專題22.1成比例線段【七大題型】

【滬科版】

【題型?成比例線段的概念】....................................................................1

【題型2成比例線段的應(yīng)用】....................................................................3

【題型3比例的證明】..........................................................................5

【題型4利用比例的性質(zhì)求比值】...............................................................7

【題型5利用比例的性質(zhì)求參】.................................................................8

【題型6比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】......................................................10

【題型7黃金分割】...........................................................................13

”。手三

【知識點1成比例線段的概念】

1.比例的項：

在比例式（即N=￡）中，G,d稱為比例外項，6C稱為比例內(nèi)項.特別地，在比例式

bd

（即g=2）中，力稱為4C的比例中項，滿足從=仇3

bc

2.成比例線段：

四條線段。，b,C,d中，如果。和b的比等于C和d的比，即:二￡,那么這四條線段a,b,c,d

ba

叫做成比例線段，簡稱比例線段.

【題型1成比例線段的概念】

【例1】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）不能與2,4,6組成比例式的數(shù)是（）

A.gB.3C.8D.12

【分析】利用表示兩個比相等的式子，叫做比例式，然后分別求出4、B、。、。選項的比值，即可判斷.

【解答】解：4、/2=4：6,故A不符合題意；

B、2：3=4：6,故4不符合題意；

C、2：4#6：8,故C符合題意；

D、2：4=6：12,故。不符合題意；

故選：C.

【變式1?1】（2022秋?義烏市月考）己知線段。=2,6=6,則它們的比例中項線段為，百一

【分析】由題意線段c是。、b的比例中項，可知/=（而，由此即可解決問題.

【解答】解：???線段c是。、〃的比例中項，

.'?（r=abi

b=6,

/.C2=12,

Vc>0,

Ac=2V3,

故答案為：2V3.

【變式1-2］（2022秋?道里區(qū)期末）如圖，用圖中的數(shù)據(jù)不能組成的比例是（）

A.2：4=1.5：3D.3：1.5=4：2C.2：3=1.5：4D.1.5：2=3：4

【分析】根據(jù)對于四條線段。、Ac、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比

相等，如"=〃（即,以=從），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，進而分別判斷即

可.

【解答】解：42：4=1：2=1.5：3,能組成比例，錯誤；

B、3：1.5=2：1=4：2,能組成比例，錯誤；

C、2：3X1.5：4；不能組成比例，正確；

D.1.5：2=3：4,能組成比例，錯誤；

故選：C.

【變式1-3］（2022秋?八步區(qū)期中）如圖所示,有矩形A5CD和矩形■氏CD',AB=ScmtBC=\2cm,A'B,

=4cm,8'。=6c..則線段AE,AB,B'C,BC是成比例線段嗎?

【分析】求出若，塞的值判斷即可.

ADDC

【解答】解：???A8=8o〃，BC=\2cm,A'8'=4cm,B,C=6an,

.AiBi41B>Cf61

>?———=-9=—f

AB82BC122

.ArBi_BiCt

''AB~BC

AB,B,C,8C是成比例線段.

【題型2成比例線段的應(yīng)用】

【例2】(2022秋?渭濱區(qū)期末)已知AABC的三邊分別為〃，兒c,且(a-c)：(a+力)：(c-Z?)=-

2：7：I,試判斷△ABC的形狀.

【分析】設(shè)a-c=-2攵，a+b=7,c-。=1,再利用攵分別表示出a、b、c,然后利用勾股定理的逆定埋

進行判斷.

【解答】解：V(a-c)：(a+h)：(c-〃)=-2：7：I,

a-c=-2ka=3k

???設(shè)Q+b=7k，解得b=4k，

c—b=kIc=5k

?：a2+b2=(3k)2+(4k)2=25lr=(5k)2=?,

???△ABC為直角三角形，ZC=90°.

【變式2-1](2022秋?青羊區(qū)校級月考)甲、乙兩地的實際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地

圖上，甲乙兩地的距離是()

A.0.8(777B.8(772C.80cmD.800cm.

【分析】設(shè)地圖上，甲乙兩地的距離是根據(jù)比例尺的定理列出方程，解之可得.

