標(biāo)志著我國對月球背面的研究又進(jìn)入一個新的高度．已知月球到地球的平均距離約為384000千米，數(shù)據(jù)384000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：,故選D．4.把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的主要方法有切截、展開、從不同方向看．下列方法得到的平面圖形是長方形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了幾何體的展開圖以及認(rèn)識平面圖形，掌握圓柱和圓錐的特征是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)圓柱、圓錐的特征解答即可．【詳解】解：選項A的切截是一個圓，故選項A不符合題意；選項B的切截是一個等腰三角形，故選項B不符合題意；選項C是圓柱的側(cè)面展開圖，是一個長方形，故選項C符合題意；選項D從左面看是一個等腰三角形，故選項D不符合題意．故選：C．5.下列計算正確的是（）A.x2+x＝x3 B.（﹣3x）2＝6x2C.8x4÷2x2＝4x2 D.（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各個選項中的式子，可以計算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．【詳解】解：A.x2+x不能合并，故選項A錯誤；B.，故選項B錯誤；C.8x4÷2x2＝4x2，故選項C正確；D.（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故選項D錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，平方差公式，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6.方程的解為（）A. B. C.或 D.無解【答案】D【解析】【分析】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法，檢驗根等方法是解題的關(guān)鍵．先去分母化成，檢驗根，當(dāng)時，，原分式方程無意義，由此即可求解．【詳解】解：等式兩邊同時乘以去分母得，，檢驗，當(dāng)時，，原分式方程無意義，∴原方程無解，故選：D

．7.1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？意思是：矩形面積為864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步？設(shè)長為步，可列方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)長為步，則寬為步，根據(jù)題意，列方程．【詳解】解：設(shè)長為步，則寬為步，由題意可得：，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確列出一元二次方程．8.如圖，在中，，通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查線段垂直平分線的作法及性質(zhì)，角平分線的作法，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，由作圖痕跡得出垂直平分，平分，進(jìn)而可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)等邊對等角得出，即可求解．【詳解】解：由作圖痕跡可知，垂直平分，平分，，，，，，，，，故選A．9.如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至使得，，共線，則邊掃過的部分（即陰影部分）面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形旋轉(zhuǎn)及扇形的面積公式等知識點(diǎn)，掌握扇形的面積公式，推導(dǎo)出所求面積即為兩扇形面積之差是解答本題的關(guān)鍵．先推導(dǎo)出邊掃過的部分（即陰影部分）面積為，分別求兩扇形面積相減即可．【詳解】解：在中，，，，∵，∴直角三角形，，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，由題意得，由圖形可知，邊掃過部分（即陰影部分）面積為,∴邊掃過的部分（即陰影部分）面積為故選：B．10.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……，按照這一規(guī)律，第20種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是（）A.40 B.42 C.44 D.46【答案】B【解析】【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，根據(jù)所給圖形，依次求出模型中氫原子的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：由所給圖形可知，第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)為：；第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)為：；第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)為：；第4種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)為：；…，所以第n種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)為個，當(dāng)時，（個），即第20種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)為42個．故選：B．二、填空題（每題3分，共15分）11.把多項式分解因式的結(jié)果是______．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式，熟練掌握因式分解的提公因式法和公式法是解決本題的關(guān)鍵；先提公因式，再根據(jù)平方差分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．12.已知a和b是方程的兩個解，則的值為________．【答案】2029【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，熟練掌握一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵．先根據(jù)方程的解滿足方程以及根與系數(shù)關(guān)系求得，，再將變形為，然后整體代入計算即可．【詳解】解：∵a和b是方程的兩個解，∴，，∴，∴，故答案為：2029．13.甲從地前往地，乙從地前往地，同時出發(fā)，勻速行駛．