2024年上海市楊浦區中考數學模擬試卷（3月份）

一.選擇題（滿分24分，每小題4分）

1.已知^且加右0,則坐=（）

bd3b+d

A-yB-Tc-7D-7

2.在比例尺為1：10000（）的城市交通圖上，某道路的長為3匣米，則這條道路的實際距離為（）

千米.

A.3B.30C.3000I）.0.3

3.在△力胸中，Zf=90°,若cos力=返，則sin力的值是（）

2

A.V3B.亞C.返D.—

“322

4.已知彳是一個單位向量，石是非零向量，那么下列等式正確的是（）

—?—?—?1—?1—*1T

A?ae=aB-eb=bc-i-*?a=eD.-a=|T?b

laiIaIIbI

5.二次函數的復習課中，夏老師給出關于不的函數y=2〃f-（Wl）x-k^\（々為實數）.

夏老師：請獨立思索，并把探究發覺的與該函數有關的結論（性質）寫到黑板上.

學生獨立思索后，黑板.卜.出現了一些結論.夏老師作為活動一員，又補充了一些結論，并從中選

擇了如下四條：

①存在函數，其圖象經過點（1,0）：

②存在函數，該函數的函數值y始終隨x的增大而減小；

③函數圖象有可能經過兩個象限；

④若函數有最大值，則最大值必為正數，若函數有最小值，則最小值必為負數.

上述結論中正確個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，在△49C中，點〃為4〃上一點，過點〃作肉的平行線交力C于點笈過點￡作力夕的平行

線交回于點月連接⑦，交跖于點￡則下列說法正確的是（）

A

K

BC

.DE_ADRFK_BFrDE_AEnBD_BF

?而F?KE^FC?FC^EC?AD^FC

二.填空題（共12小題，滿分48分，每小題4分）

7.己知言與，則告?的值是_____.

b3a+b

8.如圖，已知等邊三角形力比邊長為I,△力施、的三條中位線組成△44G的三條中位線

組成△力出依此進行下去得到區C的周長為.

9.當兩個相像三角形的相像比為時，這兩個相像三角形的面積比是1：2.

10.假如△力a's△分尸，且△力比'的三邊長分別為4、5、6,△必尸的最短邊長為12,那么△應產的

周長等于.

9

11.如圖，在RtZUSC中，N〃Z=90。，點61是△月a1的重心，d；=2,sinN/IQ；=q』ij8C長為.

12.若點（1,5）,（5,5）是拋物線了=々爐助產c上的兩個點，則此拋物線的對稱軸是.

13.函數y=/+6代。（aNO）的圖象如圖所示，那么ac0.（填“>”，“="，或"V”）

14.若二次函數y=2（戶1）z+3的圖象上有三個不同的點力（擊，4）、8（擊+必，〃）、C（x2,4）,

則〃的值為.

15.如圖，AB//CD,AD.a'相交于點反過E悍EF//CD交BD于點F,假如mCD=2：3,跖=6,

那么⑦的長等于

16.如圖，人乘雪橇沿坡比1：加的斜坡筆直滑下72米，那么他下降的高度為米.

17.二次函數y=V?3戶2的圖象不經過第象限.

18.如圖，在RtZVL%中，/用!。=90。，將△力比'繞點力順時針旋轉90°得到△力8,C，連接6T,

CfC的面積為.

三.解答題（共7小題，滿分78分）

19.（10分）如圖，在平行四邊形力及⑦中，點￡在邊交上，CE=2BE,AC.班'相交于點五

（1）求外'：劈的值;

（2）假如通二WCD=b?試用W、E表示向量而.

20.（10分）已知二次函數y=（A--1）2+/7,當x=2時，y=2.求該二次函數的解析式，并在平

面直角坐標系中畫出該函數的圖象.

21.（10分）如圖，在中，Z6^90°,點〃在比邊上，N4〃C=45。,BD=2,tanZ/=—

4

（1）求然和/厲的長：

（2）求sinN陰〃的值.

