專題21.6二次函數圖象與系數的關系選填壓軸專項訓練（30道）

【滬科版】

考卷信息:

本套訓練卷共3（）題，選擇15題，填空15題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可強化學生對二次函

數圖象與系數之間關系的理解！

選擇題（共15小題）

1.（2022?葫蘆島一模）如圖，拋物線y=ar2+bx+c的對稱軸為X=-1,且過點0，0）,有下列結論：

①Mc>0；@a-2/?+4c>0：③25a-100+4c=0；④38+2c>0；

其中所有正確的結論是（）

【分析】①根據拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸的交點即可得結論；

②根據拋物線與x軸的交點坐標即可得結論；

③根據對稱軸和與x軸的交點得另一個交點坐標，把另一個交點坐標代入拋物線解析式即可得結論;

④根據點《，0）和對稱軸方程即可得結論.

【解答】解：①觀察圖象可知：

（7<0,b<0,c>0,?\abc>0,

所以①正確；

②當時，）=0,

即工a+4+c=0,

42

a+2/?+4c=0.

.*.a+4c=-2b,

??a-2b+4c=-4/?>0,

所以②正確；

③因為對稱軸x=-l,拋物線與x軸的交點0,0),

所以與％軸的另一個交點為(-?,0),

當人=一：時，-?-^+=0,

242c

A25a-1()〃+4c=0.

所以③正確：

④當.v=3時，a+2h+4c=0,

又對稱軸：一?=一1，

2a

?\b=2a,a-2-b,

-2b+2b+4c=0f

??,Kb=-8-c.

2414

3/?+2(?=——c+2c=—yc<0,

：,3b+2c<0.

所以④錯誤.

或者???當％=1時，a+b+c<0,

Ac<-a-bi

又?：b=2a,

?，a=

cV-

：.2c<-3b,

.,.2c+3Z><0,

???結論④錯誤

故選：C.

2.(2022?恩施市一模)二次函數尸加+區+c(g0)的大致圖象如圖所示，頂點坐標為(-2,-9a),

下列結論：①abcVO；②4a+26+c>0；?5a-/?+c=0；④若方程a(x+5)(x-1)=-1有兩個根xi和

應，且為VM，則?5<汨<]2<1;⑤若方程|aF+以+d=l有四個根，則這四個根的和為-8,其中正確的

C.②③④⑤D.?@?⑤

【分析】①拋物線對稱軸在y軸左側，則。。同號，而cVO,即可求解;

②x=2時，y=4a+2Hc>0,即可求解；

@5a-b+c=5a-4a-5a^0,即可求解；

④y=a(x+5)(A-I)+1,相當于由原拋物線,向上平移了1個單位，即可求解；

⑤若方程laP+bx+cLI,即：若方程加+/?x+c=±I,當a^+Ar+c-1=0時，由韋達定理得：其兩個根的

和為-4,即可求解.

【解答】解：二次函數表達式為：y=a(x+2)2-9a=ar+4ar-5a=a(x+5)Cx-1),

①拋物線對稱軸在)，軸左側，Qija〃同號，而cVO,則RMVO,故正確；

②函數在y軸右側的交點為％=1,x=2時，y=4a+2b+c>0,故正確；

③5a?A+c=5a?4a?5aW0,故錯誤；

④y=a(x+5)(x-1)+L相當于由原拋物線丁=加+泳+。向上平移了1個單位，故有兩個根由和治，

且Xi<X2f則-5<即<必<1,正確；

⑤若方程|加+法+。|=I,即：若方程加+A+c=±1,當加+/?x+c-I=0時，用韋達定理得：其兩個根的

和為-4,同理當ar2+云+91=()時，其兩個根的和也為-%故正確.

故選：D.

3.(2022春?崇川區校級期末)二次函數y=af+Ar+c(小b,c是常數，a#0)的自變量x與函數值)，的

部分對應值如下表：

x-2-I012

A4t/-4>y,

???③錯誤.

故選：B.

4.（2022春?東湖區校級期末）如圖，已知二次函數），=-『+氏-c,它與x軸交于A、B,且A、B位于原

點兩側，與y的正半軸交于C,頂點。在y軸右側的直線/：），=4上，則下列說法：①兒VO；@0<b<

4；③AA=4；?5,MBD=?.其中正確的結論有.（）

C.①②③D.????

【分析】先由拋物線解析式得到。=-1<0,利用拋物線的對稱軸得到》=-2aV0,易得cVO,于是可

對①進行判斷；由頂點。在），軸右側的直線/：y=4上可得力的范圍，從而可判斷②是否正確；由。=-

1及頂點。在y軸右側的直線!：y=4上，可得拋物線與x軸兩交點之間的距離AB為定值，故可取8=2

進行計算，即可求得AB的長度及S..ABD的大小.

