專題24.1銳角的三角函數【十大題型】

【華東師大版】

頁

I艮

-銳角的三角函數概念辨析】..............................................................

一11

世

兌2直接根據定義求銳角的三角函數值】.....................................................4

世

鬼3構造直角三角形求銳角的三角函數值】...................................................6

世

頁

一4根據銳角的三角函數值求邊長】.........................................................9

.

頁

一5根據特殊角的三角函數值求角的度數】..................................................12

世

龍6求特殊角的三角函數值】...............................................................15

世

龍7同角的三角函數值的證明或求值】......................................................17

世

頁

一互余兩角的三角函數關系的計算】......................................................

世820

頁

一9利用增減性判斷三角函數的取值范圍】..................................................22

旦

10三角函數在等腰直角三角形中的應用】..................................................24

【知識點1銳角三角函數】

在.RtAABC中、NC=90、則/力的三角函數為

定義表達式風值范圍關系

正弦彳的對邊0<sin^<1

smA=sinJ=—

斜邊C（ZA為銳角）sinA=cos5

余弦,乙4的鄰邊,bcos=sinB

cos4=一0<cos/4<1

斜邊c（ZA為銳角）sin2A+cos2A=1

正切“的對邊tanJ>01

‘a”=NA的鄰邊tanJ=—tanA=------

b（ZA為銳角）tanB

【知識點2特殊角的三角函數值】

三角函數30n45c60"

叵V3

sina

722

GJ_

cosa222

V3

tana1

3

【題型1銳角的三角函數概念辨析】

【例1】（2022?廣東?佛山市南海區金石實驗中學九年級期中）在△48C中，NC=90。塔=：,

AB5

則（）

3344

A.cosA=-B.sinB=-C.tanA=-D.tanB=-

【答案】D

【分析】設止5a,BC=3a,則力。=4〃，然后根據三角函數的定義逐項排查即可.

【詳解】解：設力8=5a，3C=3a,則％C=4a,

則cosA=^=^-=：,故/I錯誤；

AB5a5

S加4=需=4=!，故3錯誤；

AB5a5

tanAP故C錯誤；

AC4a4

tanB-^-—?=g，故Q正確.

￡/CJK?5

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角函數的定義和勾股定理，掌握并靈活運用三角函數的定義成為

解答本題的關鍵.

【變式II】（2022?上海?九年級單元測試）如圖，在RtA/14C中，C。是斜邊力B上的高，

N/1H45。，則下列比值中不等于cosB的是（）

CDBD八CDcCB

AA?元B.百C.-D.-

【答案】C

【分析】根據已知可得NB=N4?Q,然后利用銳角三角函數的定義判斷即可.

【詳解】A.?：CD人AB,

：.ZCDB=ZADB=90°,

???NB+/8CO=90。，

???ZACB=90°t

:.ZACD+ZBCD=9Q°,

:?NB=/ACD,

在H/A4C。中，cosNACD號,

cos8=翌，

AC

故A不符合題意；

B.在M△力中，cos於黑，故8不符合題意；

C.在RfADBC中,cosNBCQ=孕，

CB

???乙力45。，

，/8工45°,

：./B±/BCD,

JcosB琮，

故。符合題意；

rp

D.在mZUAC中，COS8=3，故D不符合題意；

AB

故選：C.

【點睛】本題考查了銳角三角函數，熟練掌握銳角三角函數只與角度大小有關與角度位置無

關是解題的關鍵.

【變式12］（2022.全國?九年級課時練習）在△力2C中，NC=90。，ZA.NR、/C的對邊

分別是4、b、C,下列結論正確的是()

A.b=a*s\r\AB.b=a?tarUC.c=a?s\nAD.a=c*cosB

【答案】D

【分析】根據三角函數定義：(1)正弦：我們把銳角力的對邊。與斜邊。的比叫做N4的

正弦，記作sirvl.(2)余弦：銳角4的鄰邊6與斜邊c的比叫做的余弦，記作cos4(3)

正切：銳角力的對邊a與鄰邊〃的比叫做N力的正切，記作tan/.分別進行分析即可.

【詳解】解：在直角△力8c中，ZC=90°,則

則a=?力，故選項錯誤、選項錯誤；

sin/1=C-,csinAC

tan4=m則》故B選項錯誤；

btan/1

cosB=-,則故選項正確；

Ca=ccos8,D

故選：D.

【點睛】本題主要考查了說角三角函數的定義，關鍵是熟練掌握銳角三角函數的定義.