（1）求月、8兩點坐標及直線/的解析式；

（2）求二次函數解析式：

（3）如圖2,過點〃作宜線切〃力。交直線/于〃點，MN分別為直線月C和直線/上的兩個動

點，連接CV,加、物，求G斗A.MJ切的最小值.

25.（14分）如圖，正方形/!他少的邊長為4,點心廠分別在邊/“，力〃上，且/發尸=45,，C尸的

延長線交物的延長線于點G,四的延長線交的的延長線于點〃，連接/!C,EF.,GH.

（1）填空：ZAHC4ACG；（填或"V"或“=”）

（2）線段40,AG,力少什么關系？請說明理由；

（3）設力￡=制

①△力67/的面積S有改變嗎？假如改變.懇求出S與/〃的函數關系式；假如不改變，懇求出定值.

②請干脆寫出訪〃是等腰三角形的〃，值.

備用圖

2024年上海市楊浦區中考數學模擬試卷（3月份）

參考答案與試題解析

一.選擇題（滿分24分，每小題4分）

1.【分析】由和比例的性質解答即可.

bd3

【解答】解：??彳=?=■!，

bd3

故選：A.

【點評】此題考杳比例的性質，關鍵是依據比例的性質解答.

2.【分析】依據比例尺=圖上距離：實際距離，依題意列比例式干脆求解即可.

【解答】解：設這條道路的實際長度為筋則焉==士，

100000x

解得x=3（）0000c,勿=3碗.

???這條道路的實際長度為3癡.

故選：A.

【點評】此題考查比例線段問題，能夠依據比例尺正確進行計算，留意單位的轉換.

3-【分析】依據同一銳角的正弦與余弦的平方和是1,即可求解.

【解答】解：??飛加力+cos7=l,即sin7+（亨）2=1,

?飛汨2月=二

4

解得sin4=之或-2（舍去），

.\sin/l=—.

2

故選：D.

【點評】此題主要考查了同角的三角函數，關鍵是駕馭同■銳角的正弦與余弦之間的關系：對任

一銳角a,都有sin2a+ccs2a=1.

4.【分析】長度不為0的向量叫做非零向量，向最包括長度及方向，而長度等于1個單位長度的向

量叫做單位向量，留意單位向量只規定大小沒規定方向，則可分析求解.

【解答】解：爾由于單位向量只限制長度，不確定方向，故本選項錯誤；

4、符合向量的長度及方向,故本選項正確；

G得出的是a的方向不是單位向量，故本選項錯誤：

D、左邊得出的是a的方向，右邊得出的是。的方向，兩者方向不肯定相同，故本選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了向量的性質，屬于基礎題.

5.【分析】①將（1,0）點代入函數，解出4的值即可作出推斷；

②首先考慮，函數為一次函數的狀況，從而可推斷為假；

③依據②即可作出推斷；

④當A=0時，函數為一次函數，無最大之和最小值，當4W0時，函數為拋物線，求出頂點的縱

坐標表達式，即可作出推斷

【解答】解：①將（1,0）代入可得：2k-（4A+1）-生1=0,解得：k=0,此選項正確.

②當〃=0時，該函數的函數值y始終隨x的增大而減小；此選項正確；

③經過3個象限，此選項錯誤；

④當〃=0時，函數無最大、最小值；

2

時，一=-24k+1,當A>0時，有最小值，最小值為負；當AV0時，有最大值，最大

8k

值為正；此選項正確.

正確的是①②④.

故選：C.

【點評】此題考查二次函數的性質，一次函數的性質，利用舉特例的方法是解決問題常用方法.

6.【分析】利用相像三角形的判定和性質以及平行線分線段成比例定理證明即可；

【解答】解：???〃￡〃5

:、△DEKsRCFK,

.DE_DK

**CF-CK，

'：EK"AD,

.DK_AE

??而一而‘

.DEAE

??麗―而‘

故選：C.

【點評】本題考查了相像三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是嫻熟駕

馭基本學問，屬于中考常考題型.

二.填空題（共12小題，滿分48分，每小題4分）

7.【分析】已知母■《，可設a=2A,則Q3匕代入所求的式子即可求解.

b3

【解答】解：??《十

b3

???設a=2A,則6=34.