【解答】解：???拋物線開口向下,

：.a=-1<0,

???拋物線的對稱軸為直線尸-白>0,

2a

；?b>0,

而拋物線與y軸的交點在x軸上方，

，-c>0,則c<0,

.,./?（,<0?故①正確；

由頂點。在y釉右側的直線/：），=4上可得:

4x（_l）x（_c）_bZ_4

4x（-1）一

???b2=4c+16

V0<-c<4

/.-16<4c<0

/.0<4c+16<16

A0</?<4

???②正確；

'：a=-1,

???該拋物線的開口方向及大小是一定的

乂???頂點。在y軸右側的直線/：y=4上

???該拋物線與x軸兩交點之間的距離AB是定值，

故可令b=2

則c=-3

此時拋物線解析式為：y=-『+2￥+3

由-丁+2什3=0

得明=-1,X2=3

故A8=4

???③正確；

S?=4X4+2=8

故④正確；

綜上，故選：

5.(2022?丹東)如圖，拋物線力x+c(aWO)與x軸交于點A(5,0),與y軸交于點C,其對稱

軸為直線工=2,結合圖象分析如下結論：①"c>0：②b+3〃<()：③當工>0時，y隨x的增大而增大；

④若一次函數)，=依+〃awo)的圖象經過點A,則點E(A,b)在第四象限；⑤點"是拋物線的頂點，

【分析】①正確，根據拋物線的位置判斷即可;

②正確，利用對稱軸公式，可得〃=-4m可得結論；

③錯誤，應該是x>2時，y隨x的增大而增大；

④正確，判斷出心>0,可得結論；

⑤正確，設拋物線的解析式為(x+1)(x-5)=?(x-2)2-9a,可得M(2,-9a),C(0,

5a),過點M作軸于點”，設對稱軸交入軸于點K.利用相似三角形的性質，構建方程求出

即可.

【解答】解：???拋物線開口向上，

：.a>0,

?.?對稱軸是直線x=2,

:.b=-4。V0

???拋物線交y軸的負半軸，

.*.c<0,

/.abc>0,故①正確,

?"=-4。，〃>0,

.*.b+3a=-t/<0?故②正確，

觀察圖象可知，當0VxW2時，y隨工的增大而減小，故③錯誤，

一次函數丁="+〃axo)的圖象經過點A,

?"vo,

???攵>0,此時Ea,b)在第四象限，故④正確.

???拋物線經過(?1,0),(5,0),

，可以假設拋物線的解析式為y=a(x+l)(x-5)=a(x-2)2-9a,

：,M(2,-9a),C(0,-5a),

過點M作軸于點H,設對稱軸交x軸『點K.

AZAMC=ZKMH=9(r,

:?/CMH=NKMA,

VZM/7C=ZM/C4=90°,

：.4MHCS4MKA、

.MH_CH

…MK-AKf

.2-4a

.?---=----

-9a3

Va>0,

a=萼，故⑤正確?

6

故選：D.

6.(2022?鶴峰縣二模)如圖，二次函數,，=加+飯+c(“WO)的圖象與x軸交于A,B兩點，點B位于(4,

0)、(5,0)之間，與y軸交于點C,對稱軸為直線4=2,直線)，=-x+c與拋物線)，=aP+bx+c?交于C,

D兩點，。點在x軸上方且橫坐標小于5,則下列結論：@4a+/?+c>0：②a-匕+cVO；③zn(am+Z?)<

4〃+2〃(其中機為任意實數)；④〃V-1,其中正確的是()

D.???

【分析】利用拋物線與y軸的交點位置得到c>0,利用對稱軸方程得到b=-4a,則4a+2>c=c>0,

于是可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x地的另一個交點在點(-1,0)右側，則當

.r=-1時，y<(),于是可對②進行判斷；根據二次函數的性質得到x=2時，二次函數有最大值，則

門"尸+〃〃i+cW4a+2b+c,即，miam+b)W4a+26,于是可對③進行判斷；由于直線y=-x+c與拋物線y

=ad+兒He交于C、D兩點,。點在x軸上方且橫坐標小于5,利用函數圖象得工=5時，一次函數值比

二次函數值大，即25a+5HcV?5+c,然后把〃=-4代入解a的不等式，則可對④進行判斷；

【解答】解；???拋物線與)，軸的交點在x軸上方，

Ac>0,

???拋物線的對稱軸為直線x=2.M=-4a,

.??44+》+c=4a-4a+c=c>0,所以①正確：

???拋物線的對稱軸為直線x=2,與x軸的一個交點8位于（4,0）、（5,0）之間，

???拋物線與工軸的另一個交點位于（0,0）、（-1,0）之間，

卻當x=-1時，yVO,也就是。->cVO,因此②正確；

???對稱軸為x=2,

???x=2時的函數值大于或等于x=m時函數值，即，當K=2時，函數值最大，

:.am2+bm+c^4a+2b^c,

即，〃？（am+h）W4a+2〃，因此③不正確；

???直線尸?x+c與拋物線產加+bx+c交于C、。兩點，。點在x軸上方且橫坐標小于5,

??.,v=5時，一次函數值比二次函數值大，

即25a+5b+c<-5+c,

而b=-4a,

???254-20a<-5,解得a<-l,因此④正確；

綜上所述，正確的結論有①②④，

故選：C.