【變式13】(2022?黑龍江?哈爾濱市風華中學校九年級階段練習)圖①、圖②是兩張形狀、

大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,點4、點8和點C在

小正方形的頂點上.請在圖①、圖②中各畫一個圖形，滿足以下要求：

⑴在圖①中以和8。為邊畫四邊形48CE,點￡在小正方形的頂點上，且此四邊形有

兩組對邊相等.

(2)在圖②中以為邊畫△ABD,使tan^ADB=

【答案】⑴作圖見解析；

⑵作圖見解析.

【分析】(1)根據該四邊形有兩組對邊相等可知這個四邊形是平行四邊形，根據平行四邊

形的對邊互相平行即可作出；

(2)根據正切值的定義即可作出△48D.

(1)

解：作圖如下：

根據該四邊形有兩組對邊相等可知這個四邊形是平行四邊形，

再山平行四邊形的對邊互相平行可知，AD//BC,

由8c平移可以得到力0,

???點8向上平移三個單位，向右平移一個單位，得到點4

???點C向上平移三個單位，向右平移一個單位，即可得到點Q.

(2)

^ABD如下圖，

BE=3,DE=4,NBED=90",

，AE=t-2.

3_AE_AB-BE

/.cosA5-AD-AD

?3t-2

=

>?一9

5t

AAE=5-2=3.

DE=VAD2-AE2=、52-32=4.

/.tanZDBE=^=^=2.

BE2

故選：B.

【點睛】本題考查了解直角三角形中三角函數的應用，要熟練掌握邊角之間的關系.

【變式22］（2022?廣東?惠州一中二模）如圖，在等腰三角形力中，AB=AC=6,BC=8,

點。為8C的中點，DE工AB于點E,則cos4BDE的值等于（）

V5Vsc2C3

AA.—nB.-C.-D.-

2334

【答案】B

【分析】如圖所示，連接4。，由。為8C中點得出80=DC=4,ADLBC,從而根據勾

股定理得出40=2西，然后由+=90。，匕8+匕區40=90。得出乙8。￡'=4840,

最后根據三角函數定義即可得出答案.

【詳解】如圖所示，連接AD,

vAB=AC=6,BC=8,。為中點，

AD1BC,BD=DC=4,

AD=yjAB2-BD2=V62-42=275,

Z.B+Z.BDE=90°,/.BAD=90°,

???乙BDE=LBAD,

???CQSLBDE=cos^BAD=—=—=

AB63

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理及三角函數的定義，解題的關鍵是通過等

量代換得巾NBOE=々BAD,進而得出答案.

【變式23］（2022?全國?九年級專題練習）如圖，在長方形力ACO中，AB=5,AD=3,

點￡在48上，點尸在8C上.若4E=2,CF=1,則sinQl+42）=（）

iVz「晅八6

AA.-DB.-C.-D.—

2223

【答案】B

【分析】連接EG求證△。暇7是等腰直角三角形，得/口W=45。，所以乙1+乙2=45°,即

可求解.

【詳解】解：連接￡兒

;四邊形48CO是長方形，

AZJ=Z^=ZC=ZJDC=90°,BC=AD=3,CD=AB=5,

在R/Z\/1OE中，AD=3,AE=2,

ADE2=心+招=32+22=13,

*；AB=S,

；,BE=AB4E=3,

VCF=1,

:?BFnBCCF=2,

在在處AEBF中,

：.EF2=BE2+BF2=32+22=13,

:,EF=DE

在R/ZXCQ”中，

：.DF2=DC2+CF2=52+l2=26,

V26=13+13,BP：DF2=DE2+EF2,

:.ZDEF=90°,

：,NEDF=NDFE=45。,

：.Z-1+Z-2=^ADC-Z.EDF=45°,

Asin（zl+z2）=sin450=y.

故選B.

【點睛】本題考查長方形的性質、勾股定理及其逆定理、正弦函數，根據勾股定理的逆定理

證明出/是等腰直角三角形是解題的關鍵.

【題型3構造直角三角形求銳角的三角函數值】

【例3】（2022?浙江?九年級專題練習）如圖，A,B,C,。均為網格圖中的格點，線段18

與CD相交于點P,則ZAPD的正切值為（）

A.3B.2C.2x/2D.3四

【答案】A

【分析】過。作。過。作。NJ_"C于N,從而可得N4PD=NNCD,然后利用勾

股定理求出CMDV的值，最后再利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答.

