第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《正多邊形和圓的綜合》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，正六邊形內(nèi)接于．若的面積為，求的面積．（結(jié)果保留π）2．如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，半徑，求這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)．

3．如圖，正六邊形內(nèi)接于，與相切于點(diǎn)，求的度數(shù)．4．如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，連接．(1)填空：的度數(shù)為_(kāi)_________；(2)若正六邊形的邊心距為，求圖中陰影部分的周長(zhǎng)．5．如圖，的周長(zhǎng)等于，正六邊形內(nèi)接于．(1)求圓心到的距離．(2)求正六邊形的面積．6．正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，E是上一動(dòng)點(diǎn)．(1)若點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），連接，，，試探究線(xiàn)段，，的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，分別取、的中點(diǎn)M、N，連接，，交于點(diǎn)F，四邊形與四邊形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，連接，，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為2時(shí)，求面積的最小值．7．如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)連接，若，，，求陰影部分的面積．8．如圖1，五邊形是的內(nèi)接五邊形，，對(duì)角線(xiàn)于點(diǎn)．(1)①若，則_______；②猜想和的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，若，，求；(3)作于點(diǎn)，求的值．9．如圖1，半徑為的內(nèi)接一個(gè)正十邊形，是其中一條邊．(1)用和含的三角函數(shù)的式子表示邊長(zhǎng).(2)如圖2，作的平分線(xiàn)與半徑交于點(diǎn)，試猜想（1）中的三角函數(shù)和黃金比有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由．10．如圖，的半徑為，正六邊形內(nèi)接于．求：(1)圓心O到的距離；(2)正六邊形的面積．11．如圖，的周長(zhǎng)等于，正六邊形內(nèi)接于．（1）求圓心到的距離；（2）求正六邊形的面積．12．如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點(diǎn)M，N；③連接．(1)求的度數(shù)．(2)是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)從點(diǎn)A開(kāi)始，以長(zhǎng)為半徑，在⊙上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．13．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長(zhǎng)為2的⊙O，點(diǎn)P在圓弧AB上以2倍速度從B向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓弧BC上以1倍速度從C向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P，O，Q三點(diǎn)處于同一條直線(xiàn)時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．(1)求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度；(2)若M為弦PB的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CM的最大值．14．圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，的半徑為6(1)求正六邊形ABCDEF的邊心距；(2)過(guò)F作交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，求證：FG是的切線(xiàn)；(3)若點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接MA，求弓形MA的面積．15．如圖，的半徑為4，將該圓等分成8份，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)連接，直接寫(xiě)出和的位置關(guān)系___________；(2)求證：；(3)求的長(zhǎng)；參考答案1．【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的特征，勾股定理等；連接，由正六邊形的性質(zhì)得及圓周角定理得，由勾股定理得，由等邊三角形的判定及性質(zhì)得是等邊三角形，可求出圓的半徑，即可求解；掌握正多邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，能熟練利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，∵六邊形是正六邊形，∴，∴，是的直徑，，∴，在中，，∴，∴，，即的半徑為2，∴的面積為．2．這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為．【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)．連接，如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到，則為等邊三角形，所以，進(jìn)而可求出正六邊形的周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接，．∵六邊形是正六邊形，，是等邊三角形，，∴這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為．

