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文檔簡介
河北省臨西縣2025屆高三下學期高考模擬(三)數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合;②雙曲線E與過點的冪函數(shù)的圖象交于點Q,且該冪函數(shù)在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點.則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.2.若集合,,則下列結論正確的是()A. B. C. D.3.已知集合,則全集則下列結論正確的是()A. B. C. D.4.世紀產生了著名的“”猜想:任給一個正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果是奇數(shù),則將它乘加,不斷重復這樣的運算,經過有限步后,一定可以得到.如圖是驗證“”猜想的一個程序框圖,若輸入正整數(shù)的值為,則輸出的的值是()A. B. C. D.5.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),設其前n項和,若(),則()A.30 B. C. D.626.已知滿足,則()A. B. C. D.7.設雙曲線(a>0,b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,則該雙曲線的標準方程為()A. B.C. D.8.若實數(shù)x,y滿足條件,目標函數(shù),則z的最大值為()A. B.1 C.2 D.09.拋物線的準線方程是,則實數(shù)()A. B. C. D.10.已知復數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i11.()A. B. C. D.12.已知雙曲線:的左右焦點分別為,,為雙曲線上一點,為雙曲線C漸近線上一點,,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標系中,點的坐標為,點是直線:上位于第一象限內的一點.已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,則點的坐標__________.14.數(shù)列滿足,則,_____.若存在n∈N*使得成立,則實數(shù)λ的最小值為______15.已知點是雙曲線漸近線上的一點,則雙曲線的離心率為_______16.函數(shù)過定點________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若,不等式的解集;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,求的面積的值(或最大值).已知的內角,,所對的邊分別為,,,三邊,,與面積滿足關系式:,且,求的面積的值(或最大值).19.(12分)已知中,角所對邊的長分別為,且(1)求角的大小;(2)求的值.20.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且點在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列滿足:,,求的通項公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;21.(12分)已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時,證明:對;(2)若函數(shù)在上存在極值,求實數(shù)的取值范圍。22.(10分)如圖,在直角中,,通過以直線為軸順時針旋轉得到().點為斜邊上一點.點為線段上一點,且.(1)證明:平面;(2)當直線與平面所成的角取最大值時,求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數(shù)為,設出切點通過導數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點為,F(xiàn)關于原點的對稱點;,,所以,,設,則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導數(shù)的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.2.D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關系,考查了學生概念理解,數(shù)學運算能力,屬于基礎題.3.D【解析】
化簡集合,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質,化簡集合,按照集合交集、并集、補集定義,逐項判斷,即可求出結論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D本題考查集合運算以及集合間的關系,求解不等式是解題的關鍵,屬于基礎題.4.C【解析】
列出循環(huán)的每一步,可得出輸出的的值.【詳解】,輸入,,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)不成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,成立,跳出循環(huán),輸出的值為.故選:C.本題考查利用程序框圖計算輸出結果,考查計算能力,屬于基礎題.5.B【解析】
根據(jù),分別令,結合等比數(shù)列的通項公式,得到關于首項和公比的方程組,解方程組求出首項和公式,最后利用等比數(shù)列前n項和公式進行求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項公式可得:,因此.故選:B本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用,考查了數(shù)學運算能力.6.A【解析】
利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結果.【詳解】,.故選:A.本題考查三角求值,涉及兩角和與差的余弦公式的應用,考查計算能力,屬于基礎題.7.C【解析】
由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標準方程為.故選:C本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質,圓的方程的有關計算,考查了學生的計算能力.8.C【解析】
畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實數(shù)x,y滿足條件,目標函數(shù)如圖:當時函數(shù)取最大值為故答案選C求線性目標函數(shù)的最值:當時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最大,在軸截距最小時,z值最小;當時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最小,在軸上截距最小時,值最大.9.C【解析】
根據(jù)準線的方程寫出拋物線的標準方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因為準線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.10.D【解析】
兩邊同乘-i,化簡即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復數(shù)為1+2i,選D.的共軛復數(shù)為11.D【解析】