【詳解】：連接CM,DN,

由題意得：CM//AB,

/.ZAPD=ZNCD,

由題意得：

CAT2=12+12=2,

0M=32+32=18,

：.CN=42,DN=V18=3V2,

../ncDN3^2_

..tanZDCN=-=^=3,

???/力尸。的正切值為：3,

故選：A.

【點睛】本題考查銳角三角函數與勾股定理的綜合應用，熟練掌握平行線的性質、勾股定理

的應用、正切函數的概念是解題關鍵.

【變式31](2022?江蘇?九年級專題練習)如圖所示，在RtA4BC中，斜邊力B=3,BC=1,

點。在上，且器=$貝ljtan/BC。的值是()

A.孑B.1C.—D.—

【答案】C

【分析】過點D作DEYBC于點￡,構造含N8CQ的RtACDE,分別算出DE、CE的長，

利用正切的定義計算即可.

【詳解】如圖，過點。作。E_L8C于點E,

*/NACB=NDEB=90°,

/.AC//DE

/.N4=/EDB

:.XACBS^DEB(AA)

..BD_1

?—一，

AD3

.BD

?.--=一1

AB4

又??"8=3,BC=1

???BE=：,CE="=

444

?:RiABDE

：.DE=yJBD2-BE2=(

2

*：BC=1

3

：,CE=BC-BE=-

4

AtanzFCD=^=^

故選C.

【點睛】本題考查了正切的定義，相似三角形的性質與判定，勾股定理等知識點，正切值定

義的成立條件是在直角三角形中，這點是容易被忽略的易錯點.

【變式32】(2022?浙江?寧波市興寧中學九年級期中)如圖，將沿著CE翻折，使點

A洛在點。處，CO與AB交于點F,恰好有CE=CF,若DF=A版,AF=12,則tan/CK/7

【答案】V7

【分析】如圖，作CHVAB于，.設CF=EC=x.由CF=CE,CHlEF，i^出FH=EH,設FH=EH=y,

根據勾股定理可得/一產=（%+4V2）2-（12-y）2,證明△EFQS/XCE4可得耗；=孑，

解方程組，進而根據正切的定義即可求解.

【詳解】解：如圖，作C〃_L48于〃.設CF=EC=x,

?:C卜.=CE,CHIEF,

:,FH=EH,設FH=EH=y,

則有%2—y2=（%+4&）2—（12-y）2,

整理得&%+3y=14①，

?：NCFE=NCEF,NCFE=ND+NFED,NCEF=NA+NECA,NA=ND,

:?/FED=/ECA,

:.△EFDsRCEA,

.DF__EF_

??族

???辭；=:§，整理得應x=：6y-y2②，

由①②可得X=4A2y=2,

CH=y/x2—y2=2x/7,

..CH2V7r=

..tanzCEF=—EH=—2=v7,

故答案為V7.

【點睛】本題考查翻折變疾、求正切、相似三角形的判定和性質、勾股定理、銳角三角函數

等知識，解題的關犍是學會利用參數構建方程組解決問題

【變式33］（2022?江蘇?陽山中學九年級階段練習）如圖，在△48C中，NACB=90。，點D

在44的延長線上，連接CQ,若48=2夕。，tan/8CQ=：則在的值為_____.

2DC

【答案W

【分析】過點D作DMLCM,交CB的延長線于點M,可得/OMC=90。，在RtZ\DWC中，

利用銳角三角函數的定義可設。"=小則CM=2m然后證明8字模型相似三角形

△ACBSADMB,從而利用相似三角形的性質可得黑=需=照=2,進而可得4C=2o.CB

HDDMHM

=》,最后進行計算即可解答.

【詳解】解：過點。作DW1,CM,交C8的延長線于點M,

???NOMC=90°,

在RtZXOMC中，tanZ5CD=1,

/.tanZDCA/=7^=7?

CM2

設則C"=2a,

VZJCT=ZPMC=90°,NABC=NDBM,

:?△ACBS^DMB,

?AB_AC_CB_

:?AC=2DM=2a,

33

.AC_2a_3

??正一至■-5'

3

故答案為:

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形，根據題目的已知條件并結合

圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

【題型4根據銳角的三角函數值求邊長】

【例4】（2022?全國?九年級課時練習）如圖,等腰4A48C中,N4=90°,AB=AC,BD為

△ABC的角平分線，若CD=2,則AB的長為（）

A.3B.2遮+2C.4D.V2+2

【答案】D

【分析】過點。作QE_L4C于點￡,設力4=/lC=x,則力D=x2,根據等腰RtMAC中，cA=

90°,AB=AC,得到/C=45°,根據8。為△48c的角平分線，乙人90°,DE上BC,推出

DE=AD=x2,運用NC的正弦即可求得.