7.（2022秋?朝陽期中）如圖，拋物線），=加+云+°（4#0）與x軸交于點（-3,0）,其對?稱軸為直線x=-；,

結合圖象分析下列結論：①。蛇>0；②3a+c>0；③當％vo時，y隨上?的增大而增大；④一元二次方程

小+公+〃=0的兩根分別為X1=—g,X2=⑤若〃（〃?V〃）為方程。（%+3）（%?2）+3=0的兩個

根，則mV-3且〃>2,其中正確的結論有（）個.

x=-4

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置判斷①.由對稱軸為直線.尸-：可

得。=從根據拋物線經過點（-3,0）可得6a+c=0,再由aVO可判斷②.由圖象對稱軸及開口方向③.由

2

他物線經過（）可得拋物線經過（）進而可得士比竺=30因為cx+hx-^a

-3,02,0,2a-3,孔2a"=2,

=0的根為x=3三遠和工=士竺三近，將。與C的關系代入求解可判斷④.將a（x+3）（X-2）+3

2C2C

=0轉化為拋物線與直線），=-3的交點可判斷⑤.

【解答】解：???拋物線開口向下，

Aa<0,

???拋物線對稱軸為直線工=一5=一；，

2a2

b=a〈O,

???拋物線與y軸交點在x軸上方，

/.c>0,

.??a0c>0,①正確，符合題意.

???拋物線經過點（-3,0）,

???加-3b+c=（）,

?:a=b,

6〃+c=3a+3〃+c=0,

??ZVO,

3a+c>0,②正確,符合題意.

由圖象可得工V一：時，y隨x增大而增大，

???③錯誤，不符合題意.

由cf+法+°=0可得方程的解為A=*等遠和x=上筍,

???拋物線產加+公+c?經過（-3,0）,對稱軸為直線.1=-5

???拋物線與x軸另一個交點為（2,（））,

.3=-3和x=2是方程ax1+bx+c=O的根，

.-b->/b2-4ac令-b+\b2-4ac-

??——3,=2,

V6r/+c=0,

??c=-6”，

...士宇遠上等酶④正確，符合題意.

4COCC乙

???拋物線經過（-3,0）,（2,0）,

?'.y=a（x+3）（x-2）,

將。（x+3）（x-2）+3=0化為。（x+3）（x-2）=-3,

由圖象得拋物線與直線y=-3交點在x軸下方，

?'?m<-3且n>2,⑤正確，符合題意.

故選：C.

8.（2022?河東區二模）已知拋物線y=aF+A+c開口向下，與x軸交于點4（-1,0）,頂點坐標為（1,

〃），與），軸的交點在（0,2）,（0,3）之間（包含端點），則下列結論：①2。+〃=0；②-1WH③對

于任意實數in,a（nr-1）+〃（機-1）W0總成立；④關于A的方程a^+bx+c-n+1=0有兩個不相等的

實數根，其中結論正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由拋物線開口方向判斷。與。的關系，由拋物線與X軸交點坐標判斷4、仄C的關系，由頂點

坐標及頂點坐標公式推斷的關系及〃與。、力、C的關系，由拋物線與），軸的交點坐標判斷C的取值

范圍，進而對所得結論進行推斷.

【解答】解：?.?拋物線），=a，+法+。的頂點坐標為（1,〃）

.b44ac-b2

..-----=---------=n

2a4a

：.2a+h=0

故①正確.

???拋物線與x軸交于點（-1,0）

：.a-b+c=O

:?c=b-a

由①知：2“+〃=0,g|Jb=-2a

，c=-2a-a=-3a

又???拋物線與），軸的交點（0,c）在（0,2）,（0,3）之間（含端點）

??2?

???2W-3aW3

2

A-l<a<-^

故②正確.

拋物線y=a.r+bx+c開口向下

???。<0

又“：aCm2-1)+%(/〃-1)=anr+bm-a-b(aWO)

令g=am2+bm-a-b

關于根的二次函數且二加戶+加”--8開口向下

若對于任意實數m,a(m2-I)+b(m-1)WO總成立

故需判斷△=b2-4a(-a-b)與0的數量關系

由以上分析知：b=-2a

，△=(?2。)2?4。(?a+2a)=0

故③正確.

由以上分析知:a<*0,b=—2a,c=—3a,n=一一勤

4a

.4a(-3a)-(-2a)2.

