2024-2025學(xué)年廣西南寧市高一下學(xué)期三月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所列的4個備選項中，只有1個符合題目要求，錯選、多選或未選均不得分．）1.已知復(fù)數(shù)的虛部是實部的3倍，則（）A.4 B. C.3 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念列式求出，進而求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】由復(fù)數(shù)的虛部是實部的3倍，得，解得，所以，.故選：B2.已知，則“”是“”的（）條件．A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要【正確答案】C【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出兩個條件的的值，進而結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題意，，由，即，則或，由，則，所以“”是“”的必要非充分條件．故選：C.3.已知非零向量，滿足，，則向量，的夾角為（）．A30° B.45° C.60° D.90°【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量數(shù)量積的運算公式，即可求解.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，由，得，因，所以，即，又因，所以.故選：C.4.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由函數(shù)解析式有意義可得出，即可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，有，解得，因此，函數(shù)的定義域為.故選：B.5.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用零點存在定理判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，且為單調(diào)遞減函數(shù)，，，所以，由零點存在定理可知包含零點的區(qū)間是，故選.6.已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（

）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由求出的范圍，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，列出不等式，從而求得ω的范圍，取的值得到結(jié)果.【詳解】當時，，則，即，解得，當時，，又∵，則，當時，，當時，∵，此時無解，∴.故選：D.7.中，以下與“”不等價的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】結(jié)合三角形邊角性質(zhì)以及正弦定理判斷A；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷B，舉反例判斷C；結(jié)合二倍角公式判斷D.【詳解】對于A，中，由可知，結(jié)合正弦定理得，反之亦然，A中結(jié)論等價；對于B，由于在上單調(diào)遞減，故可得，反之亦然，B中結(jié)論等價；對于C，取滿足，而，故C中結(jié)論不等價；對于D，,由A知等價于，又，故，D中結(jié)論等價，故選：C8.已知滿足(其中是常數(shù))，則的形狀一定是A.正三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【正確答案】C【詳解】分析：由題意結(jié)合向量的運算法則和平面幾何的結(jié)論確定△ABC的形狀即可.詳解：如圖所示，在邊(或取延長線)上取點，使得，在邊(或取延長線)上取點，使得，由題意結(jié)合平面向量的運算法則可知：，，而，據(jù)此可得：，從而：，結(jié)合平面幾何知識可知：，而，故.即△ABC為等腰三角形.本題選擇C選項.點睛：用平面向量解決平面幾何問題時，有兩種方法：基向量法和坐標系法，利用基向量的時候需要針對具體的題目選擇合適的基向量，建立平面直角坐標系時一般利用已知的垂直關(guān)系，或使較多的點落在坐標軸上，這樣便于迅速解題．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．）9.下列各式中值為的是（）A B.C. D.【正確答案】BC【分析】由余弦的二倍角公式可判斷A；由誘導(dǎo)公式和正弦的兩角差的正弦公式可判斷B；由正切的兩角和公式可判斷CD.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為2B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【正確答案】AB【分析】先用輔助角公式將函數(shù)變形為，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷正確與否即可.【詳解】函數(shù)，對于選項A，，A正確；對于選項B和C，將代入函數(shù)的解析式，得，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，B正確，C錯誤；對于選項D，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D不正確；故選：AB.11.在中，角A，，所對的邊分別為，，，下列命題正確的是（）．A.若，，，則有兩解B.若，，則的面積最大值為C.若，，，則外接圓半徑為D.若，則【正確答案】ACD【分析】由余弦定理，結(jié)合條件，可求得c值，分別檢驗，即可判斷A的正誤；由余弦定理，可得表達式，根據(jù)基本不等式，可得最大值，代入面積公式，即可判斷B的正誤；根據(jù)余弦定理，可得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可得，根據(jù)正弦定理，即可判斷C的正誤；根據(jù)余弦定理及基本不等式，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：由余弦定理得，解得，當時，，且，滿足題意，當時，，且，滿足題意，所以有兩解，故A正確；對于B：由余弦定理得，所以，根據(jù)基本不等式可得：，當且僅當時等號成立，所以，所以則的面積最大值，故B錯誤；對于C：由余弦定理得，因為，所以，由正弦定理得，R為外接圓半徑，所以，故C正確；對于D：因為，所以，由余弦定理可得，當且僅當時等號成立，因為，所以，故D正確.故選：ACD解題的關(guān)鍵是熟練掌握余弦定理、正弦定理、面積公式、基本不等式等知識，考查分析理解，計算化簡的能力，綜合性較強，屬中檔題.三、填空題（本大題共3小題，每小題滿分5分，共15分．）12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【正確答案】1【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數(shù)，故，時，整理得到，故，故113.已知向量，，且與平行，則______．【正確答案】##1.5【分析】先求出，的坐標，進而根據(jù)向量共線的坐標表示求解即可.【詳解】因，，所以，，因為與平行，所以，解得，故14.在直角梯形中，，，，點是邊上中點，若點在線段上運動（含端點），則的取值范圍是_______．【正確答案】【分析】建立平面直角坐標系，令，，利用數(shù)量積的坐標表示即可得出的取值范圍.【詳解】以點為坐標原點，分別以為軸，為軸建立平面直角坐標系，則、、、，則，由點是線段上的動點（含端點），可令，，所以，則，所以，，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當時取得最小值，當時取得最大值，可得.因此，的取值范圍是.故答案為.四、解答題：共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量、滿足，.（1）求與的夾角；（2）求；（3）求向量在向量上的投影向量的坐標．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求出與的夾角；（2）求出向量的坐標，利用平面向量的模長公式可求得的值；（3）利用投影向量的定義結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算可求出向量在向量上的投影向量的坐標.【小問1詳解】因為向量、滿足，，則，，，所以，，因為，故，即與的夾角為.【小問2詳解】因，故.【小問3詳解】向量在向量上的投影向量為.16.已知函數(shù)的表達式為.（1）當時，求證：在上是嚴格減函數(shù)；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，由此可證得結(jié)論成立；（2）由已知得出，令，，則，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，任取、且，即，，，則，，所以，，，因此，函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)；（2）對任意的，，可得，令，則，令，其中，所以，，.因此，實數(shù)的取值范圍是.方法點睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.即取值作差變形定號下結(jié)論.17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.先將圖象上的每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，向下平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象（1）求的解析式;（2）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若為銳角，且，的面積，求.【正確答案】（1）；（2）2.【分析】（1）利用給定的函數(shù)圖象求出，再利用三角函數(shù)圖象變換求出的解析式.（2）由（1）的信息求出角，再利用正弦定理、面積公式及余弦定理求解即得.【小問1詳解】觀察圖象，函數(shù)的周期，則，，由，得，而，則，，將圖象上的每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得函數(shù)的圖象，再將所得圖象向右平移個單位長度，得的圖象，最后向下平移1個單位長度，所以的解析式是.【小問2詳解】由（1）知，，則，而，即，于是，解得，由正弦定理及，得，由的面積，得，即，解得，在中，由余弦定理得.18.記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.19.如圖所示，是的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線、交于、兩點．（1）請用、表示和；（2）設(shè)，，求的值；（3）如果是邊長為的等邊三角形，求的取值范圍．【正確答案】（1），（2）