【詳解】解：過點D作DELBC于點￡,則NQE8=NQEC=90°,

AB=AC=x,WOAD=x2,

???等腰RtA48C中，，N,4=90°,AB=AC,,

AZC=（180°ZJ）=45。，

???8。為的角平分線，

：.DE=AD=x2,

,?..右..DE&

sinC=sin45=C—D=2—?

.x-2,—■\fl

2-2'

Z.x=V2+2,BPAB=\12+2.

故選D.

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形，角平分線，解直角三角形，熟練掌握等腰直角三

角形的性質，角平分線的性質，正弦的定義和45。的正弦值，是解決問題的關健.

【變式41］（2?！?內蒙古鄂爾多斯?中考直題）如圖.菱形力中，/A^C-

60。，矩形8EFG的邊防經過點C,且點G在邊力D上,若8G=4,則8E的長為（）

A.|B.乎C.V6D.3

22

【答案】B

【分析】過點G作GMLBC于點M,過點C作CNA.AD于點N,由菱形的性質得出AB=

BC=CD=2炳,AD=BC,ZABC=ZD=60°,AD//BC,由直角三角形的性質求出MG=

3,證明△GBMS/XBCE由相似三角形的性質得出整二警，則可求出答案.

【詳解】解：過點G作GW_L8C于點M,過點C作CALL/。于點M

???四邊形48CO為菱形，

:.AB=BC=CD=2聒,AD=BC,/ABC=/D=60。，AD〃BC,

/MGN=90。,

???四邊形GMCN為矩形，

:?GM=CN,

在△CON中，NO=60。，CD=2?

.\C/V=CZ）*sin60o=2V3Xy=3,

???MG=3,

???四邊形8EFG為矩形，

.*.ZE=90°,BG//EF,

J4BCE=/GBM,

又,：/E=/BMG,

：,AGBMS/\BCE,

,BGGM

?■———，

RCBE

,4_3

,?麗一靛’

：.BE=^,

故選：B.

【點睛】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，矩形的判定與性質，相似三角形的判

定與性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵.

【變式42］（2022?黑龍江?哈爾濱德強學校九年級階段練習）如圖，在ZUBC中，48=4。.點

D在△ABC內部，ADLCD,Rz-ADB=2z.ACB,若BD=2,tanzB/lC=^則AC的長為.

【答案】V41

【分析】取點，在力。上，使4H=BD,連接C”,根據三角形內角和定理、全等三角形的

判定和性質和勾股定理的運用求解即可解答.

【詳解】解：取點〃在4）上，使4/=8。，連接C”,

?；AB=AC,乙ADB=2乙ACB,

:.乙BAD+UBDMBAC,

二乙4BDUD4C,

在△48。和△C4”，

(AB=AC

\^ABD=Z.DAC,

(BD=AH

???△力8。熱△G4H(SAS),

，乙BAD=LACH,乙B4C=BAD+乙DAC,

/.乙BAC"CH+乙DAC,

又?:乙DIIC="1CII+乙DAC,

:.乙DHC=cBAC,

tanz.DHC=\

3

ADLCD,

HD3

：.HD=-DC,

4

：?AD=HC=24DC,

4

?：HD2+DC2=HC2,

.\QDC)2+DC2=(2+|DC)2,

解得：DC=4,

?"O=5,

A/lC=V/)C2+y4D2=V424-52=V41.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理、全等三角形的判定和性質和勾股定理的應用，解決

本題的關鍵是正確的作出輔助線.

【變式43](2022?安徽?九年級專題練習)如圖，ZMBC三△ABD,點E在邊48上，CEII8D,

連接DE.

⑴求證：四邊形8CE0是菱形.

(2)已知點尸為8C中點，過點尸作GF18C交力8于點G,BG=5,cos￡ABC=0.6,請直

接寫出BE的長度.

【答案】⑴見解析

(2)7.2

【分析】(1)通過三角形全等證明相應角和相應邊相等，再根據CEII8D證明內錯角相等,

從而得到CE=BD,從而證明四邊形BCED為平行四邊形，再根據有一組鄰邊相等的平行

四邊形是菱形進行證明；

（2）先連接CD,再根據銳角三角函數的比值求出8尸的長度，從而求出BC的長度，再求

出8H的長度，從而求出BE的長度.