利用,根據(jù)誘導公式進行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式,關鍵在于掌握公式,屬基礎題.12.D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為,為雙曲線上的一點,為雙曲線的漸近線上的一點,且都位于第一象限,且,可知為的三等分點,且,點在直線上,并且,則,,設,則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點睛:本題考查了雙曲線的幾何性質,離心率的求法,考查了轉化思想以及運算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質,求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式,轉化為的齊次式,然后轉化為關于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
依題意畫圖,設,根據(jù)圓的直徑所對的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點間的距離公式即可求出,進而得出點坐標.【詳解】解:依題意畫圖,設以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因為為圓的直徑,則所對的圓周角,則,則為點到直線:的距離.所以,則.又因為點在直線:上,設,則.解得,則.故答案為:本題考查了直線與圓的位置關系,考查了兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,是基礎題.14.【解析】
利用“退一作差法”求得數(shù)列的通項公式,將不等式分離常數(shù),利用商比較法求得的最小值,由此求得的取值范圍,進而求得的最小值.【詳解】當時兩式相減得所以當時,滿足上式綜上所述存在使得成立的充要條件為存在使得,設,所以,即,所以單調遞增,的最小項,即有的最小值為.故答案為:(1).(2).本小題主要考查根據(jù)遞推關系式求數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列單調性的判斷方法,考查不等式成立的存在性問題的求解策略,屬于中檔題.15.【解析】
先表示出漸近線,再代入點,求出,則離心率易求.【詳解】解:的漸近線是因為在漸近線上,所以,故答案為:考查雙曲線的離心率的求法,是基礎題.16.【解析】
令,,與參數(shù)無關,即可得到定點.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質,可得,函數(shù)值與參數(shù)無關,所有過定點.故答案為:此題考查函數(shù)的定點問題,關鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關,熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)依題意可得,再用零點分段法分類討論可得;(2)依題意可得對恒成立,根據(jù)絕對值的幾何意義將絕對值去掉,分別求出解集,則兩解集的并集為,得到不等式即可解得;【詳解】解:(1)若,,則,即,當時,原不等式等價于,解得當時,原不等式等價于,解得,所以;當時,原不等式等價于,解得;綜上,原不等式的解集為;(2)即,得或,由解得,由解得,要使得的解集為,則解得,故的取值范圍是.本題考查絕對值不等式的解法,著重考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合應用,屬于中檔題.18.見解析【解析】
若選擇①,結合三角形的面積公式,得,化簡得到,則,又,從而得到,將代入,得.又,∴,當且僅當時等號成立.∴,故的面積的最大值為,此時.若選擇②,,結合三角形的面積公式,得,化簡得到,則,又,從而得到,則,此時為等腰直角三角形,.若選擇③,,則結合三角形的面積公式,得,化簡得到,則,又,從而得到,則.19.(1);(2).【解析】
(1)正弦定理的邊角轉換,以及兩角和的正弦公式展開,特殊角的余弦值即可求出答案;(2)構造齊次式,利用正弦定理的邊角轉換,得到,結合余弦定理得到【詳解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因為得∵∴.(2)∵又由余弦定理,得∴1.考查學生對正余弦定理的綜合應用;2.能處理基本的邊角轉換問題;3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角,屬于中檔題20.(1)(2)當n為偶數(shù)時,;當n為奇數(shù)時,.(3)【解析】
(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學歸納法證明.(3)分類討論,當n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意可知,.當時,,當時,也滿足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當時,,①當時,,所以,②當時,,③當時,,所以,④……當時,n為偶數(shù)當時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當n為偶數(shù)時,.同理,當n為奇數(shù)時,,所以,當n為奇數(shù)時,.解法二:猜測:當n為奇數(shù)時,.猜測:當n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學歸納法證明:,命題成立;假設當時,命題成立;當n為奇數(shù)時,,當時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當n為奇數(shù)時同理,當n為偶數(shù)時,命題仍成立.(3)由(2)可知.①當n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當n為偶數(shù)時,的最大值是.②當n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學歸納法證明數(shù)列的應用,數(shù)列的單調性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.21.(1)見證明;(2)【解析】
(1)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性,進而求得函數(shù)的最小值,得到要證明的結論;(2)問題轉化為導函數(shù)在區(qū)間上有解,法一:對a分類討論,分別研究a的不同取值下,導函數(shù)的單調性及值域,從而得到結論.法二:構造函數(shù),利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性求得函數(shù)的值域,再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值.【詳解】(1)當時,,于是,.又因為,當時,且.故當時,,即.所以,函數(shù)為上的增函數(shù),于是,.因此,對,;(2)方法一:由題意在上存在極值,則在上存在零點,①當時,為上的增函數(shù),注意到,,所以,存在唯一實數(shù),使得成立.于是,當時,,為上的減函數(shù);當時,,為上的增函數(shù);所以為函數(shù)的極小值點;②當時,在上成立,所以在上單調遞增,所以在上沒有極值;③當時,在上成立,所以在上單調遞減,所以在上沒有極值,綜上所述,使在上
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