甲、乙兩人之間的距離（單位：）與甲行走時間（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則________．【答案】2.4【解析】【分析】本題考查的是從函數(shù)圖象中獲取信息，理解題意，得到兩人中有1人先到達(dá)終點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象可得：兩人分鐘相遇，速度慢的一個人走完全程花3分鐘，從而先求解速度慢的人的速度，再求解速度快的人的速度，從而可得答案．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得：兩人分鐘相遇，速度慢的一個人走完全程花3分鐘，（米/分），，解得：（米/分），（分鐘），故答案為：14.如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點(diǎn)為的直徑，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，為軸上一點(diǎn)，的面積為6，則的值為________．【答案】24【解析】【分析】設(shè)，則，則，根據(jù)三角形的面積公式得出，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵與軸相切于點(diǎn)，∴軸，∴，則點(diǎn)D到的距離為a，∵為的直徑，∴，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握切線的定義：經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．15.如圖，已知，點(diǎn)D是平分線上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線和射線上，且．下列結(jié)論：①是等邊三角形；②四邊形的面積是一個定值；③當(dāng)時，的周長最小；④當(dāng)時，也平行于．其中正確的結(jié)論有______．（只填序號）【答案】①②③【解析】【分析】如圖1，連接，作于，于，由角平分線的性質(zhì)定理可得，證明，則，是等邊三角形；進(jìn)而可判斷①的正誤；由，可知，進(jìn)而可判斷②的正誤；由的周長為，可知當(dāng)時，最短，的周長最小，進(jìn)而可判斷③的正誤；如圖2，當(dāng)時，，則是等邊三角形，則與重合，與交于點(diǎn)；進(jìn)而可判斷④的正誤．【詳解】解：如圖1，連接，作于，于，∵點(diǎn)D是的平分線上的一個定點(diǎn)，∴，∴，∴，即，∵，，，∴，∴，∴是等邊三角形；①正確，故符合要求；∵，∴，∵點(diǎn)D是的平分線上的一個定點(diǎn)，∴四邊形的面積是一個定值；②正確，故符合要求；∵的周長為，當(dāng)時，最短，即等邊的周長最小，③正確，故符合要求；如圖2，當(dāng)時，∴，∴是等邊三角形，∵是等邊三角形，∴與重合，與交于點(diǎn)；④錯誤，故不符合要求；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，平行線的性質(zhì)等知識．熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8小題，共75分）16.（1）計算：；（2）解不等式組：，并寫出它的所有正整數(shù)解．【答案】（1）；（2）不等式組的解集為，所有正整數(shù)解有1、2．【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和解一元一次不等式組，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）利用零指數(shù)冪、絕對值、二次根式、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值計算即可；（2）先分別解兩個不等式，然后找到兩個不等式解集的公共部分，最后在公共部分中找出所有的正整數(shù)解．【詳解】解：（1）原式；（2）3x-1解不等式①得，，解不等式②得，，不等式組的解集為，所有正整數(shù)解有：1、2．17.新新商場第1次用39萬元購進(jìn)A，B兩種商品．銷售完后獲得利潤6萬元（總利潤＝單件利潤×銷售量），它們的進(jìn)價和售價如表：商品價格AB進(jìn)價（元/件）12001000售價（元/件）13501200（1）該商場第1次購進(jìn)A，B兩種商品各多少件？（2）商場第2次以原價購進(jìn)A，B兩種商品，購進(jìn)A商品的件數(shù)不變，而購進(jìn)B商品的件數(shù)是第1次的2倍，A商品按原價銷售，而B商品打折銷售，若兩種商品銷售完畢，要使得第2次經(jīng)營活動獲得的利潤等于36000元，則B種商品是打幾折銷售的？【答案】（1）A商品200件，B商品150件；（2）8.5折【解析】【分析】（1）設(shè)該商場第1次購進(jìn)A商品x件，購進(jìn)B商品y件，根據(jù)“該商場第1次用39萬元購進(jìn)A、B兩種商品．銷售完后獲得利潤6萬元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)B種商品是打m折銷售，根據(jù)第2次經(jīng)營活動獲得利潤等于36000元，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)該商場第1次購進(jìn)A商品x件，購進(jìn)B商品y件，依題意得：解得：．答：該商場第1次購進(jìn)A商品200件，B商品150件．（2）設(shè)B種商品打m折銷售，依題意得：解得：m=8.5．答：B種商品是打8.5折銷售的．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．18.太陽能路燈是直接將光能轉(zhuǎn)化為電能的一種新型環(huán)保路燈．如圖，某種型號太陽能路燈的支架CD與燈柱AB的夾角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同學(xué)在距燈柱10米的E處，用測角儀測得路燈D的仰角為48°，已知測角儀EF的高度為1.2米，求路燈D距地面AE的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）【答案】路燈D距地面AE的高度為9.4米【解析】【分析】如圖所示，過點(diǎn)D作DG⊥AE于G，過點(diǎn)F作FH⊥DG于H，過點(diǎn)C作CM⊥DG于M，則四邊形ACMG和四邊形EFHG都是矩形，先解直角三角形CDM求出CM的長潔兒求出HF的長，解直角三角形DHF求出DH的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DG⊥AE于G，過點(diǎn)F作FH⊥DG于H，過點(diǎn)C作CM⊥DG于M，則四邊形ACMG和四邊形EFHG都是矩形，∴CM=AG，HF=EG，HG=EF，∵∠BCD=60°，∴∠DCM=30°，又∵∠CMD=90°，∴米，∴米，∴米，∴米，∴米，∴路燈D距地面AE的高度為9.4米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．