..n=-------------------=-4a

4a

:.A=b2~4a((?-?:+!)=(-2a)2-4〃(-3a+4a+1)=-4a>0

???關于x的方程a^+bx+c-?+1=0有兩個不相等的實數根

故④正確

故選：

9.(2022?遼寧)拋物線y=aP+M+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=-1,直線y=h+c與拋物線

都經過點(?3,0).下列說法：①加>0：②4a+c>0；③若(-2,y.)與0”)是拋物線上的兩個

點，則④方程aF+8x+c：。的兩根為內=-3,X2=1：⑤當x=-l時，函數)，=以2+(〃-A)x

A.2B.3C.4D.5

【分析】利用圖象的信息與已知條件求得a，力的關系式，利用待定系數法和二次函數的性質對每個結論

進行逐?判斷即可得出結論.

【解答】解：???拋物線的開口方向向下，

???aVO.

???拋物線的對稱軸為直線x=-1,

——=—1,

2a

:?b=2a,0VO.

??ZV0,bVO,

：.ab>0,

???①的結論正確；

:拋物線>=加+6+。經過點（-3,0）,

/.9a-3Z?+c=0,

???9a-3X2a+c=0,

3a+c=（）.

.??4a+c=aV0,

???②的結論不正確；

???拋物線的對稱軸為直線x=-1，

???點（?2,y）關于直線x=-1對稱的對稱點為（0,>'i）,

Va<0,

???當x>-1時，y隨X的增大而減小.

?.<>0>-1,

2

-明

???③的結論不正確：

???拋物線的對稱軸為直線x=-1，拋物線經過點（-3,0）,

???拋物線一定經過點（1,0）,

；?拋物線y=ajr+bx+c與x軸的交點的橫坐標為-3,1,

方程ax2+bx+c=O的兩極為用=-3,X2=1，

???④的結論正確：

?.,直線y=2r+c經過點（-3,0）,

:.-3k+c=0,

:?c=3k.

*/3a+c=0,

c=-3a,

：?3k=-3a,

：,k=-a.

；?函數y=af+（b-k）x

=cur+（2a+a）x

=ajc+3ax

=a{x+1）2-/

Va<0,

???當人=一|時，函數尸加+⑦-左）%有最大值，

，⑤的結論不正確.

綜上，結論正確的有：①④，

故選：A.

10.（2022?濟南二模）已知拋物線），=〃/+員+c（a、b、c是常數，fl<0）經過點（?2,0）,其對稱軸為

直線x=l,有下列結論：

①c>0；

②9a+3Hc>0；

③若方程ad+bx+c+l=0有解ii、X2，滿足Ki〈X2，則為V-2,X2>4；

④拋物線與直線y=x交于產、（2兩點，若PQ=則。=-I；

其中，正確結論的個數是（）個.

A.4B.3C.2D.1

【分析】利用數形結合的方法解答，依據已知條件畫出函數的大致圖象，依據圖象直接得出結論可判定

①②③的正確；分別過點P,。作坐標軸的平行線，則△P”Q為等腰直角三角形，設點P,Q的橫坐標

分別為，小小則〃?，〃是方程加+（〃?l）x+c=0的兩根，利用韋達定理和待定系數法可得到用。的代

數式表示PQ,利用。。=假，列出方程，解方程即可求得。值，即可判定④的結論不正確.

【解答】解：???〃＜（）,

拋物線y=ayr+bx+c的開口方向向下.

???拋物線），=加+6+c經過點（-2,0）,其對稱軸為直線x=l,

???由拋物線的對稱性可得拋物線經過點（4,0）.

綜上拋物線y=cur+bx+c的大致圖象如下：

由圖象可知：拋物線與），軸交于正半軸（0,c）,

???①的結論正確；

由圖象可知：當-2VxV4時，函數值）＞0,

/.當x=3時，y=9a+3h+c-＞0.

???②的結論正確.

作直線y=-l,交拋物線于兩點，它們的橫坐標分別為為，工2,如圖,

則X],也是方程aP+加計c=-1的兩根，

即方程ar+bx+c+\=0的解為x\、為，

由圖象可知；滿足X|Vk2，則xi＜-2,花＞4,

???③的結論正確；

如圖，分別過點P,Q作坐標軸的平行線，它們交于點H,

則△P〃Q為等腰直角三角形，

:.PH=HQ,PQ=y/2HQ.

.(y=ax2+bx+c

**ly=x.

，加+(Z?-I)x+c=O.

設點尸，Q的橫坐標分別為in,n,

:.m,n是方程(vr+(Z>-1)x-c=O的兩根，

.,i-匕c

..m+n=—a,mn=a

HQ=\m-川=y/(m—n)2—^/(ni+n)2—4mn=~

???拋物線產加+以+c經過點(-2,0),其對稱軸為直線x=l,

(4a—2b+c=0

A(--=1

I2a

,(b=-2a

Yc=-8a-

:?HQ=J(詈尸+32.