.a2k2

a+b2k+3k5

【點評】在解決本題時，依據已知中的比值，把幾個未知數用一個未知數表示出來，是解決本題

的關鍵.

8.【分析】依據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出48=力￡BC=AB,4G

=BC,從而得到△45G是△力8。周長的一半，依此類推，下一個三角形是上一個三角形的周長的

一半，依據此規律求解即可.

【解答】解：???△/1比的三條中位線組成△力歷￡,

:?小B尸AC,&C、=AB,AC=BC,

1I3

**?△A\BC的周長=歹△月8。的周長=歹乂3=方，

1193

依此類推，的周長=5/\48心的周長=歹乂歹二彳,

乙乙乙r

33

則△4層G的周長為一于=2，

232

故答案為：得.

【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，求出后一個三

角形的周長等于前一個三角形的周長的一半是解題的關鍵.

9.【分析】干脆利用相像三角形的性質分析得出答案.

【解答】解：???相像三角形的面積比等于相像比的平方，

???兩個相像三角形的面積比是1：2時，兩個相像三角形的相像比為：1：V2-

故答案為：1：'歷.

【點評】此題主要考查了相像三角形的性質，正確駕馭相像三角形面積比與相像比的關系是解題

關鍵.

10.【分析】依據題意求出△/1應、的周長，依據相像三角形的性質列式計算即可.

【解答】解：設△分尸的周長別為刈

△月比'的三邊長分別為4、5、6,

???△/1歐的周長=4+5+6=15,

■:XABCs/XDEF,

.415

12x

解得，x=45,

故答案為：45.

【點評】本題考查的是相像三角形的性質，駕馭相像三隹形的周長比等于相像比是解題的關鍵.

11.【分析】延長偌交加于〃，作■DELBC千E,由點G是△4弘的重心，得到47=2,求得加3,

點〃為血的中點，依據等腰三角形的性質得到%=加又DEIBC,求得CE=BE吾BC,解直角

三角形即可得到結論.

【解答】解：延長CG交4?于D,作DE1BC千E,

??,點、G是△力勿的重心，

?"=2,

，。9=3,點〃為血的中點，

:?DC=DB,又DELBC,

:?CE=BE=4BC,

2

?:NACG+NDCE=NDCE+NCDF=q§,

ACG=4CDE,

9

VsinZJ6Z7=sinZ6Z^=",

:.CE=2,

：.BC=\

故答案為：4.

【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質以及銳角三角函數的定義，駕馭三角形的重心

是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍是解題的關鍵.

12.【分析】依據拋物線的對稱性即可確定拋物線對稱軸.

【解答】解：???點（1,5）,（5,5）是拋物線了=。/+。產。上的兩個點，且縱坐標相等.

???依據拋物線的對稱性知道拋物線對■稱軸是直線才=差=3.

故答案為：>=3.

【點評】本題考查了拋物線的對稱性，是比較敏捷的題目.

13.【分析】視察函數圖象，由拋物線的開口方向及拋物線與y軸的交點位置，可得出aVO,。>0,

進而可得出京<0,此題得解.

【解答】解：???拋物線開口向下，與y釉交于正半軸，

/.3<O,c>0,

:.acVO.

故答案為：V.

【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，視察函數圖象，找出a<0,c>0是解題的關

鍵.

14,【分析】先依據點力，C的坐標，建立方程求出川+照=-2,代入二次函數解析式即可得出結論.

【解答】解：??3（小，4）、C5,4）在二次函數尸2（戶1）2+3的圖象上，

：.2（戶1）2+3=4,

?,?2戶4戶1=0,

依據根與系數的關系得，為+必=-2,

?:B（x\+x?,〃）在二次函數y=2（AH-1）43的圖象上，

???〃=2（-2+1）2+3=5,

故答案為5.

【點評】此題主要考查了二次函數圖象上點的特點，根與系數的關系，求出汨+質=-2是解本題

的關鍵.