【解答】解：設(shè)地圖上，甲乙兩地的距離是

根據(jù)題意,得：』

解得：x=80,

即地圖上，甲乙兩地的距離是80c〃?,

故選：C.

【變式2-2](2022秋?杜爾伯特縣期末)一個班有30名學(xué)生，男、女生人數(shù)的比可能是()

3：2B.1：3C.4：5D.3：1

【分析】根據(jù)人數(shù)必須是整數(shù)，所以男、女生人數(shù)占的總分?jǐn)?shù)必須能被3()整除，然后進行計算即可解答.

【解答】解：4、30+(3+2)=6,能得出整數(shù)的結(jié)果，故力符合題意;

B、304-(1+3)=7.5,不能得出整數(shù)的結(jié)果，故3不符合題意;

C、304-(4+5)二學(xué)，不能得出整數(shù)的結(jié)果，故C不符合題意;

D、30+(3+1)=7.5,不能得出整數(shù)的結(jié)果，故。不符合題意;

故選:A.

【變式2-3）（2022?臺灣）某校每位學(xué)生上、下學(xué)期各選擇一個社團，下表為該校學(xué)生上、下學(xué)期各社團

的人數(shù)比例.若該校.上、下學(xué)期的學(xué)生人數(shù)不變，相較于上學(xué)期，下學(xué)期各社團的學(xué)生人數(shù)變化，下列

敘述何者正確？（）

舞蹈社溜冰社魔術(shù)社

上學(xué)期345

下學(xué)期432

A.舞蹈社不變,溜冰社減少

B.舞蹈社不變,溜冰社不變

C.舞蹈社增加,溜冰社減少

D.舞蹈社增加,溜冰社不變

【分析】若甲：乙：丙b：c,則甲占全部的.，乙占全部叱短，丙占全部的小?

【解答】解：由表得知上、下學(xué)期各社團人數(shù)占全部人數(shù)的比例如下:

舞蹈社溜冰社魔術(shù)社

上學(xué)期_3___9_4_12_5__15

123612361236

4_163_122_8

下學(xué)期——.....一.

936936936

???舞蹈社增加，溜冰社不變.

故選：D.

【知識點2比例的性質(zhì)】

比例的性質(zhì)示例剖析

xy

(1)基本性質(zhì)：2=￡=ad=hc{hdH0)—=<=>3.r=2y

bd

（2）反比性質(zhì)：苫=5。2=@3力〃工0）xy23

-=7<=>-=-⑶00)

bdac23xy

(3)更比性質(zhì)：丁=:0—二-；或

hdcd3=￡o'=<|或)=](乃工0)

23y3x2

—=—(abedH0)

ba

,人.3Hacci+bc+d...小x2x+y2+3/八、

(4)合比性質(zhì)：-=-<=>——=——(bd*0)=o=(y*0)

baba)，3y3

/、八itniazaca—bc—di八、y3y-x3-2.八、

(5)分比性質(zhì)：-=—<=>——=——(bd*0)

bdbax2x2

,八人八aca+bc+d

(6)合分比性質(zhì)：===

baa-bc-ax2x+y2+3

y3x-y2-3

{bdw0,〃wacwd)

(7)等比性質(zhì)：

234

已知--，則當(dāng)x+y+z/O時，

acm.八'xyz

—=-=???=—(b+d-\----F，?00)

bdn2二3二4.2+3+4

a+c+--+ma,,..八、

n----------------=—(b+d+L+〃w0)xyzx+y+z*

b+d+--'+nb

【題型3比例的證明】

【例3】（2022秋?汝州市校級月考）已知線段mb,c，d（存時。），如果短冷上求證：奇=鬻

【分析】根據(jù)比例線段的性質(zhì)證明即可.

【解答】證明：由

可得：a=bk,c=dk,

把片從,=或代入告=智=%,

把〃=從，「以代入鬻=*=匕

可得：言=篝

【變式3/】（2022春?江陰市期中）如圖，點從C在線段AQ上，且4&BC=AD.CD,求證*+總=a

ABCD

【分析】由己知條件得到*=*,即$=鬻,兩邊同除以AC即可得到結(jié)論.