??PQ=V66,

???戈?J(等y+3：=V66.

解得：a=-1或一，.

???④的結論不正確；

綜上所述，正確結論有：①②③,

故選:B.

11.（2022?寧遠縣模擬）如圖，二次函數,，=卬2+法+。（aHO）的圖象與x軸負半軸交于（一：，0）,對稱

4

軸為直線X=1.有以下結論：①Hc>0；②3a+c>0；③若點（-3,yi）,（3,L），（0,券）均在函

數圖象上，則④若方程a（2r+l）（2.r-5）=1的兩根為內，長且片〈心，則V：<r2；

⑤點M,N是拋物線與4軸的兩個交點，若在x軸下方的拋物線上存在一點P,使得尸M1PM則。的

范圍為舊-4.其中結論王確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據題意和函數圖象，可以判斷各個小題中的結論是否成立，本題得以解決.

【解答】解：???對稱軸為直線x=l，函數圖象與x軸負半軸交于（一右0）,

Ax=一==1,

2a

:?b=-2。，

由圖象可知4>0，c<0,

:.b=-2aV0,

?*.abc>0,故①正確；

由圖可知，當x=-1時，y=a-b+c>0,

??.a+2a+c>0,即3o+c>0,故②正確；拋物線開口向上，離對稱軸水平距離越大，y值越大;

又1-3-1|=4,|3-1|=2,|0-1|=1,

???6>），2>”；故③錯誤；

由拋物線對稱性可知，拋物線與工軸另一個交點為G，0）,

???拋物線解析式為：）=〃（A-+b（x-1）,

令。（x+-）（.r—-）=-）

224

則。(2xH)5)=1,

由圖形可知，X,<-1<|<V2：故④正確；

由題意可知：M，N到對稱軸的距離為3

當拋物線的頂點到X軸的距離不小于T時，

在X軸下方的拋物線上存在點P,使得

即處至v"

4Q—2

a'y=a（x+；）（x—=ar-2ax--a,

224

--a,

.*.c=40=-2a,

.4a（-1）a-（-2a）23

??

解得：a>l，故⑤錯誤；

故選:B.

12.（2022?惠城區二模）如圖，已知拋物線丁=加+以+。的對稱軸在），軸右側，拋物線與x軸交于點4（?

2,0）和點B,與），軸的正半軸交于點C,且。8=2。。，則下列結論：<0；②4ac+2b=7；③

47--3④當b>\時，在x軸上方的拋物線上一定存在關于對稱軸對稱的兩點M,N（點M在點N左邊），

4

使得其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】首先根據函數圖象可判斷a,b,。的符號，心0,c>0,從而可判斷①正確；由O4=2OC

可推出點3(2c,0)代入解析式化簡即可判斷②正確；由拋物線與x軸的交點A(-2,0)和點4(2c,

0)，再結合韋達定理可得汨?工=￡=(?2)X(2c)=-4c,可得。=一；，即可判斷③正確；根據。=一；，

a44

2〃+4ac=-1,可得c=2力+1,從而可得拋物線解析式為y=-kr+bx+(2/?+1),頂點坐標為(2b,b2+2b+\),

所以對稱軸為直線x=2R要使由對稱性可知，NAP〃=90°,且點P一定在對稱軸上，則4

4P8為等腰直角三角形，PQ=^AB=2+2b,得P(242。+2),且2什2Vb2+23+1,解得方>1或〃V-I,

故可判斷④正確.

【解答】解：:A(-2,0),OB=2OC,

AC(0,c),B(2c,0).

由圖象可知，aVO,b>0,c>0,

①;aVO,b>0,

：.a-b<0,

A—c<0.故①正確；

②把B(2c,0)代入解析式，得：

4。/+2次、+。=0,又c#0,

.?.4ac+2b+l=0,

即2H4ac=-1,故②正確；

③：拋物線與x軸交于點A(-2,0)和點B(2c,0),

，片=-2和xi=2c為相應的一元二次方程的兩個根，

由韋達定理可得：xi*X2=-a=(-2)X(2c)=-4c,

.*.?=-74.故③正確；

?Va=-42b+4ac=~1>

.*.c=2/?+l.

故原拋物線解析式為)=-￥+加:+(2Z?+1),頂點坐標為(加，序+2/升1).

???對稱軸為直線X=2〃.

要使AN_LBM,由對稱性可知，NAPB=9（）°,且點P一定在對稱軸上，

:△A尸8為等腰直角三角形，Q是AB中點，

：.PQ=豺8=1[4/?+2-（-2）]=2b+2,

???尸（28,2。+2）,且有2〃+2Vb2+20+1,

整理得:b2>\,

解得：OA1或。<-1,故④正確.

綜上所述，正確的有4個，

故選：。.