19.某學(xué)校舉行了數(shù)學(xué)文化知識競賽活動，初一年級全體同學(xué)參加了知識競賽，收集數(shù)據(jù)：現(xiàn)隨機(jī)抽取了初一年級20名同學(xué)的“數(shù)學(xué)知識競賽”成績，分?jǐn)?shù)如下（單位：分）：7165689281849593878978888175868296738986整理分析數(shù)據(jù)：成績x（單位：分）頻數(shù)/人數(shù)2ab4（1）統(tǒng)計表中______，______；并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果估計該校初一年級1800人中，約有多少人成績在80分及以上；（3）這20名同學(xué)中，得分在90分及以上的是兩名男生和兩名女生，現(xiàn)要在這4人中隨機(jī)抽出兩人作為優(yōu)秀參賽者在年級學(xué)生大會上發(fā)言，利用樹狀圖或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）4，10；補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖見解析（2）估計約有1260人的成績在80分及以上（3）抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率為【解析】【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布表，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)即可求出a、b的值，進(jìn)而補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；（2）用1800乘以樣本中成績在80分及以上的人數(shù)占比即可得到答案；（3）先畫樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到抽出的恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【小問1詳解】解：由題意得，，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：【小問2詳解】解：18001260人，∴估計約有1260人的成績在80分及以上；【小問3詳解】解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽出的恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為8，∴抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率．20.如圖，在中，是的直徑，，過的中點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)和，是上一動點(diǎn)．連接，，，．（1）求的長度；（2）延長到點(diǎn)，連接，使得．求證：是的切線．【答案】（1）的長度為π（2）見解析【解析】【分析】此題主要考查圓切線的綜合，解題的關(guān)鍵是熟知切線的判定及三角函數(shù)的應(yīng)用．證明直線是圓的切線常用的方法：（1）若已知直線與圓有公共點(diǎn)，連接過這點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡述為：有公共點(diǎn)，連圓心，證垂直，（2）在已知條件中，未給出直線與圓有公共點(diǎn)時，那么就應(yīng)從圓心向這條直線作垂線，再證明垂線段的長度與半徑相等即可，即“無公共點(diǎn)，作垂直，證半徑”．（1）先證明，得，求出的圓心角度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)弧長公式求出的長度，（2）由證明，進(jìn)而可得，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：連接，如圖，∵是的直徑，，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴∴，∴，∴的長度；【小問2詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．∵是的直徑，∴，∴即，∴．又∵為的半徑，∴是的切線21.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求與的值；（2）連接并延長，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上，若以O(shè)、C、D為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為，．【解析】【分析】（1）將點(diǎn)分別代入反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式中即可求出、的值；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)落在軸的正半軸上時，判斷出與不可能相似；②當(dāng)點(diǎn)落在軸的負(fù)半軸上時，根據(jù)或及相似比列出等量關(guān)系式，求出即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：反比例函數(shù)過點(diǎn)，，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；一次函數(shù)圖象過點(diǎn)，，解得，一次函數(shù)的表達(dá)式為，，．【小問2詳解】解：點(diǎn)B是與軸交點(diǎn)，令，得，點(diǎn)，即，點(diǎn)C是直線與的交點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為且，當(dāng)點(diǎn)D落在軸的正半軸上，則，與不可能相似；當(dāng)點(diǎn)D落在軸的負(fù)半軸上，若，，此時，，點(diǎn)，若，則，，點(diǎn)，綜上所述：點(diǎn)D的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式和相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論．22.如圖①是實(shí)驗室中的一種擺動裝置，在地面上，支架是底邊為的等腰直角三角形，擺動臂可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，擺動臂可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，．（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，①當(dāng)，，三點(diǎn)在