【解答】證明：???4=。，

譚吟，即AC-ABAD-AC

ABAD

AD

.1.12

?+—=—.

ABADAC

【變式3-2］（2022秋?秦都區(qū)校級期中）已知:如圖，點。為三角形48c內(nèi)部的任意一點，連接AO并延

長交于點。.

S4ABO_SA"。(^\SAAB。_BD

證明：（I）(2)

ShBODS&COD,GF

SMB。_絲也?一券，由此即可解決問題?

【分析】（1）由等高模型可知:

SAB。。ODS4COD

（2）利用等高模型以及比例的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】證明：（i）?.?22-絲瓶皿一絲

S&BOD。。S[cOD

1

?SUB。_S”c。

St.BODSACOD

(2),?S"BD_S4OBD_BD

S￡.ADCSC.ODCCD

?SAABD-SAOBD_BD

SAADC-SAODCCD'

?SAA80_BD

SAACOCD

ab+cd

【變式3-3】（2022秋?岳陽縣期中）若小b,c,d是非零實數(shù)且"小求證器會

b2+d2'

【分析】由于(a2+c2)(b2+d2)=cvbLjr(r}rJr(r(iLj<r(?(f-?(at汁cd)(ab+cd')=a2b2+2abcd+(rd2,根據(jù)比

例的基本性質(zhì)得到仇:，可得（"+（?）（b2+d2）=（.ab+cd）（ab+cd）,從而得證.

【解答】證明：*=；

：“id=bc.

*.*(?2+c2)(b2+d2)/2d2+u",

(ab+cd)(ab+cd)=crb2+2abcd+(rd2,

■:2ahcd=(rtr+crd1

(i?2+c2)(〃+/)=(ab+cd)(ab+cd),

.a2+c2_ab+cd

ab+cdb2+d2"

【題型4利用比例的性質(zhì)求比值】

【例4】（2022秋?炎陵縣期末）已知3=：,則三=”.

【分析】根據(jù)鼻=：,可得禁=：,再根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解.

3a-h42b3

【解答】解：???g==，

3a-b4

?

?3?-a-b—―4,

2b3

.3a1_4

.a11

??一=一.

b9

故答案為：獲.

【變式4-1］（2022春?霍邱縣期末）若等=￡那么相值等于（）

A.-B.-C.--D.--

5454

【分析】把化成1，=：,即可求出2的值.

a4a4a

【解答】解：???等=1

?13

??I——,

a4

?b1

故選：B.

【變式4-2］（2022春.沙坪壩區(qū)校級期末）若2=5="阻人24+3尸0,則三等登的值為（）

baf3b-2a+3f

\-B-r-D-

**6326

【分析】先利用分式的基本性質(zhì)得到？=葛=意然后根據(jù)等比性質(zhì)解決問題.

b-2d3/3

【解答】解「?尸卜尸2

，..一a=--2-c-=—3e=—1

b-2d3/3

而〃-2dly'K0

.a-2c+3e_1

?%-2d+3/-3,

故選：B.

【變式4-3]（2022春?棲霞市期末）下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A.若鴻，則瀉

B.若呼/則K

C.若，=；=|（b-dWO）,則E=l

D.若￡=￡則a=3,b=4

【分析】分別利用比例的基本性質(zhì)分析得出答案.

【解答】解：A、若：=三，則2=：,正確，不合題意；

45C5

B、若F=g則6（。-人）=b,故6a=78,則三二：，止確，不合題意；

b6b6

C、若；=；=[（〃-dW0）,則W=j正確，不合題意；

ba3n-a3

D、若￡=j無法得出小沙的值，故此選項錯誤，符合題意.

故選：D.

【題型5利用比例的性質(zhì)求參】

[ft5]（2022秋?蜀山區(qū)校級期中）已知："=上=也=A,則人=2或7.

xyZ----------

【分析】能夠根據(jù)比例的基本性質(zhì)熟練進行比例式和等積式的互相轉(zhuǎn)換.