13.（2022秋?大石橋市期末）如圖所示是拋物線y=o?+加+c（?#0）的部分圖象，其頂點坐標為（1,〃），

且與x軸的一個交點在點（3,0）和（4,0）之間，則下列結論：①a-b+c>0；②3a+c>0：③序=4。

（c?〃）：④一元二次方程隊+c=〃+l沒有實數根.其中正確的結論個數是（）

【分析】根據圖象開口向下，對稱軸為直線x=l可得拋物線與x軸另一交點坐標在（?1,0）,（-2,

0）之間，從而判斷①.由對稱軸為直線x=1可得》與。的關系，將〃=-2a代入函數解析式根據圖象

可判斷②由加+以+。=〃有兩個相等實數根可得A=及-4。（c-〃）=0,從而判斷③.由函數最大值為

尸〃可判斷④.

【解答】解：???拋物線頂點坐標為（1,〃），

???拋物線對稱軸為直線x=l,

???圖象與％軸的一個交點在（3,0）,（4,0）之間，

???圖象與％軸另一交點在（-1,0）,（-2,0）之間，

Ax=-1時,y>0,

即a?b+c>0,

故①正確，符合題意.

???拋物線對稱軸為直線k-?二I,

za

:?b=-2a,

/.y=ax2-2ar+c?

.*.x=-1時,y=3a+c>0,

故②正確，符合題意.

???拋物線頂點坐標為（1,〃），

???加+云+c=〃有兩個相等實數根，

:.A=b2-4。（c-n）=（）,

一從=4a（c-n）,

故③正確，符合題意.

,.,y=ajr+bx+c的最大函數值為y=〃，

a^+bx+c=〃+1沒有實數根，

故④正確，符合題意.

故選：D.

14.（2022?恩施州）如圖，已知二次函數），=加+/>+。的圖象與X軸交于（-3,0）,頂點是（-1,〃?），

則以下結論：①。權》0；②4a+2/?+c>0；③若y2c,則啟-2或x20；④/?+c=其中正確的有（）

【分析】①由拋物線的開口方向、對稱軸以及與y軸的交點，可得。、b、c的符號，進而可得。兒的符

號，結論①錯誤；

②由拋物線與x軸交于（-3,0）,頂點是（-1,機），可判斷出拋物線與x軸的另一個交點為（1,0）,

當x=2時，y=4a+2Z?+c>0,結論②正確；

③由題意可知對稱軸為：直線x=-l,即一白=一1,得方=2〃，把尸c,〃=2〃代入尸加+/次+。并化

簡得：f+2.r=0,解得x=0或-2,可判斷出結論③正確;

④把（-1,/〃），（1,0）代入產加+以+（?并計算可得〃=一夕九，由對稱軸可得/?=2a,，a=-加,

由a+b+c=O可得。再計算加c的值，可判斷④錯誤.

【解答】解：①???拋物線開口向上，對稱軸在y軸左邊，與］，軸交于負半軸，

A?>0,b>0,c<0,

abc<Ot

故結論①錯誤；

②???二次函數產加+版+。的圖象與x軸交于（-3,0）,頂點是（-1,而，

???拋物線與無軸的另一個交點為（1,0）,

???拋物線開口向上，

???當x=2時，y=4a+2b+c>0,

故結論②正確；

③由題意可知對稱軸為：直線》=-1,

AA―――2a=—1,

**?b=2a,

把y=c,h=2a代入），=a^+Zu+c得：

加+加什―。，

/.jr+2.￥=0,

解得x=0或-2,

???當），2c,貝UxW-2或x20,

故結論③正確；

④把（-1,,〃）,（1,0）代入尸加+6+c得：

a-b+c=in,?+/?+（?=0?

??

b=—2m,

°：b=2a,

?

??。=—im,

4

???拋物線與X軸的另一個交點為（1,0）,

.*.a+h+c=(),

?3

..c=-?n,

4

b+c=--m+-m=-m,

244

故選：B.

15.（2022?開福區模擬）如圖，是拋物線），產加+法+c（aHO）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標是A（1,

3）,與x軸的一個交點3（4,0）,直線”="a+〃（川*0）與拋物線交于4,B兩點,下列結論：①2"方

=0；②拋物線與x釉的另一個交點是（-2,0）；③方程a*+/u-+c=3有兩個相等的實數根；④當1

<4時，有yzVyi；⑤若32+歷；］=3；22+以2，且X|#X2；則X|+%2=1.則命題正確的個數為（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【分析】①根據對稱軸可以判斷；②根據已知交點坐標和對稱軸可以判斷；③根據圖象性質向下平移3

個單位即可判斷；④根據圖象性質即可判斷；⑤根據圖象對稱性即可判斷.

