PAGE1-二圓內接四邊形的性質與判定定理課時過關·實力提升基礎鞏固1下列說法正確的有()①圓的內接四邊形的任何一個外角等于它的內角的對角;②圓內接四邊形的對角相等;③圓內接四邊形不能是梯形;④在圓的內部的四邊形叫圓內接四邊形.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個解析①是圓內接四邊形的性質定理2,故①正確;圓內接四邊形的對角互補,但不肯定相等,故②不正確;圓的內接四邊形可以是梯形,故③不正確;頂點在同一個圓上的四邊形叫圓內接四邊形,故④不正確.答案B2圓內接平行四邊形的對角線()A.相互垂直 B.相互垂直平分C.相互平分且相等 D.相等且平分每組對角解析圓內接平行四邊形必為矩形,故其對角線相互平分且相等.答案C3如圖,已知圓內接四邊形ABCD的一組對邊AD,BC的延長線交于點P,對角線AC和BD交于點Q,則圖中共有相像三角形的對數為()A.4 B.3 C.2 D.1解析利用圓周角和圓內接四邊形的性質,可得△PCD∽△PAB,△QCD∽△QBA,△AQD∽△BQC,△PAC∽△PBD,因此共有4對.答案A4如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,AH⊥CD,假如∠HAD=30°,那么∠B=()A.90° B.120° C.135° D.150°解析∵AH⊥CD,∴∠AHD=90°.∵∠HAD=30°,∴∠D=90°-∠HAD=60°.又四邊形ABCD內接于圓O,∴∠B=180°-∠D=120°.答案B5已知四邊形ABCD內接于圓O,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,則∠D=.

解析∵圓的內接四邊形的對角互補,∴∠A+∠C=180°.又∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,∴∠A=40°,∠B=60°,∠C=140°.又∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-60°=120°.答案120°6如圖,已知AB為☉O的直徑,C,D是☉O上的兩點,∠BAC=20°,AD=CD,則∠DAC=解析∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°.又四邊形ABCD內接于圓O,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.則在△ADC中,∠DAC+∠DCA=70°.又AD=∴∠DAC=∠DCA.∴∠DAC=35°.答案35°7如圖,四邊形ABCD是圓O的內接四邊形,延長AB和DC相交于點P,若PBPD=13,則BC解析由于∠PBC=∠PDA,∠P=∠P,則△PAD∽△PCB,故PBPD答案18如圖,☉O1與☉O2相交于點A,B,且☉O2經過點O1,若∠D=40°,則∠C=.

解析如圖,連接O1A,O1B,則四邊形AO1BD內接于☉O2,故∠AO1B+∠D=180°.又∠D=40°,∴∠AO1B=140°,∴∠ACB=12∠AO1B=12×140°=答案70°9如圖,已知四邊形ABCD為平行四邊形,過點A和B的圓與AD,BC分別交于E,F兩點.求證:C,D,E,F四點共圓.分析連接EF.由∠B+∠AEF=180°,∠B+∠C=180°,可得∠AEF=∠C.即四邊形EFCD的一個外角等于它的內角的對角,故C,D,E,F四點共圓.證明如圖,連接EF.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠B+∠C=180°.∵四邊形ABFE內接于圓,∴∠B+∠AEF=180°.∴∠AEF=∠C.∴C,D,E,F四點共圓.10如圖,AB,CD都是圓的弦,且AB∥CD,F為圓上一點,延長FD,AB使它們交于點E.求證:AE·AC=AF·DE.分析連接BD,則BD=AC,即證AE·BD=AF·DE,只要證明△EBD∽△EFA.證明如圖,連接BD,∵AB∥CD,∴BD=AC.∵A,B,D,F四點共圓,∴∠EBD=∠F.又∠DEB=∠FEA,∴△EBD∽△EFA.∴DEAE∴DEAE=ACAF,即AE實力提升1如圖,在☉O中,弦AB的長等于半徑,若∠DAE=80°,則∠ACD=()A.30° B.45° C.50° D.60°解析∵四邊形ABCD內接于圓O,∴∠DAE=∠BCD=80°.∵弦AB的長等于半徑,∴弦AB所對圓心角為60°.∴∠ACB=12×60°=30°∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=80°-30°=50°.答案C2如圖,已知AB是☉O的直徑,點E為BC的中點,AB=4,∠BED=120°,則圖中陰影部分的面積之和為()A.3 B.23C.32解析連接AE,OD,OE,∵AB是直徑,∴∠AEB=90°.又∠BED=120°,∴∠AED=30°.∴∠AOD=2∠AED=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等邊三角形,∴∠OAD=60°.∵點E為BC的中點,∠AEB=90°,∴AB=AC.∴△ABC是邊長為4的等邊三角形,△EDC是邊長為2的等邊三角形,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴BE和弦BE圍成的部分的面積=DE和弦DE所圍成的部分的面積,∴陰影部分的面積之和=S△EDC=34×22=3答案A3如圖,以AB為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E,F兩點,若AB=4,∠ACB=60°,則EF=.

