2025年中考第一次模擬考試數學試卷南京卷注意事項：1．考試時間：120分鐘，試卷滿分：120分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共6個小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．6的算術平方根是（）A．2 B．6 C．6 D．2+2．若（a+3）（a+2b）＝a2﹣2a﹣15，則b等于（）A．5 B．?52 C．23．截至10月30日，某市累計新冠疫苗接種共完成1015000人次，將1015000用科學記數法表示應為（）A．10.15×106B．1.015×106 C．0.1015×107D．1.015×1074．若x1，x2是一元二次方程x2﹣13x﹣14＝0的兩根，則x1+x2的值是（）A．13 B．﹣13 C．14 D．﹣145．用一個平面截下列幾何體，截面形狀不可能出現三角形的是（）A．B．C．D．6．如圖，在水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向的坐標系中標記了4個格點，已知網格的單位長度為1，若二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過其中的3個格點，則a的最大值為（）A．34 B．1 C．43 二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）7．?11的絕對值是，5?3的相反數是8．若2x+1x?2在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是9．把多項式3ax2﹣3ay2分解因式的結果是．10．設α、β是方程x2+x﹣3＝0的兩個實數根，則α+β﹣αβ＝．11．已知線段點P是線段AB上的一點，AB長8厘米且BP2＝AP?AB，那么AP的長是厘米．12．如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，點E是AD上一動點，將△ABE沿BE折疊得到△A′BE，當點A′恰好落在EC上時，DE的長為．13．若一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為2cm，圓心角為120°扇形，則該圓錐的側面面積為cm2．14．如圖，正八邊形ABCDEFGH內接于⊙O，對角線AE為⊙O的直徑，連接HE，則∠AEH的度數為．15．如圖，反比例函數y=2x的圖象經過△ABO的頂點A，點D是OA的中點，若反比例函數y=kx的圖象經過點D，則16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是邊BC上的動點，連接AE，過點E作EF⊥AE，與CD邊交于點F，連接AF，則AF的最小值為．三、解答題（本大題共11小題，共88分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（4分）計算：（a2a?3+18．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0；（2）解不等式：2x?(x?1)≥1，1+x19．（8分）計劃用若干天生產一批零件，若甲單獨做則恰好如期完成，若乙單獨做則要超期10天才能完成．實際生產中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙單獨做，結果比計劃提前了5天完成．求原計劃完成的天數．20．（8分）某校甲、乙兩個班級各有23名學生進行校運動會入場式的隊列訓練，為了解這兩個班級參加隊列訓練的學生的身高情況，測量并獲取了這些學生的身高（單位：cm），數據整理如下：a．甲班23名學生的身高：163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180．b．兩班學生身高的平均數、中位數、眾數如表所示：班級平均數中位數眾數甲169mn乙169170167（1）寫出表中m，n的值；（2）在甲班的23名學生中，高于平均身高的人數為p1，在乙班的23名學生中，高于平均身高的人數為p2，則p1p2（填“＞”“＜”或“＝”）；（3）若每班只能有20人參加入場式隊列表演，首先要求這20人與原來23人的身高平均數相同，其次要求這20人身高的方差盡可能小，則甲班未入選的3名學生的身高分別為cm．21．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點O，AO＝CO．