（1）

解：\'^ABC^^ABD

：.^ABC=Z.ABD,CB=BD

*：CEWD

:.乙CEB=Z.ABD

：.Z.CEB=LABC

：.CE=BC

：,CE=BD

:CE=BD,CEWBD

...四邊形BCED為平行四邊形

?:CB=BD

二四邊形RCED為菱形

⑵

解：連接CO交＜8與點H,如圖所示

???四邊形BCEZ）為菱形

：.BH=EH,BELCD

LCHB=90°

'：GFIBC

：.Z-GFB=90°

‘：BG=5,cos乙48c=0.6

.BF,

?,記二n66

：,BF=3

???點尸為BC中點

:?BC=6

VcosZi45C=^=0.6

:.BH=36

EH=3.6

：.BE=7.2

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，菱形的判定和性質，銳角三角函數的運用，熟

練掌握全等三角形的性質，菱形的判定和性質，銳角三角函數的運用是解答本題的關鍵.

【題型5根據特殊角的三角函數值求角的度數】

【例5】（2022?安徽?桐城市第二中學九年級期末）已知△力OC中，點。為。。邊上一點，

則下列四個說法中，一定正確的有（）

①連接AD,若。為8c中點，且平分乙8AC,則AB=4C：

②若N84C=90。，且BC=24C,WUfi=30°；

③若NB=30。，且8c=2AC,則NB4c=90°；

④若48=8C,乙C=6（F,且AZ）平分匕BAC,則△ABC的重心在AD上.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】①根據三角形的中線性質，可得SAM。=SMCD，再利用角平分線性質得到力8=AC；

②因為8c=24C根據直角三角形特殊三角函數值即可解答；③43=30。，且8c=2AC,

根據三角形中的特殊角的角邊關系即可確定匕847=90。；④三角形重心在三角形中線上，

根據等腰三角形三線合一可確定力。為中線，故重心在上.

【詳解】①因為D為8C口點，所以SAAB。=SAACD，又因為力。平分484C,則點D到線段AB.

4C的距離相等，所以48=4。，故①正確；

②若48AC=90。，HBC=2AC,則匕8的正弦值為右則48=30。，故②正確；

③若M=30°,且6C=2AC,過點C作線段AB的垂線段恰好與AC重合，則4ZMC=90。,

故③正確；

④若4B=BC,"=60。，且4D平分NB4C,根據三線合一，40為8C邊中線，則△48C

的重心在4。上.

故答案選D

【點睛】本題考查了三角形的中線性質，角平分線性質，特殊角三角行的角邊關系，熟練學

握三角形的角平分線性質，中線性質，靈活運用三角形角邊關系是解題的關鍵.

【變式51】（2022?黑龍江?綏棱縣克音河鄉學校一模）在AABC中，若，卜由8-寸+0M一

V3）2=0,則“=度.

【答案】90

【分析】用非負數的性質和特殊角的三角函數值解答.

【詳解】V|sin5—1|+（tan/1-V3）2=0,

AsinB—1=tanA-V3=0,

sinB=tan71=V3,

2

ZB=30°,ZA=60°,

ZC=180（ZA+ZB）=90°.

故答案為90.

【點睛】本題考查了非負數性質和特殊角的三:角函數，熟練掌握非負數的性質和特殊角的三

角困數值，是解決此類問題的關鍵.

【變式52］（2022?湖南?長沙市雅禮實驗中學二模）若菱形的周長為8企，高為2,則菱形

兩鄰角的度數比為（）

A.6：1B.5：1C.4：1D.3：1

【答案】D

【分析】如圖，力”為菱形/WCD的高，AH=2,利用菱形的性質得到718=2企，利用正

弦的定義得到=45°,則4C=135°,從而得到NC2B的比值.

【詳解】解：如圖.4H為菱形/國7。的高,AH=2,

???菱形的周長為8VL

:.AB=2VL

在RtAABH中，sinB=^=2=￥，

AB2v22

:.Z.B=45°,

vAB//CD,

???Z.C=135°,

:.乙C:乙B=3:1.

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；

菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.也考查了直角三角形斜邊上

的中線性質.

【變式53】（2022?山東日照?三模）如圖，直線力+g與坐標軸相交于48兩點，

動點。在線段46上，動點。在線段04上，連接OP,且滿足480P=40QP,則當

乙P0Q=度時，線段。。的最小值為.

【答案】302

【分析】過點尸作PMJ.04于點憶設P（t,—gt+g）,由三角形相似可得MQ的長，

設0Q=m,則可得方程4￡2一（6+3m）t+9=0,再由根的判別式與根的關系以及二次函

數圖像與性質即可求解.