【解答】解：①???對稱軸為直線門一2=1,

2a

則：2〃+6=0正確；

②???對稱軸是直線x=l,與x鈾的一個交點是8（4,0）,則與x軸的另一個交點是（?2,0）,

故②正確；

③將拋物線％=ax2+bx+c向下平移3個單位，得到y=a*+隊+c-3,

???頂點坐標變為（1,0）,

???此時拋物線與x軸只有一個交點，

???方程&*+云+°=3有兩個相等的實數根正確；

④當1VXV4時，有圖象可知也<），|正確；

⑤若ax\2+bxi=axr^bxi?

則ax^+bxy+c=ax21+bx2+c,

即》=”，

???k、也關于函數的對稱軸對稱，

由①知函數對稱軸為直線x=-?=1，

2a

故:（X|+X2）=1，

???⑤不正確，

故選：B.

二.填空題（共15小題）

16.（2022秋?朝陽區校級期末）如圖，已知二次函數尸加+云+c（a#0）的圖象與x軸交于點A（-1,

0）,與y釉的交點B在（0,-2）和（0,-1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=l.下列結

論：①abc>0；②4〃+2%、>0；?4ac-b2<-4?；?1<?<|；?b>c.其中正確結論有①③④⑤（填

寫所有正確結論的序號）.

【分析】根據對稱軸為直線x=l及圖象開口向下可判斷出以〃、c的符號，從而判斷①；根據對稱軸得

到函數圖象經過（3,0）,則得②的判斷；根據圖象經過（-1,0）可得到〃、〃、。之間的關系，從而

對②⑤作判斷；利用牛更<-1,可判斷③；從圖象與），軸的交點8在（0,-2）不口（0,-1）之間可

以判斷。的大小得出④的正誤.

【解答】解：①???函數開口方向向上，

???。>0；

???對稱軸在y軸右側

ab異號，

???拋物線與y軸交點在y軸負半軸,

Ac<0,

故①正確：

②???圖象與工軸交于點A（-L0）,對稱軸為直線x=l,

???圖象與x軸的另一個交點為（3,0）,

???當x=2時，y<0,

4d+2Z?+c<0,

故②錯誤;

③??,二次函數.y=a*+/猶+c?的圖象與y軸的交點在（0,-I）的下方，對稱軸在.V軸右側，。＞0,

J最小武答

4ac-Z?2<-4d；

???③正確:

④???圖象與y軸的交點8在（0,-2）和（0,-1）之間,

；?-2<c<-1

:.-2<-3a<-1,

??.|>〃斗

故④正確

：.b-c>0,即〃>c；

故⑤正確.

綜上所述，正確的有①@④⑤,

故答案為：①③④⑤.

17.（2022秋?金牛區期末）已知一次函數y=〃F+hx+c（aWO）的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc

<0：@a-b+c>(h③4〃+26+c>()：?2c<3h；?a+b<m(am+b)(m#l的實數)，其中正確結論的

序號有①③④.

【分析】由拋物線的開口方向判斷。的符號，由拋物線與），軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及

他物線與X軸交點情況進行推埋，進而對所得結論進行判斷.

【解答】解：①由圖象可知：fl<o,c>0,

???"x）,

2a

AZ>>0,

.,.?Z?c<0,故此選項正確：

②當;v=-1時，y=a-b+c<Q,故a-〃+c>0,錯誤；

③由對稱知，當x=2時，函數值大于0,BPy=4a+2b+c>0,故此選項正確；

④當x=3時函數值小于0,y=9a+3b+c<0,且

即。=一會代入得9（一9+3b+c<0,得2cV3〃，故此選項正確；

⑤當工=1時，y的值最大.此時,y=a+b+c,

而當x=，〃時.），=anr+bm+c,

所以a+b+c>am2+bin+c,

a+b>anr+bm,BPa+b>mtam+b）,故此選項錯誤.

故①③④正確.

故答案為：①③④.

18.（2022?宜賓）如圖，二次函數（〃H0）圖象的頂點為D,其圖象與x軸的交點A,B的橫

坐標分別為-1，3,與y軸負半釉交于點C.下面五個結論：

①2〃+/?=0；②a+%>0；③4口+加（>0；④只有當：時，△ABO是等腰直角三角形；⑤使△ACB為

等腰三角形的〃的值可以有三個.

那么，其中正確的結論是①④.

【分析】先根據圖象與x軸的文點A,8的橫坐標分別為-1,3確定出A8的長及對稱軸，再由拋物線的

開口方向判斷〃與。的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與。的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x

軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

【解答】解：①???圖象與x軸的交點A,8的橫坐標分別為-1,3,

???A4=4,

?**對稱軸=

x——2a=1?