RRAR9RF9RR

15.【分析】蘇叢ABES^DCE,推Hi若=黑=/，可得善=（，再證明△陽's△砥9,可得票=

ECCDDDC5CD

罌=衣，由此即可解決問題.

DVb

【解答】解：

，△力用S△〃0'，

.BEAB_2

??而一=而一=巨，

,BE__2

??詼一后‘

'：EF//CD,

:?XBEFS/\BCD,

?典=旭=2

?通一而一守

,:EF=6,

，）=15,

故答案為15.

【點評】本題考杳平行線的性質，相像三角形的判定和性質等學問，解題的關鍵是嫻熟駕馭基本

學問，屬于中考常考題型.

16.【分析】因為其坡比為1：則坡角為3（）度，然后運用正弦函數解答.

【解答】解：因為坡度比為1：近，即tana=理，

:.a=30°.

則其下降的高度=72Xsin30°=36（米）.

【點評】此題主要考查學生對坡度坡角的理解及運用.

17.【分析】依據題目中的函數解析式和二次函數的性質可以得到該函數圖象不經過哪個象限.

【解答】解：???尸V-3戶2=—當2二，

??.該函數圖象的頂點坐標為（-1，-g）且經過點（0,2）,函數圖象開口向上，

，該函數圖象不經過第三象限，

故答案為：三.

【點評】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答.

18,【分析】先依據旋轉的性質得=4,AB,=AB=1,^CAC=90°,則可推斷△48

為等腰直角三角形，然后依據三角形的面積公式即可得到結論.

【解答】解：???△力比1繞點力順時針旋轉90°后得到的△四'C,

：.AC=AC=4,AB'=A8=T,^CAC=90°,

為等腰直角三角形，

**?S&vcc=-S^Atfc=~X4X4-±X4X1=6.

故答案為6.

【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前、后的圖形全等，還考查了三角形的面積，嫻熟駕馭旋

轉的性質是解題的關鍵.

三.解答題(共7小題，滿分78分)

19.【分析】(1)利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；

(2)利用三角形法則即可解決問題；

【解答】解：(1)???四邊形"先刀是平行四邊形，

：,AD=BC,AD//BC,

.DFAD

??二i■,

EFEC

?:CE=2BE,

?.?BC3,

EC2

??薩而.

(2)'：CE=2BE,

???CE=2(CB，

J

—*9—2T

???CE與B壬，

JJ

VED=CD-CE*

—*T2T

???ED二bf，

J

..DF^

?EF-2，

2

???EF年ED，

5

?9—?9—D—9-?d-?

EF^Z-ED=T-(b-z-a)^z_b-T7"a-

553515

【點評】本題考查平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，平面對量等學問，解題的關鍵

是嫻熟駕馭基本學問，屬于中考常考題型.

20.【分析】將(2,2)代入尸(x-1)2+〃求得〃的值即可，再由函數解析式畫出函數圖象.

【解答】解：??,二次函數尸(4-1)2+〃，當x=2時.，y=2,

，2=(2-1)2+/?,

解得〃=1,

???該二次函數的解析式為尸(x?1)?十1.

列表得:

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數圖象上點

的坐標特征，正確求出函數解析式是解題的關鍵.

21,【分析】（1）由設月。=3X、BC=4x,據此得DC=\x-2,依據N4比1=45°得

BC4

AC=DC,即3x=4x-2,解之得出x的值，繼而可得答案：

（2）作〃E_L//設,DE=3a、BE=Aa,依據加+歐=即可求得a的值，繼而依據正弦函數的定

義可得答案.

【解答】解：（1）如圖，在Rt△力比'中，

??.設/k7=3x、BC=4x,

'：BD=2,

：.DC=BC-BD=Ax-2,

???/力次?=45°,

/.AC=DC,艮|J4x-2=3x,

解得：x=2,

則力46、BC=8,

A/Ii9=7AC2+BC2=10;

(2)作DE上AB于點、E,

由ian4=D^E*=J3?可設DE=3a,則BE=4a,

BE4

'：DE+BE=BIL且BD=2,

?'.(3a)2+(4a)2=2",解得：a=§(負值舍去)，

5

：.DE=3a=-

5t

VJZ?=7AC2+DC2=6V2?