【詳解】解：如圖，過點尸作尸Ml。4于點M,

???動點。在線段48上，

???設時-*+回，

:.PM=-yt+V3,0M=t,

???乙BOP+NPOM=90ZMQP+乙QPM=90°,乙BOP=(OQP,

4POM="PM,

???乙OMP=乙PMQ=90°,

???△OPMPQM,

.PM_OM

''"QM~'PM'

PM2（—當t+b）2

??MQf=-t—

設OQ=m,

vOQ=OM+MQ,

整理得：4t2-(6+3m)t+9=0?

???A=/J2—4ac=36+367n+9m2—144>0,

整理可得：m24-4m-12>0,

設y=m?+47n-12,

則其與x軸的兩個交點為(-6,0),(2,0),

va=1>0,開口向上，

，當y=機2+4m-1220時m<-6或者m>2,

OQ=m>0,

7n>2,

???0。的最小值為2,

將？n=2代入4t2-(6+3m)t+9=0,

可得：4t2-12t+9=0,

解得t=；，

...PM=_3+V5=W，0M="

322

在RtAPOM中，tan"0M=黑=當x|=與，

/-POM=30°,

即"OQ=30°.

故答案為:30,2.

【點睛】本題考兗了一次函數的圖像與性質，二次函數的圖像與性質，相似三角形的判定與

性質，一元二次方程根的判別式與根的關系等知識，牢固掌握以上知識并靈活運用是解題的

關鍵.

【題型6求特殊角的三角函數值】

【例6】(2022?廣東?東莞市東華初級中學九年級階段練習)由4個形狀相同，大小相等的

菱形組成如圖所示的網格，菱形的頂點稱為格點，點4B,。都在格點.匕ZO=60%則

tanZJ5C=()

【答案】c

【分析】證明四邊形WD6C為菱形，求得/48C=30。，利用特殊角的三角函數值即可求解.

【詳解】解：連接力。，如圖：

???網格是有一個角60。為菱形，

小AOD、△8CE、〉BCD、△力。都是等邊三角形，

:.AD=BD=BC=AC,

???四邊形為菱形，且NO8C=60。，

/.N4BD=N4BC=3。。,

tanZABC=tan30°=^.

故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的判定和性質，特殊角的三角函數值，證明四邊形力Q4C為菱形

是解題的關鍵.

【變式61】（2022?廣東?深圳市龍華區丹堤實驗學校模擬預測）計算：

（l）3tan300+tan450+2sin30°.

（2）cos230°+tan30°xsin600-V2cos45°.

【答案】⑴K+2

再

【分析】（1）根據特殊角的三角函數值解決此題.

（2）根據特殊角的三角函數值及一次根式的乘法進行計算:即可解決此題.

（1）

解：原式=3X?+1+2XT

=V3+1+1

=75+2：

（2）

解:原式=（豕

3.1,

=；+尸

"4,

【點睛】本題主要考查特殊角的三角函數值及二次根式的運算，熟練掌握特殊角的三角函數

值是解決本題的關鍵.

【變式62］（2022?江蘇?漣水縣麻垛中學九年級階段練習）在中，ZACB=90°,

若N4=60。，AC=6,HOsinAABC=.

【答案w

【分析1利用直角三角形的兩銳角互余求得N48c的度數，再利用特殊角的三角函數即可

求得sinz.ABC的值.

【詳解】解：依照題意畫出圖形，如圖所示.

???在即△力8C中，乙408=90°,乙1=60。，

???〃8C=90°-4力=30,

.-.sinz/lFC=sin30^=l

故答案為：

【點睛】考查了直角三角形的性質及特殊角的三角函數值，熟練掌握直角三角形的兩銳角互

余是解題的關鍵.

【變式63】（2022?河南?油田十中九年級階段練習）如圖，在網格中，小正方形的邊長均為

1,點、A、B、。都在格點上，則乙力。8的正切值是.

【答案】1

【分析】連接力5,由勾股定理求得力尻AO.80的長，判斷△440是等腰直角三角形，即

可求得答案.

【詳解】解：連接力從

由勾股定理得：48="2+32=同,Z4O=V12+32=V10,OB=y/22+42=2%/5,

：?AB=AO,0A2+AB2=（VTo）2+（V10）2=20=OB2,

“ABO是以OB為斜邊的等腰直角三角形，

tanZ-AOB=tan45°=1,

故答案為：1.

【點睛】此題考查了勾股定理在網格中的應用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質、

特殊角的三角函數值等知識，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵.