即2a+Z?=0；

故①正確；

②由拋物線的開口方向向上可推出4>0,而-白>0

2a

???對稱軸x=l,

當x=1時，｝,<0,

a+b+c<()：

故②錯誤；

③???圖象與工軸的交點4,8的橫坐標分別為-1,3,

*.a-b+c=0,9〃+3/?+c=0,

:.10t?+2Z?+2c==0>

/.5a+/;+c=0，

/.a+4a+A+c=0,

Va>0,

/.4a+b+c<0,

故③錯誤；

④要使△A8。為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長的一半；

D到x軸的距離就是當x=\時），的值的絕對■值.

當x=l時，y=a+b+c,

即|a+Hc|=2,

???當x=l時），VO,

a+b+c=-2,

又???圖象與x軸的交點A,8的橫坐標分別為-1,3,

當x=-I時y=O即a-/?+（1=0；

,v=3時y=0.

???9a+3〃+c=0,

解這三個方程可得：b=-l,c=-*

⑤要使aACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,

當48=8C=4時，

?；AO=1,△80C為直角三角形，

又???。（7的長即為|小

工=16-9=7,

,/由拋物線與y軸的交點在,y軸的負半軸上，

c=-y/7,

與2a+b=0、。?〃+。=0聯立組成解方程組，解得。="；

同理當AB=AC=4時，

???AO=1,△AOC為直角三角形，

又???0C的長即為用,

??"=16-1=15,

???由拋物線與y釉的交點在.y軸的負半軸上，

c=—yflS

與2a+b=0、a-b+c=O聯立組成解方程組，解得。=手；

?J

同理當4c=4C時

在△AOC中，AC2=1+?,

在△BOC中8c2=/+9,

???AC=4C,

??.1+/=，+9,此方程無解.

經解方程組可知只有兩個。值滿足條件.

故⑤錯誤.

19.（2022?荊門）如圖，拋物線產加+取+c（aWO）與x軸交于點A、B,頂點為C,對稱軸為直線％=1,

給出下列結論：①abcVO；②若點。的坐標為（1,2）,則aABC的面積可以等于2：③M（為，》），

N（M，”）是拋物線上兩點（用＜也），若為+及＞2,則》＜），2；④若拋物線經過點（3,-1）,則方程

ox2+法+c+l=0的兩根為-1,3.其中正確結論的序號為①④.

【分析】根據函數的圖象和性質即可求解.

【解答】解：①拋物線的對稱地在），軸右側，則而＜0,而c＞0,故abcVO,正確，符合題意；

②△ABC的面積=/8?.yc=TxA8X2=2,解得：AB=2,則點A（0,0）,即c=0與圖象不符，故②

錯誤，不符合題意；

③函數的對稱軸為x=l,若可+制＞2,則g（xi+x2）＞1，則點N離函數對稱軸遠，故故③錯誤，

不符合題意：

④拋物線經過點（3,-1）,則），'=加+也計c+1過點（3,0）,

根據函數的對稱軸該拋物線也過點（7,0）,故方程0F+法+c+l=O的兩根為?1,3,故④正確，符

合題意;

故答案為：①④.

20.(2022?霍林郭勒市模擬)如圖，二次函數)，=加+&+。QW0)的圖象過點(?2,0),對稱軸為直

線x=l,下列結論中一定正確的是一①@@(填序號即可).①出心>0：②若A(x,,〃?),BS，m)

是拋物線上的兩點，當X=X1+K2時，y=c；③若方程“(x+2)(4-x)=-2的兩根為X1，必且X1〈X2,

【分析】根據二次函數的圖象與性質即可求出答案.

【解答】解：①函數的對稱軸在y軸右側，則"<0,而c<0,故出7c?>(),故①正確，符合題意;

@VA(xi，m),B(x2,m)是拋物線上的兩點，

由拋物線的對稱性可知：XI+X2=IX2=2,

當工=2時，y=4a+2b+c=4a-4〃+c=c,故②正確，符合題意；

③拋物線與.1軸的另外一個交點坐標為(4.0),

；?y=ajr+hx+c=a(x+2)(x-4)

若方程a(x+2)(4-x)=-2,

即方程。(x+2)(x-4)=2的兩根為汨，x2,

則月、也為拋物線與直線y=2的兩個交點的橫坐標，

*.*X|<X2,

Z.X1<-2<4<X2，③錯誤，不符合題意；

④當x=I時，y=a+b+c<0,

當x=-1時，y=a-b+c<0,

故(a+c)2-b2=Ca+h+c)(a-b+c)>0,

故④正確，符合題意；

故答案為：①②④.

21.（2022春?蔡甸區校級月考）如圖，二次函數尸加+必+c（〃>（））的圖象與x軸交于A,8兩點,與），

軸的正半軸交于點。，它的對稱軸為直線x=-1,有下列結論：

①〃力cVO；②4ac?從<0：③c-a>0；④當x=?1?2時，了2c；⑤若內，力（xiVx?）是方程aF+加計c

=0的兩根,則方程a（xn）（X-X2）-1=0的兩根小，"