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的長．22．（8分）某省運動會如期舉行，其中第二個比賽日包含排球、足球、體操以及藝術體操4個項目．現有四張關于運動項目的門票，門票的正面分別印有的圖案為A．“排球”、B．“足球”、C．“體操”和D．“藝術體操”．將這四張卡片背面朝上（這四種門票的背面完全相同，ABCD作為代號），洗勻：（1）從中抽取一張后放回再抽取一張，兩張門票分別是A和D的概率為；（2）從中隨機抽取兩張，請你用合適的方法，求兩張門票是B和D的概率．23．（8分）小明家窗外有一個路燈，每天晚上燈光都會透過窗戶照進房間里，小明利用相關數學知識測量了這個路燈的高．如圖1所示，路燈頂部A處發光，光線透過窗子DC照亮地面的長度為EF，小明測得窗戶距離地面高度DO＝1m，窗高CD＝1.5m，某一時刻，OE＝1m，EF＝4m，其中B、O、E、F四點在同一條直線上，C、D、O三點在同一條直線上，且AB⊥BE，CO⊥OE．（1）求出路燈的高度AB．（2）現在小明想讓光線透過窗子DC照亮地面的最遠端位置離右墻角點F的距離為2m，如圖2所示，需將路燈AB的高度升高多少米？此時光線照亮地面的最近端位置離O點的距離是多少？（畫出圖形并解答）24．（8分）如圖，在△ABC中，AB＞AC，（1）請用尺規作圖法在邊BC上求作一點D，使S△ABD：S△ACD＝AB：AC；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，連接AD，F是AD的反向延長線上一點，過點F作EF⊥BC交線段BC于點E．若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠AFE的度數．25．（8分）如圖，在⊙O中，AB是弦，AC與⊙O相切于點A，AB＝AC，連接BC，點D是BC的中點，連接AD交⊙O于點E，連接OE交AB于點F．（1）求證：OE⊥AB；（2）若AD＝4，ACBC=3226．（9分）已知二次函數y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1：（1）如果直線y＝x+1經過二次函數y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1圖象的頂點P，求此時a的值；（2）隨著a的變化，該二次函數圖象的頂點P是否都在某條拋物線上？如果是，請求出該拋物線的函數表達式；如果不是，請說明理由；（3）將該二次函數以x＝3為對稱軸翻折后的圖象過（a，b）（a未知，b為常數），求原函數與y軸的交點縱坐標．27．（9分）將圖形特殊化是發現結論和探索方法的重要途徑．如圖，在△ABC中，AD是中線，E是AC邊上一點，∠BAD＝∠DEC＝45°，作AD的垂直平分線分別交AD、DE于點O、F，探究下列問題．【特殊化】（1）當點A與點E重合時，①在圖中，畫出此特殊情形的圖；②此情形下，點F與點重合，此時FD與AC滿足的數量關系為．（2）當點F與點E重合時，在圖中，用尺規作出點A的位置；（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）【一般化】（3）當點A、E、F中，任意兩點不重合時，如圖，判斷（1）問中FD與AC所滿足的數量關系在此情形下是否仍然成立？說明理由．參考答案一、選擇題（本大題共6個小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．選：C．2．選：B．3．選：B．4．選：A．5．選：B．6．選：D．二、填空題7．答案為：11；3?58．答案為：x≥?12且9．答案為：3a（x+y）（x﹣y）．10．答案為：2．11．答案為：12?4512．答案為：37?313．答案為：4π314．答案為：22.5°．15．答案為：1216．答案為：263三、解答題17．解：原式=a2=(a+3)(a?3)a?3＝a．18．解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，x﹣2＝±5，所以x1＝2+5，x2＝2?（2）2x?(x?1)≥1①1+x解不等式①得x≥0，解不等式②得x＜5，所以不等式組的解集為0≤x＜5．19．解：設原計劃完成的天數為x天，則甲單獨做需要x天完成，乙單獨做需要（x+10）天完成，由題意得：10x解得：x＝20，經檢驗，x＝20是原方程的解，且符合題意，答：原計劃完成的天數為20天．20．