【解答】解：此題要分情況考慮：

當(dāng)x+y+zWO時，則根據(jù)比例的等比性質(zhì)，得上簧詈=2：

當(dāng)x+y+z=O時，即x+y=-z,則Z=-I,故填2或-I.

【變式5-1]（2022秋?灌云縣期末）已知且x+）=24.則x的值是（）

A.15B.9C.5D.3

【分析】設(shè);=:=4，根據(jù)比例的性質(zhì)求出x=3A,y=5k,根據(jù)x+），=24得出弘+54=24,求出我,再求

出x即可.

【解答】解：設(shè)g盤=%,貝「=33），=5匕

??”+），=24.

???3%+5攵=24,

解得：2=3,

???x=3X3=9,

故選:B.

【變式5-2］（2022秋?高州市期中）已知J一5一g且3y=2>6,求x,y的值.

356

【分析】由若3=2=g可設(shè):=馬=：=匕這樣用A分別表示X、>、Z,即x=3k,丫=5k,z=6k,再利

356356

用3y=2z+6,可得到關(guān)于攵的方程，解方程得到攵的值，從而可確定x的值.

【解答】解：設(shè)

則x=3k,y=5k,z=6k,

???3），=2z+6,

???3X5Z=2X6k+6,

解得：k=2,

，x=3Z=6,y=5k=\0.

【變式5-3］（2022?雨城區(qū)校級開學(xué)）我們知道：若m=9且HdKO,那么E=：=分.

bdbdb+d

（1）若b+d=O,那么a、c滿足什么關(guān)系？

（2）若竺￡=-=竺=匕求產(chǎn)-L2的值.

abc

【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)比例的性質(zhì)求得/的值，把/的值代入代數(shù)式即可得到結(jié)論.

【解答】解：⑴??一=：，b+d=O,

bd

/.a+c=O；

（2）①當(dāng)a+HcWO時，—=^=—=t=出等=2,

abca+b+c

???於-/-2=22-2-2=0,

②當(dāng)a+h+c=O時，b+c=~a,a+c=-b,a+b=-c,

?b+ca+ca+b八

?--=---=----t——］,t

abc

???尸7?2=0.

【題型6比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】

【例6】（2022秋?渝中區(qū)期末）閱讀理解:

已知：a,b,c,d都是不為0的數(shù)，且￡=；，求證：手=等?

證明:

b-d

?

..-a-+b=-c-+-d

bd

根據(jù)以上方法，解答下列問題：

（1）若*=3求早的值；

（2）若f=5，且c#d,證明r二口.

bda+bc+d

【分析】（1）把要求的式子化成三飪=三+1，冉進行計算即可得出答案；

bb

（2）根據(jù)比例的性質(zhì)得出?=蜉，竽=等，再分別相除即可得出答案?

baba

【解答】解：⑴—=:，

u5

a

b

?a-bc-d

??丁二T'

..a+bc+d

?丁=T，

?a-b.a+bc-d.c+d

bbdd

...-a-b=-c---d.

a+bc+d

【變式6-1】閱讀材料：

已知g=?=求安的值.

346x-y+z

解：設(shè)：=3=（=%（%#（））,則x=3%,y=4匕z=64.（第一步）

,x+y-z_3k+41(-6k

x-y+z3fc-4fc+6fc5k5

(1)回答下列問題：

①第一步運用了等式的基本性質(zhì),

②第二步的解題過程運用了代入消元的方法,

由5得:利用了分式的基本性質(zhì).

(2)模仿材料解題：

已知上戶z=2：3：4,求學(xué)？的值.

,x-2y+3z

【分析】(1)利用等式的基本性質(zhì)，代入消元法，分式的基本性質(zhì)，即可解答；

(2)仿照例題的思路，進行計算即可解答.

【解答】解：(1)①第一步運用了等式的基本性質(zhì)，

②第二步的解題過程運用了代入消元的方法，

由之得:利用了分式的某本性質(zhì)，

O/vD

故答案為：等式，代入消元，分式；

(2)Vx：y：z=2：3：4,

,設(shè)x=2k,y=3k,z=4k,

.x+y+z_2k+3k+4k

*'x-2y+3z2k-6k+l2k

=—9k

8k

9

一8,

【變式6-2](2022秋?椒江區(qū)校級月考)閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：已知(公b、c互不相等)，求x+Hz的值.