./DmDE

..sinZBAD==--.

AD10

【點評】本題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是嫻熟駕馭三角函數的定義及依據題意構建直

角三角形的實力.

22,【分析】(1)依據題意作出合適的協助線，然后依據題意和銳角三角函數可以求得城門大樓的

高度；

(2)依據(1)中的結果和銳角三角函數可以求得4A之間所掛彩旗的長度.

【解答】解：(1)作"_1比'交比、于點《交必于點發如右圖所示，

由題意可得，。力=研=3米，N?=22°,/用花=45°,4c=21米，DE=CF,

■:/AED=/AFB=90°,

的6=45°,

：.ZDAE=ZADE,

：.AE=DE.

設AF=a米，則AE=(a-3)米，

???tanN6=縹

BF

Atan22°=:一

、21+(丁a-3)

即2=——”―

521+(a-3)

解得,3=12,

答：城門大樓的高度是12米;

AF

(2)?.?/8=22°,力￡=12米，sinZi?=—,

AB

19

Asin22°=點，

AB

?絲

，/1石山支=32,

￥

即48之間所掛彩旗的長度是32米.

【點評】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角

三角函數和數形結合的思想解答.

23.【分析】（1）由N/I瓦7=/8、/的E=NO仍利用三角形內角和定理可得出N/1〃尸=NG結合黑

AC

=典，即可證出△，仞?△力CG；

CG

（2）依據相像三角形的性質可得出黑=絲，由黑=《可得出絆=4，再結合&；=的-肝即

ACAGAC2AG2

可求出整的值.

rG

【解答】（1）證明：'：4AED=4B,/DAE=/CAB,

：,ZADF=ZC,

V..AD=DF

*ACCG'

:.XADFSXACG.

(2)?:XADFSXACG,

.AD=AF

**AC-AG,

..AD_1

*AC-2'

.AF1

AG2

,AF_AF

??而―AG-AF一,

A

【點評】本題考查了相像三角形的判定與性質以及三角形內角和定理，熟記相像三角形的判定定

理與性質定理是解題的關鍵.

24,【分析】（1）y=ax+2ax-3a,令尸0,則x=?l或3,即可求解；

（2）設點C的坐標為（-1,M,點、C、8關于過點力的直線/：尸M證對稱得〃=力氏即

可求解；

（3）連接式'，則6MMV的最小值為松（即：J/、M3三點共線），作〃點關于直線力。的對稱點

。交y軸于點E,則，儂物的最小值為/卻（即：B、V、0三點共線），則公牛J伸物的最小值=物處初

的最小值=/刈，即可求解.

【解答】解：（1）y=ax^2ax-3a,令y=0,則x=-1或3,

即點力、8的坐標分別為（-3,0）、（1,0）,

點力坐標代入./=4戶加得：0=-3代近，解得：女=噂

即直線/的表達式為：j=Y3戶道…①，

3

同理可得直線力。的表達式為：了=正產3班，

直線切的表達式為：尸弋'X#…②，

聯立①②并解得：x=3,在點〃的坐標為（3,2加）；

（2）設點C的坐標為（-1,加，點。、〃關于過點力的直線/：y=M+的對稱得力凡

即：（-3+1）W=16,解得：加=±2的（舍去負值），點C（l,2時），

將點c的坐標代入二次函數并解得：&=-Y3,

2

故二次函數解析式為：y=■零^一仔■茅；

乙乙

（3）連接/則C也MV的最小值為始（即：必、取5三點共線），

作〃點關于直線力。的對稱點。交y軸于點必貝心儂.物的最小值為園（即：氏機Q三點共線）,

則的最小值=,眥.物的最小值=m

,：DQ工AC,AC//BD,：.NQ9B=96°,

作〃RLx軸交于點汽

DF=ADsin/DAF=乂導2初,

?：B、。關于直線,對稱，即直線/是NA，的平分線，

：.ED=FD=2^

則少=4%,必=4,

-W（W3）2+42=8,

即向