2024-2025學年河北省承德市雙灤區高二下學期期初考試數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知圓過點，且與軸相切，圓心在軸上，則圓的方程為（）A.B. C. D.2.已知雙曲線：的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.3.已知為等差數列的前n項和，若，，則公差（）A. B.1 C.2 D.34.如圖，在三棱柱中，與相交于點O，，，，，則線段的長度為（）A. B. C. D.5.已知直線與直線，且，則的最小值為（）A.15 B. C.12 D.6.如圖，在三棱柱中，底面，，，則與平面所成角的大小為()A. B. C. D.7.在2和20之間插入兩個數，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則插入的兩個數的和為（）A.4 B.4或 C.6或 D.68.已知雙曲線C：的左，右焦點分別是，，其中，過右焦點的直線l與雙曲線的右支交與A，B兩點，則下列說法中錯誤的是（）A.弦AB的最小值為B.若，則三角形的周長C.若AB的中點為M，且AB的斜率為k，則D.若直線AB的斜率為，則雙曲線的離心率二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項符合題目要求）9.點在圓：上，點在圓：上，則（）A.PQ的最小值為2B.PQ的最大值為7C.兩個圓心所在的直線斜率為D.兩個圓相交弦所在直線的方程為10.(2023·四川省成都市樹德中學期中)如圖，在四棱錐中，是矩形，側棱底面，且，分別為的中點，為線段上的動點，則()A.四面體每個面都是直角三角形B.

C.當點異于點時，平面D.直線和平面所成角的正切值為11.已知an為等差數列，滿足2a2?a4=1A.數列an的首項比公差多1 B.數列an的首項比公差少1

C.數列bn的首項為2 D.數列三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.過雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點.設為線段的中點，為坐標原點，則__________．13.如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分別為PD，PB的中點，點G在線段AP上，AC與BD交于點O，，若平面EFC，則_________.14.畢達哥拉斯學派是古希臘哲學家畢達哥拉斯及其信徒組成的學派，他們把美學視為自然科學的一個組成部分．美表現在數量比例上的對稱與和諧，和諧起于差異的對立，美的本質在于和諧．他們常把數描繪成沙灘上的沙粒或小石子，并由它們排列而成的形狀對自然數進行研究．如圖所示，圖形的點數分別為1,5,12,22,?，總結規律并以此類推下去，第8個圖形對應的點數為，若這些數構成一個數列，記為數列an，則a1四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（本小題13分）已知的圓心在x軸上，經過點和．（1）求的方程；（2）過點的直線l與交于A、B兩點．（ⅰ）若，求直線l的方程；（ⅱ）求弦AB最短時直線l的方程．16.（本小題15分）如圖，長方體中，，點為的中點，平面.（1）求證：平面；（2）求的長，及二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離.17.（本小題15分）已知數列{an}的前n項和Sn＝2an－2n.(1)求a1，a2；(2)設cn＝an＋1－2an，求證：數列{cn}是等比數列；(3)求數列的前n項和Tn.18.（本小題17分）如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為的菱形，，，，分別為，的中點.（1）證明：平面；（2）求四棱柱被平面截得的截面周長；（3）求直線與平面所成角的正切值.19.（本小題17分）己知橢圓與橢圓有相同的焦點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知過圓上一點的切線方程可整理成，經計算知過橢圓上一點的切線方程也有類似的寫法.設為上一動點，直線與相切于點.（i）原點為，若直線與的斜率均存在，分別表示為，求；（ii）過原點作圓的兩條切線，設兩條切線與橢圓交于兩點，則與是否相等？說明理由.答案：1.【正確答案】B設圓心為，因為圓與軸相切，所以圓的半徑為r=b代入，解得，所以圓的方程為，即，所以選擇B.2.【正確答案】A因為雙曲線的離心率為，因為，則；所以可得，故雙曲線的漸近線方程為．故選：A.3.【正確答案】D由題意：因為，所以．故選：D.4.【正確答案】A因為三棱柱，所以四邊形是平行四邊形，所以由平行四邊形法則可知，故，所以，又因為，所以，，，則線段的長度為．故選：A．5.【正確答案】D由得，即，由于，故，當且僅當，即時取“=”，故的最小值為.故選：D.6.