解：（1）把甲班23名學生的身高從小到大排列，排在中間的數是168，故中位數m＝168；甲班23名學生的身高中165和166出現的次數最多，故眾數n＝165或n＝166；（2）由題意得，p1＝9，p2＝12，∴p1＜p2．故答案為：＜；（3）∵163+164+1803∴甲班未入選的3名學生的身高分別為163、164、180cm．故答案為：163、164、180．21．（1）證明：∵AB∥CD，∴∠DCO＝∠BAO，在△DCO和△BAO中∠DCO=∠BAO∴△DCO≌△BAO（ASA），∴DO＝BO，∵AO＝CO，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，又∵AO＝CO，∴AB2＝BC2，∴AB＝BC，∵AB＝10，∴BC＝AB＝10．22．解：（1）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結果，其中兩張門票分別是A和D的結果有2種，∴從中抽取一張后放回再抽取一張，兩張門票是A和D的概率為216故答案為：18（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能的結果，其中兩張門票是B和D的結果有2種，∴兩張門票是B和D的概率為21223．解：（1）∵AB⊥BE，CO⊥OE，∴AB∥CO，∴△DOE∽△ABE，△COF∽△ABF，∴DOAB=OE即1AB=1解得：AB＝BE＝4（m），答：路燈的高度AB為4m；（2）由（1）得：AB＝4m，BE＝4m，∴BF＝BE+EF＝4+4＝8（m），∴BO＝BF﹣OE﹣EF＝8﹣1﹣4＝3（m），如圖2，將路燈AB的高度升高至BH，由題意得：NF＝2m，∴BN＝BF﹣NF＝8﹣2＝6（m），∴ON＝BN﹣BO＝6﹣3＝3（m），同（1）得BH∥CO，∴△CON∽△HBN，△DOM∽△HBM，∴COHB=ON即1.5+1HB=3解得：HB＝5（m），OM=34（∴AH＝BH﹣AB＝5﹣4＝1（m），答：需將路燈AB的高度升高1米，此時光線照亮地面的最近端位置離O點的距離是34m24．解：（1）如圖，點D為所作；（2）如圖，∵∠B＝35°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝35°+42.5°＝77.5°，∵FE⊥BC，∴∠FED＝90°，∴∠AFE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣77.5°＝12.5°．25．（1）證明：連接OA、OB，如圖所示．∵AC與⊙O相切于點A，∴∠OAC＝90°．設∠EAC＝α，則∠OAE＝90°﹣α．∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE＝90°﹣α，∴∠AOE＝180°﹣∠OEA﹣∠OAE＝2α．∵AB＝AC，D是BC的中點，∴∠BAE＝∠EAC＝α，∴∠BOE＝2∠BAE＝2α，∴∠AOE＝∠BOE．又∵OA＝OB，∴OE⊥AB．（2）解：∵ACBC∴可設AC=3x，BC＝2x∵AB＝AC，D是BC的中點，∴CD=12BC＝x，AD⊥∴AD2+CD2＝AC2．∵AD＝4，∴42+x2＝（3x）2，解得：x＝22，∴AB＝AC=3x＝26，BD＝CD＝x＝22∵OE⊥AB，∴AF=12AB∵∠EFA＝∠BDA＝90°，∠FAE＝∠DAB，∴△FAE∽△DAB，∴EFBD=AF∴EF=3設⊙O的半徑為r，則OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r?3∵OF⊥AB，∴OA2＝OF2+AF2，即r2＝（r?3）2+（6）2解得：r=3∴⊙O的半徑為3326．解：（1）由題意，∵y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1＝（x﹣a+1）2﹣a2+3a，∴P（a﹣1，﹣a2+3a）．又∵點P在直線y＝x+1圖象上，∴﹣a2+3a＝a﹣1+1．∴a＝0或2．（2）頂點P是在拋物線y＝﹣x2+x+2圖象上，理由如下：∵頂點P的坐標為（a﹣1，﹣a2+3a），又令x＝a﹣1，∴y＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣1）2+（a﹣1）+2．∴y＝﹣x2+x+2，∴二次函數圖象的頂點P是在拋物線y＝﹣x2+x+2圖象上，（3）∵原拋物線的頂點坐標為P（a﹣1，﹣a2+3a），又x＝3為對稱軸翻折后的圖象過（