解析如圖,連接AE,∵AB為圓的直徑,∴∠AEB=∠AEC=90°.又∠ACB=60°,∴CA=2CE.由圓內接四邊形性質易得,∠CFE=∠CBA.又∠C=∠C,∴△CEF∽△CAB.∴EFBA又AB=4,∴EF=2.答案24如圖,兩圓相交于A,B兩點,過點A的直線交兩圓于點C,D,過點B的直線交兩圓于點E,F,連接CE,DF,若∠C=95°,則∠D=.

解析∵A,B,C,E四點共圓,∴∠ABE+∠C=180°,∴∠ABE=180°-95°=85°.又∠ABE是四邊形ABFD的外角,∴∠D=∠ABE=85°.答案85°★5已知圓內接四邊形ABCD的邊長分別是AB=2,BC=6,CD=DA=4,則四邊形ABCD的面積等于.

解析由于四點共圓,∴∠B+∠D=180°.∴cosB=-cosD.依據余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,∴AC2=22+62-2×2×6cosB=22+62+2×2×6cosD,AC2=42+42-2×4×4cosD,∴cosD=-17,sinD=sinB=4∴四邊形ABCD的面積=12AB·BCsinB+12AD·DCsinD=8答案836如圖,兩圓相交于A,B兩點,過點A作兩直線CD,EF分別交兩圓于點C,D和點E,F.若∠EAB=∠DAB.求證:CD=EF.分析連接CB,BF,要證CD=EF,只需證明△CBD≌△EBF即可.證明如圖,連接CB,BF,因為四邊形ABEC為圓內接四邊形,所以∠2=∠CEB.又因為∠1=∠ECB,∠1=∠2,所以∠CEB=∠ECB.所以BC=BE.又因為∠BCD=∠BEF,∠D=∠F,BC=BE,所以△CBD≌△EBF.所以CD=EF.7如圖,已知△ABC的兩條角平分線AD和CE相交于點H,∠B=60°,點F在AC上,且AE=AF.求證:(1)B,D,H,E四點共圓;(2)CE平分∠DEF.證明(1)∵在△ABC中,∠B=60°,∴∠BAC+∠BCA=120°.∵AD,CE是角平分線,∴∠HAC+∠HCA=60°.∴∠AHC=180°-∠HAC-∠HCA=120°.∴∠EHD=∠AHC=120°.∴∠EBD+∠EHD=180°.∴B,D,H,E四點共圓.(2)如圖,連接BH,則BH為∠ABC的平分線,得∠HBD=30°.由(1)知B,D,H,E四點共圓,∴∠CED=∠HBD=30°,∠AHE=∠EBD=60°.又AE=AF,AD平分∠BAC,∴EF⊥AD.∴∠CEF=30°.∴∠CEF=∠CED.∴CE平分∠DEF.★8如圖,已知P為正方形ABCD的對角線BD上一點,通過點P作正方形的邊的垂線,垂足分別為點E,F,G,H.你能推斷出點E,F,G,H是否在同一個圓上嗎?試證明你的推斷.分析依據正方形的對稱性,可以推斷,此四個點在以O為圓心的圓上,于是連接線段OE,OF,OG,OH,再設法證明這四條線段相等.解E,F,G,