解：設(shè)=義=三=億則(a-b),y=k(b-c)：z=k(c-a),

a-bb-cc-a?'

.',x+y+z=k(.a~b+b-c+c-a)=A?O=O,/.x+y+z=0.

依照上述方法解答下列問題：

a,b,c為非零實數(shù)，且4+O+cWO,當(dāng)竺匕="咨=3上時，求(a+b)(b：O(c+a)的值.

cbaabc

【分析】設(shè)""￡二"學(xué)=上生￡=公利用比例的性質(zhì)得到a+8-C=Sa-b+c=kb,-a+b+c=ka,

cba

將三式相加可以求得A=l,所以利用等量代換和約分可以求得所求代數(shù)式的值.

【解答】解：設(shè)"上=『=/￡=%,

cba

所以a+b-c=kc?,

a-b+c=kb?,

-a+b+c=ka@,

由①+②+③，得

a+b+c=k(a+b+c).

???a+〃+cX(),

:.k=\.

.*.?+/?=2c>h+c=2(bc+a=2b.

.(a+b)(b+c)(c+a)_2cx2ax2b

??==o?

abcabc

【變式6-3](2022春?鼓樓區(qū)校級期中)閱讀下面的解題過程，然后解題：

題目：已知三=六=-^(a、b、。互相不相等)，求x+廣z的值.

a-bb-cc-a/

解：設(shè)-^7===工=上，貝Jx=kCa-b),y=k(b-c),z=k(c-a)于是，x+y+z=A(a-b+b-

a-bb-cc-a''

c+c-a)=k?0=0,

依照上述方法解答下列問題：己知：注=里=也(.計y+zWO),求U二的值.

xyzx+y+z

【分析】設(shè)"="="=七根據(jù)比例的性質(zhì)得到x=y=z,計算即可.

xyz,

【解答】解：設(shè)比=織=9=匕

xyz

則y+z=xk,z+x=yk,x+y=zk.

：.2(x+y+z)=k(x+y+z),

解得，k=2,

.\y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z,

解得，x=y=z,

則工￡=」.

x+y+z3

【知識點3黃金分割】

如圖，若線段A8上一點C,把線段48分成兩條線段4C和BC(AC>8。)，且使AC是A3和BC

的比例中項(即AC2=48-8C),則稱線段48被點C黃金分割，點C叫線段A8的黃金分割點，其中

AC=3」A4Q（）.618A4,/3C=三二叵44yo.382A8,AC與AB的比叫做黃金比.（注意：對于線段

22

而言，黃金分割點有兩個.）

【題型7黃金分割】

【例7】（2022?青羊區(qū)校級模擬）如圖，點A是正方形A8C。的4B邊上線段AB的黃金分割點，且4R>

RB，S表示以AR為邊長的正方形面積；S2表示以BC為長，8R為寬的矩形的面積，SB表示正方形除去

曲，上剩余的面積，則S：$2的值為I.

【分析】設(shè)AB=a,根據(jù)黃金比值用。表示出AR、8R,根據(jù)矩形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：設(shè)43=。,

???點R是邊AB邊上的黃金分割點，AR>RB,

,",AR=、5/8=、-Tq,

22

則BR=AB-4R=a-正工=-a,

22

???$：S2=（—67）2：axg=l,

22

故答案為：1.

【變式7-1]（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知點P是線段AB上的一點，線段AP是P8和48的比例中項，下

列結(jié)論中，正確的是（）

APBV5+1nPB\/5+1廠AP再-1、AP75-1

A?而=hB-^F=-C.而==D.而=h

【分析】根據(jù)黃金分割的定義判斷即可.

【解答】解：??,點戶是線段A8上的一點，線段是依和/W的比例中項，

:.AP2=PB?AB,

???點夕是A3的黃金分割點，

.APVs-l

??9

AB2

故選：C.

【變式7-2］（2022秋?江都區(qū)校級月考）已知，點。是線段AB的黃金分割點，若4。＞/犯

（1）若A8=10cm,則AQ