【題型7同角的三角函數值的證明或求值】

【例7】（2022?全國?九年級課時練習）下列結論中（其中a,/?均為銳角），正確的是

.（填序號）

①sin2a+cos2a=1；②cos2a=2cosa；③當0。Va</?V90。時，0<sina<sin/?<1；

④sina=cosa-tana.

【答案】①③④

【分析】根據同角三角函數關系及銳角三角函數的增減性進行判斷即可.

【詳解】解：①如圖，在RtUBC中，

...BCAC

.sina=—,cosa=—,

..2.28c2a2BC2+AC2AB2.

..sin2a+cos2a=^+^=^-=^=l,故①正確;

②若a=30°,則cosa=苧,

2a=60°,cos2a=；

2

cos60°*2cos30°

，cos2aH2cosa,故②錯誤；

③當0。VaV0V90。時，sina=冬,

???a越大，對邊越大，且越接近斜邊，

，sina越大，

???當0。〈口〈6<90。時，0<sinaVsin/?<1,故③正確;

??.對邊鄰邊.對邊

?sina=,cosa=TTT，tona=——

?斜邊斜邊鄰邊

Asina=cosa-tana,故④正確.

故答案為：①⑶④.

【點睛】本題考查了同角三角函數的關系及銳角三角函數的增減性，掌握銳角三角函數的概

念是解題的關鍵.

【變式71】(2022?江蘇?鎮江市外國語學校一模)已知sina?cosa=g且0。Va<45。，

8

則cosa-sina的值為___.

【答案】曰

【分析】首先證明sin2a+cos2a=1,把已知條件兩邊都乘以2,然后再根據cos?。+sin%=

1，進行配方，然后根據銳角三角函數值求出cosa與sina的取值范圍，從而得到cosa-

sina>0,然后開方即可得解.

【詳解】解：如圖，中，ZC=90°,

sinA=

cccos/l=

而+b2=c2,

:.sin2/l+cos2/l=p-+^2="旨=1=1，

即sin2a+cos2a=1,

i

vsina-cosa=

8

2Csi.nctacosct=:1，

4

???cos2a+sin2a—2sina-cosa=1-

即(cosa—sina)2=

v0°<a<45°,

0^2

???—<cosa<1,0<sina<—,

22

二cosa—sina>0?

V3

???cosa-sina=-.

故答案為：y.

【點睛】本題考查了同角的三角函數的關系，利用好coS2a+sin2a=l,并求出cosa-

sina>0是解題的關鍵.

【變式72］（2022?福建甭田?一模）求證:若a為銳角,則siMa+cos2a=1.

要求：①如圖，銳角a和線段〃，用尺規作出一個以線段冽為直角邊，a為內角的RS/BC保

留作圖痕跡，不寫作法）

②根據①中所畫圖形證明該命題.

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析

【分析】①點A為圓心，m長為半徑,在射線4W上截取4c=m；以點C為圓心作弧，與

射線交于兩點，分別以這兩點為圓心，大于其距離的一半為半徑作兩條弧，交于一點，

連接點C與這一點，得到過點。的4H的垂線，該垂線交力N于點從RtAABC即為所求.

②根據三角函數的定義以及勾股定理證明即可.

【詳解】解:①如圖，RS/8C即為所求.

（2）???在RtAABC中，乙4CB=90°,

222

,\sina=—,cosa=―,AB=BC4-ACt

2,28c2?AC28c2+心AB2

s,na+3%=#+#=

赤=1.

【點睛】本題考查尺規作圖、銳角三角函數、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本

知識.

【變式73］（2022?全國?九年級課時練習）已知sina,cosa為方程國+px+q=0的兩根,

則p、q應滿足的關系式為.

【答案】p2-2q-1=0

【分析】由一元二次方程根與系數關系可得sina+cosa=p①，sin?cosa=^@,①兩邊平方,

代入②和sin2?+cos2?-l即可得到結論.

【詳解】解：:sina,cosa為方程x2+px+c/=0的兩個根，

.*.sina+cosa=/?（l）?sinacosa=q②，

①兩邊平方得：（sina+cosflpup2,

/.sin2?+cos2a+2sin?cos?=p2,

Vsin2?+cos2a=l,sinacos?=t/?

l+2q=p，

即p?2ql=0.

故答案為62如=0.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數關系和同角三角函數的關系，熱記根與系數的關

系和同角正弦和正切的關系是解決此題的關鍵.

【題型8互余兩角的三角函數關系的計算】

【例8】（2022?全國?九年級課時練習）在aABC中，ZC=90°,sinA=|,則sinB等于（）

A-tB-Jc-iD-；

【答案】c

【分析】根據互余兩角三角函數的關系：siMA+siMB=l解答.