【正確答案】A建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知，，，所以，設平面的法向量為，由m→?A.所以與平面所成角的大小為，所以選A．7.【正確答案】B設插入的兩個數分別為，，依題意得：，，成等比數列．故(1).因為，，成等差數列，所以(2).聯立(1)(2)，消去得：，即，解得：或當時，，所以插入的兩個數的和為；當時，，所以插入的兩個數的和為.故選：B.8.【正確答案】D分析選項A：當直線垂直于軸時，弦最短.將代入雙曲線方程，可得，即，解得，所以，A選項正確.分析選項B：由雙曲線的定義，，.的周長為，B選項正確.分析選項C：設，，，則，.將、兩點代入雙曲線方程相減可得：，，兩式相減得：，即，因為，，所以，C選項正確.分析選項D：若直線的斜率為，由雙曲線的漸近線斜率為，當直線與漸近線平行時是極限位置.因為直線的斜率為，所以，又，可得，即，D選項錯誤.綜上，答案是D.9.【正確答案】BC由已知圓的方程可得，半徑為1，，半徑為1，圓心距為，所以兩圓相離，沒有公共弦，故D選項不正確.又點在圓上，點在圓上，所以，，故A錯誤，B正確；對于C選項：兩個圓心所在直線斜率為，C正確；故選：BC．10.【正確答案】BC因為，，在中，為中點，由于只有在等腰三角形中底面上的高才能垂直底面，由于不是等腰，則與不垂直，則在四面體有的面不是直角三角形，故A不正確；分別為的中點，則在中，因為平面，平面，所以平面.C正確以點D為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，則，則可判斷.B正確；，則方向向量為.平面的法向量設直線和平面所成角為，則，則，D錯誤.故選：BC11.【正確答案】AD設an的公差為d，由2得2a1+d所以A正確，B錯誤．設bn的公比為q，由b6b3=所以C錯誤，D正確，故選：AD.12.【正確答案】1對于雙曲線，可得，，則，左焦點，圓的圓心為，半徑.設雙曲線右焦點為，因為為中點，為線段中點，由中位線定理知，又，即，所以.連接，，在中，，，根據勾股定理得，，則.綜上，答案為.13.【正確答案】建立如圖所示空間直角坐標系，由題知，，所以，設平面的法向量為n→=所以，所以.設，則，因為平面，則，所以，所以，所以，所以.14.【正確答案】92336記第n個圖形的點數為an，由題意知a1=1a3?a2=1+3×2累加得an即an=n2(3n?1)所以a115.【正確答案】解：（1）因為的圓心在x軸上，設圓心為，所以，解之得，所以圓的半徑為，所以圓的標準方程為（2）①當時，圓心到直線的距離為，（ⅰ）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，滿足題意；（ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則，解得，此時，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.②當時，圓心到直線的距離最大，此時，AB取最小值，因為，則，所以直線的方程為，.16.【正確答案】解：（1）連接交于F，連接，因為四邊形為正方形，故F為的中點，因為點為的中點，所以,又因為平面，平面，所以平面；（2）以D為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，則，則,因為平面，所以，即，則，又因為表示長度，所以，即；所以平面的法向量可取為，平面的法向量可取為，則二面角的余弦值，由原圖可知二面角為鈍角，故其余弦值為；（3）由題意知，平面的法向量為，故點到平面的距離為.17.【正確答案】(1)解∵a1＝S1,2a1＝S1＋2，∴a1＝S1＝2.由2an＝Sn＋2n，知2an＋1＝Sn＋1＋2n＋1＝an＋1＋Sn＋2n＋1，∴an＋1＝Sn＋2n＋1，①∴a2＝S1＋22＝2＋22＝6.(2)證明由題設和①式知an＋1－2an＝(Sn＋2n＋1)－(Sn＋2n)＝2n＋1－2n＝2n，即cn＝2n，∴cn+1∵c1＝21＝2，∴{cn}是首項為2，公比為2的等比數列．(3)解∵cn＝2n，∴＝n+12n+1∴數列的前n項和Tn＝＋＋＋…＋n+12n+1，Tn＝＋＋…＋n2n+1＋n+12n+2，兩式相減，得Tn＝＋＋＋＋…＋12n+1－n+12n+2＝＋－n+12n+2＝－12n+1－n+12n+2＝－n+3∴Tn＝－n+32n+118.【正確答案】解：（1）因為四邊形是菱形，為的中點且，所以，因為為直四棱柱所以平面平面，因為平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形是矩形，，，，分別為，的中點，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為，且平面，所以平面.（2）因為平面，所以平面與平面的交線與平行，所以交線為，連接，，，則四棱柱被平面截得的截面為四邊形，，，，因為，所以，因為，所以，所以四邊形的周長為.（3）過點作DG⊥CE，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以點在平面上的投影在上，所