3．【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)可得是等邊三角形，即得，由切線(xiàn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，∵是正六邊形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵與相切于點(diǎn)，∴，∴，∴．4．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正邊形中心角為，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，求得是等邊三角形，利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得半徑為4，利用弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴．∵，由勾股定理得，即，解得（舍去負(fù)值），∴，∴．∵的長(zhǎng)為，∴陰影部分的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，以及弧長(zhǎng)公式．此題難度不大．5．(1)(2)【分析】（）連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由圓的周長(zhǎng)可得，由正六邊形的性質(zhì)可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；（）由（）可得是等邊三角形，得到，可得，再根據(jù)解答即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵的周長(zhǎng)等于，∴半徑，∵六邊形是正六邊形，∴，∴，∴，∴，即圓心到的距離為；（2）解：∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．6．(1)或；(2)，理由見(jiàn)解析(3)1．【分析】（1）連接，求得，利用圓周角定理結(jié)合圓內(nèi)接四邊形即可求解；（2）在上截取，連接，，推出，，再證明是等腰直角三角形，據(jù)此得到；（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求得，，當(dāng)邊上的高最小時(shí)，面積取得最小值，則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，所以邊上的高就是的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：連接，∵正方形，∴，當(dāng)點(diǎn)E在優(yōu)弧AD上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)E在劣弧AD上時(shí)，，綜上，的度數(shù)為或；（2），理由如下，在上截取，連接，∵，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（3）解：∵正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M、N是、的中點(diǎn)，∴，∵四邊形與四邊形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴，，∴當(dāng)邊上的高最小時(shí)，面積取得最小值，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴邊上的高就是的長(zhǎng)，∴面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得，結(jié)合，可推出，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為，可推出，得到，最后根據(jù)，得到，即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由，可得，推出是等邊三角形，得到，進(jìn)而得到，，推出，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，又，，為的直徑，，，，，，；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．(1)①；②(2)(3)【分析】（1）①連接，由題意可得，根據(jù)圓周角定理可得，以此即可求解；②連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，由圓周角定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，將代入化簡(jiǎn)即可；（2）如圖，連接、，連接交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理建立方程解得，于是，，，易得垂直平分，設(shè)，則，利用雙勾股定理建立方程求得，進(jìn)而求出，，在中，利用勾股定理即可求解；（3）連接、、、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由圓周角定理可得，易得，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得，由等邊對(duì)等角得，進(jìn)而可得，根據(jù)等角減等角相等可得，于是可通過(guò)證明，得到，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)得，以此即可求解．【詳解】（1）①解：如圖，連接，，，，，，；故答案為：；②，證明：如圖，連接，，，，，，，，，即；（2）解：如圖，連接、，連接交于點(diǎn)，在中，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，，，，，垂直平分，，，設(shè)，則，在中，，在中，，解得：，，，為的直徑，，在中，；（3）解：如圖，連接、、、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，即，在和中，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓綜合，圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．9．(1)(2)為黃金比的一半，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)作于，得到，且為等腰三角形，所以得到，，根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算即可；（2）由是的角平分線(xiàn)，得到，，證得，即，進(jìn)而得到，得，即，得到，于是，根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：過(guò)作于，由正十邊形內(nèi)接于圓，所以得到，又，所以，，在中，，∴，；（2）解：由（1）可知：，，是的角平分線(xiàn)，，，，，所以，是等腰三角形，也是等腰三角形，，在中，，所以，所以得到，即，，由（1）可知：，，即為黃金比的一半．【點(diǎn)睛】本題目考查了正多邊形與圓的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠從圖中找到相應(yīng)的相似三角線(xiàn)及相關(guān)的比例線(xiàn)段．10．(1)(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連結(jié)、，則可得，，在根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）由，，可得是等邊三角形，先求出的面積，即可得正六邊形的面積．本題考查的是正多邊形與圓、垂徑定理，掌握正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連結(jié)、，則，，，在中，，，，故圓心O到的距離為．（2），，是等邊三角形，，，∴正六邊形的面積為．11．（1）

（2）【分析】（1）連接OC、OD，作OH⊥CD于H，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出半徑，根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)、三角形的面積公式計(jì)算．【詳解】（1）連接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周長(zhǎng)等于8cm，∴半徑OC＝4cm，∵六邊形ABCDE是正六邊形，∴∠COD＝60°，∴∠COH＝30°，∴圓心O到CD的距離＝4×cos30°＝∴圓心O到AF的距離為cm；（2）正六邊形ABCDEF的面積＝×4××6＝．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓、垂徑定理，掌握正六邊形的性質(zhì)、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．12．(1)(2)是正三角形，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可得，則(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，然后根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)所作圖形以及圓周角定理即可得出結(jié)論；（3）運(yùn)用圓周角定理并結(jié)合（1）（2）中結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵正五邊形．∴，∴，∵，∴(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，∴；（2）解：是正三角形，理由如下：連接，由作圖知：,∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，同理，∴，即，∴是正三角形；（3）∵是正三角形，∴．∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，讀懂題意，明確題目中的作圖方式，熟練運(yùn)用圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．13．(1)(2)【分析】（1）如圖，設(shè)結(jié)合題意可得：，結(jié)合正三角形的性質(zhì)求解再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）解：如圖，取的中點(diǎn)N，連接NM，NC，MC，過(guò)N作于K，過(guò)O作于E，證明M在以N為圓心，半徑為1的圓N上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)C，N，M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CM最大，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)結(jié)合題意可得：，為等邊三角形，而三點(diǎn)共線(xiàn)，解得：運(yùn)動(dòng)的總長(zhǎng)度為：（2）解：如圖，取的中點(diǎn)N，連接NM，NC，MC，過(guò)N作于K，過(guò)O作于E，為PB的中點(diǎn)，∴M在以N為圓心，半徑為1的圓N上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)C，N，M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CM最大，同理可得：則∴的最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，弧與圓心角的關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的構(gòu)造輔助圓，再求解線(xiàn)段的最大值是解本題的關(guān)鍵．14．(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB，根據(jù)垂徑定理可得AH＝BH，而六邊形ABCDEF是正六邊形，所以∠BOH＝30°，根據(jù)三角函數(shù)；（2）連接OA、OB、AF、BE，易證∠ABF＝∠OFB，得AB∥OF，可得OF⊥FG，從而可證FG是⊙O的切線(xiàn)；（3）因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，點(diǎn)M是中點(diǎn)，所以∠BOC＝∠BOA＝60°，∠MOC＝∠BOM＝30°，∠MOA＝90°，根據(jù)弓形的面積可求解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB，則AH＝BH，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOH＝30°．∵⊙O的半徑為6，∴；（2）證明：如圖，連接OA、OB、OF，BF、AE，∵AB＝AF＝EF，∴，∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝=30°，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°，∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，∴FG是⊙O的切線(xiàn)；（3）：如圖，連接OA，OB，OC，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，點(diǎn)M是中點(diǎn)，∴∠BOC＝∠BOA＝60°，∠MOC＝∠BOM＝30°，∴∠MOA＝90°，∴弓形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓、垂徑定理、圓周角定理、切線(xiàn)的判定、弓形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．15．(1