【詳解】???在R3ABC,NC=90°,

AZA+ZB=90°,

.*.sin2A+sin2B=l,sinB>0,

VsinA=p

,\sinB=Jl—（；）2=：

故選C.

【點睛】本題考查的是三角函數，熟練掌握三角函數是解題的關鍵.

【變式81】（2022?全國?九年級單元測試）若a為銳角，且cosa=9,則sin（90。-a）的值是

JIO

（）

5c12…5c12

AA.-B.-C.-~D.--

1313125

【答案】R

【分析】根據:若a+0=90。，則cosa=sin。.

【詳解】由銳角三角函數性質可知：sin（900-a）=cosa=y|

故選B

【點睛】本題考查兩角和的余弦公式的應用，利用已知條件對角進行分解是解題關鍵.

【變式82］（2022?全國?九年級專題練習）已知a,0都是銳角，且a+0=9O。，sina+cos/?=

V3,則a=.

【答案】600

【分析】根據互余兩角的三角函數的關系得出cos/?=sina,求出sina二4,即可得出答案.

【詳解】解：???a+/?=90。

/.cosp=sina,

Vsina+cosp=x/3,

2sina=V3,sina=y,

???銳角《=60。.

故答案為：60°.

【點睛】本題考查了互余兩角的三角函數的關系，特殊角的三角函數值的應用，解此題的關

鍵是求出sina的值.

【變式83】（2022?福建?龍海二中九年級階段練習）李華在作業中得到如下結果：

tan70?tan83°=1

tan22°-tan68°=1

tan29°-tan61°=1

tan37°-tan53°=1

tan450-tan45°=1

根據以上，李華猜想：對于任意銳角a,均有tana?tan（90。一a）=1

（1）當a=30。時，驗證tana?tan（90。-a）=1是否成立；

（2）李華的猜想是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請舉出一個反例.

（3）小明發現一次函數解析式中的k值（一次項系數的值）其實就是該一次函數圖像與無

軸所形成的夾角的正切值，已知平面直角坐標系中有兩條直線互相垂直，月=的％+仇，

Z2：y2=k2x+b2（b^b2）,（自?七H0）根據以上結論，探究當平面直角坐標系中兩直線

垂宜時七和七的數量關系,并畫圖證明.

【答案】（1）成立，見解析；（2）成立，見解析；（3）自,七=一1，見解析

【分析】（1）通過直角三角形兩銳角互余求出另一角為60。，再利用特殊角三角函數直即

可得證；（2）作直角三角形，利用正切的定義用線段比表示互余兩角的正切值，發現其互

為倒數，即可得證：（3）在直角坐標系中作兩條直線相互垂直且垂足不在坐標軸上，一直

線k>0,一直線k<0,在兩直線與x軸圍成的直角三角形中同（2）的方法即可得證.

【詳解】（1）當a=30。時，90°-a=60°,

tana-tan（90°—tz）=tan30°xtan600=1,

.?.當a=30。時tana?tan（90°—a）=1成立.

（2）答：成立.

證明：如右圖，作Rt/kABC,其中=1夙?二90。，4C為斜邊，BA,為兩直角邊.

設4A-a貝1J乙C-90c_出

tana=tanA=—,tan（90°—a）=tanC="，

ABCB

tana-tan（90°-a）='.==1'

???tana-tan（90°-a）=1成立.

（3）作如圖平面直角坐標系％Oy,1Z2?垂足為人

設，i交工軸于B,y軸于D,%交匯軸于ay軸于工

???A1，2于力二48/1。=90。，

???^LABC+Z-ACB=90°,:.乙48c=90°-乙4cB

依題意得"i=tan乙4BC=萼，k=—tan乙4cB=—2，

BO2OC

ki,k2=tanz.ABC?(—tanz.ACB)=tan(90°—Z.ACB)?(—tanZ-ACB)

=-tan(90°—Z-ACB)?tanz.ACB.

由(2)知tana?tan(90°-a)=1.

:.k1?k2=-1.

【點睛】木題主要考查J'正切的概念、一次函數增減性求參數、互余兩角的三角函數關系.充

分理解正切的概念和一次函數的系數與圖像的關系是解答本題的關鍵.

【題型9利用增減性判斷三角函數的取值范圍】

【例9】(2022?福建省泉州實驗中學九年級期中)三角函數sin40。、8sl6。、tan50。之間的

大小關系是()

A.tan50°>cos16°>sin40°B.cos16°>sin40°>tan50°